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13.2.2　空间两条直线的位置关系
第1课时　平行直线
课标要求　1.会判断空间两条直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
【引入】 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，在空间中，两条直线的位置关系有哪些呢？这节课，我们学习空间两条直线的位置关系.
一、空间两条直线的位置关系
探究1 观察长方体ABCD－A1B1C1D1，直线A1B1与直线DC，BB1，BC平行或相交吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和画法
①定义：________________的两条直线叫作异面直线.
②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
(2)空间两直线的位置关系有以下三种
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有______
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在____一个平面内 没有
温馨提示　(1)异面直线定义中，“不同在任何一个平面内”，“任何”两字不能忽略.
(2)异面直线既不平行，也不相交，不具备确定平面的条件.
例1 (多选)(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.直线DM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
(2)长方体的一条体对角线所在的直线与长方体的棱所在的直线组成的异面直线有(　　)
A.2对 B.3对
C.6对 D.12对
思维升华　(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断(特别注意，在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行)，两条直线平行也可以用基本事实4判断(后面学习).
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.(下节课有异面直线的判定定理)
(3)判定空间两直线的位置关系注意利用长方体模型这个百宝箱.
训练1 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、基本事实4及应用
探究2 平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个结论在空间是否成立？试举例加以说明.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线________
图形语言
符号语言 ________
作用 证明两条直线平行
说明 基本事实4表述的性质通常叫作空间平行线的传递性
温馨提示　(1)基本事实4是平面内平行线的传递性在空间中的推广，也是证明空间两条直线平行的重要依据.
(2)经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
例2 (链接教材P168例1)如图，在三棱锥S－ABC中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　证明空间两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、等角定理
探究3 观察训练2中的∠DNM与∠D1A1C1，你能得到什么结论，并加以证明.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 在训练2中，我们延长D1A1到A2，则∠DNM，∠A2A1C1的两边DN与A2A1方向相反，NM与A1C1方向相同，这两个角有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 在训练2中，我们再把C1A1延长到A3，则∠DNM与∠A2A1A3的两边均方向相反，∠DNM，∠A2A1A3有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________.
温馨提示　(1)上述定理常称为等角定理.
(2)定理的拓展
①如果空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补.
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反，那么这两个角相等.
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.
例3 (链接教材P170例2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点.
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
训练3 (1)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等 　　　 B.互补
C.相等或互补 　　　 D.不确定
(2)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
4.(链接教材P170练习T1)已知空间中两个角∠AOB，∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OB∥O1B1，若∠AOB＝60°，则∠A1O1B1＝________.
第1课时　平行直线
探究1　提示　直线A1B1与直线DC平行，与BB1相交，与BC既不平行也不相交.
知识梳理
(1)①不同在任何一个平面内　一个　任何
例1　(1)ACD　(2)C　[(1)A中直线DM与直线CC1不平行，且在同一平面内，故它们必相交；
C，D中的两条直线既不相交又不平行，即均为异面直线，故结论正确；B中AM与BN是异面直线，故B不正确.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC所在的直线分别与体对角线AC1所在的直线成异面直线.]
训练1　解　还原的正方体如图所示.
则异面直线有3对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
探究2　提示　这个结论在空间仍成立.
例如在图(1)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，通过观察可以看出AA1∥CC1.
又如在图(2)圆柱OO1中，AA1∥OO1，BB1∥OO1，通过观察也可以看出AA1∥BB1.
知识梳理
平行　a∥c
例2　解　平行.理由如下：
∵M，N分别为SA，SC的中点，
∴MN∥AC，同理EF∥AC.
∴MN∥EF.
训练2　证明　如图，连接AC.
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，
且MN＝AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
∴MN∥A1C1，
且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
探究3　提示　∠DNM＝∠D1A1C1，证明如下：
∵DN綊D1A1，DM綊D1C1，
MN綊AC綊A1C1，
∴△DNM∽△D1A1C1，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
探究4　提示　∠DNM与∠A2A1C1互补.
∵∠D1A1C1＋∠A2A1C1＝180°，
又∠DNM＝∠D1A1C1，
∴∠DNM＋∠A2A1C1＝180°.
探究5　提示　∠DNM＝∠A2A1A3.
由于∠A2A1A3与∠D1A1C1为对顶角，
∴∠A2A1A3＝∠D1A1C1＝∠DNM.
知识梳理
　相等
例3　证明　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，
则BF＝A1M＝AB.
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则F1M綊C1B1，又C1B1綊BC，
∴F1M綊BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥CF1.
又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，
可证得A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行.
又∵∠EA1F与∠E1CF1的两边方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
训练3　(1)B　(2)　[(1)∵E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，∴EF∥A1B1，FG∥BC1.
又AB∥A1B1，∴EF∥AB，
∴∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，
又一组边方向相同，另一组边方向相反，
故∠EFG与∠ABC1互补.
(2)∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∠BAC与∠B′A′C′两边的方向均相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，且＝＝，
∴＝＝.]
课堂达标
1.D　[如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，
AB∥A1B1；
AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；
A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.]
2.B　[EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.]
3.D　[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.]
4.60°或120°　[因为OA∥O1A1，OB∥O1B1，
则∠AOB，∠A1O1B1的两边分别平行，
所以∠AOB，∠A1O1B1相等或互补，
又∠AOB＝60°，所以∠A1O1B1＝60°或120°.](共56张PPT)
第13章 13.2　13.2.2　空间两条直线的位置关系
第1课时　平行直线
课标要求
1.会判断空间两条直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
引入
在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，在空间中，两条直线的位置关系有哪些呢？这节课，我们学习空间两条直线的位置关系.
课时精练
一、空间两条直线的位置关系
二、基本事实4及应用
三、等角定理
课堂达标
内容索引
空间两条直线的位置关系
一
探究1 观察长方体ABCD－A1B1C1D1，直线A1B1与直线DC，BB1，BC平行或相交吗？
提示　直线A1B1与直线DC平行，与BB1相交，与BC既不平行也不相交.
空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和画法
①定义：______________________的两条直线叫作异面直线.
②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
知识梳理
不同在任何一个平面内
(2)空间两直线的位置关系有以下三种
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有______
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在______一个平面内 没有
一个
任何
温馨提示
(1)异面直线定义中，“不同在任何一个平面内”，“任何”两字不能忽略.
(2)异面直线既不平行，也不相交，不具备确定平面的条件.
例1
√
(1) (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，下列结论正确的是
A.直线DM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线
√
√
A中直线DM与直线CC1不平行，且在同一平面内，故它们必相交；
C，D中的两条直线既不相交又不平行，即均为异面直线，故结论正确；B中AM与BN是异面直线，故B不正确.
√
(2)长方体的一条体对角线所在的直线与长方体的棱所在的直线组成的异面直线有
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC所在的直线分别与体对角线AC1所在的直线成异面直线.
(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断(特别注意，在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行)，两条直线平行也可以用基本事实4判断(后面学习).
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.(下节课有异面直线的判定定理)
(3)判定空间两直线的位置关系注意利用长方体模型这个百宝箱.
思维升华
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
训练1
还原的正方体如图所示.
则异面直线有3对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
基本事实4及应用
二
探究2 平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个结论在空间是否成立？试举例加以说明.
提示　这个结论在空间仍成立.
例如在图(1)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，通过观察可以看出AA1∥CC1.
又如在图(2)圆柱OO1中，AA1∥OO1，BB1∥OO1，通过观察也可以看出AA1∥BB1.
知识梳理
基本事实4
平行
a∥b
温馨提示
(1)基本事实4是平面内平行线的传递性在空间中的推广，也是证明空间两条直线平行的重要依据.
(2)经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
例2
(链接教材P168例1)如图，在三棱锥S－ABC中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行.
平行.理由如下：
∵M，N分别为SA，SC的中点，
∴MN∥AC，同理EF∥AC.
∴MN∥EF.
思维升华
证明空间两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形.
训练2
如图，连接AC.
在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
等角定理
三
探究3 观察训练2中的∠DNM与∠D1A1C1，你能得到什么结论，并加以证明.
提示　∠DNM＝∠D1A1C1，证明如下：
∴△DNM∽△D1A1C1，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
探究4 在训练2中，我们延长D1A1到A2，则∠DNM，∠A2A1C1的两边DN与A2A1方向相反，NM与A1C1方向相同，这两个角有什么关系？
提示　∠DNM与∠A2A1C1互补.
∵∠D1A1C1＋∠A2A1C1＝180°，
又∠DNM＝∠D1A1C1，
∴∠DNM＋∠A2A1C1＝180°.
探究5 在训练2中，我们再把C1A1延长到A3，则∠DNM与∠A2A1A3的两边均方向相反，∠DNM，∠A2A1A3有什么关系？
提示　∠DNM＝∠A2A1A3.
由于∠A2A1A3与∠D1A1C1为对顶角，
∴∠A2A1A3＝∠D1A1C1＝∠DNM.
知识梳理
定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角______.
相等
温馨提示
(1)上述定理常称为等角定理.
(2)定理的拓展
①如果空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补.
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反，那么这两个角相等.
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.
例3
(链接教材P170例2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点.
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，
又BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则F1M綊C1B1，又C1B1綊BC，∴F1M綊BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥CF1.
又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，可证得A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行.
又∵∠EA1F与∠E1CF1的两边方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
思维升华
若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
训练3
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.不确定
√
∵E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，∴EF∥A1B1，FG∥BC1.
又AB∥A1B1，∴EF∥AB，∴∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，
又一组边方向相同，另一组边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∠BAC与∠B′A′C′两边的方向均相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，
【课堂达标】
1.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
√
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；
AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；
A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
√
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有
EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
√
由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
4.(链接教材P170练习T1)已知空间中两个角∠AOB，∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OB∥O1B1，若∠AOB＝60°，则∠A1O1B1＝____________.
60°或120°
因为OA∥O1A1，OB∥O1B1，
则∠AOB，∠A1O1B1的两边分别平行，
所以∠AOB，∠A1O1B1相等或互补，
又∠AOB＝60°，所以∠A1O1B1＝60°或120°.
【课时精练】
√
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则直线a与直线d的位置关系是
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
因为a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d，故选A.
√
2.如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于
由题意可知DE∥PB，EF∥BC，且∠DEF与∠PBC两边的方向相同，
A.30° 　　　 B.45°
C.60° 　　　 D.90°
所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
√
3.(多选)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则下列角中与∠A1AB相等的角是
因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，又AB∥CD，∠A1AB与∠D1DC两边的方向相同，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又因为四边形A1ABB1，四边形D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
A.∠D1DC B.∠D1C1C C.∠A1B1B D.∠C1CD
√
√
√
4.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是
假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
A.l与AD平行 B.l与AD相交
C.l与AC平行 D.l与BD平行
√
这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l与AD无公共点，故l与AD不相交.C，D可能成立.
√
5.如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线
由正方体的性质及基本事实4易知共有18对，故选B.
A.12对 　 B.18对
C.24对 　 D.36对
6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例，令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.
0或1
平行
9.(链接教材P170练习T2)如图，已知AA′，BB′，CC′不共面，且AA′綊BB′，BB′綊CC′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
所以四边形ACC′A′为平行四边形，
同理，四边形ABB′A′，BCC′B′为平行四边形，
所以AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，故△ABC≌△A′B′C′.
10.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
平行.理由如下：
∵AA1綊BB1，BB1綊CC1，∴AA1綊CC1，
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1.
(1)直线AC与直线A1C1平行吗？为什么？
(2)∠A1BC1与∠AD1C是否相等？为什么？
相等.理由如下：
法一　∵AB綊A1B1，A1B1綊D1C1，∴AB綊D1C1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，
同理BA1∥CD1，
又∠A1BC1与∠AD1C两边的方向相反，∴∠A1BC1＝∠AD1C.
法二　∵A1B＝BC1＝A1C1，AD1＝D1C＝AC，
∴△A1BC1与△AD1C均为等边三角形，∴∠A1BC1＝∠AD1C＝60°.
√
11.(多选)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则
√
√
又PQ∥DE，DE∥MN，
所以PQ∥MN，故B正确；
所以M，N，P，Q四点共面，故C正确；
又PQ≠MN，
所以四边形MNPQ是梯形，故D正确.
12.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为
√
√
因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B.
又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.
因此A，B正确.
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，
所以EF∥CH，所以EF与CH共面.
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面.
14.已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是
A.5 B.10 C.12 D.不能确定
如图所示，连接EF，FG，GH，HE.
再根据基本事实4可得四边形EFGH是平行四边形，
那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，
√第2课时　异面直线
课标要求　1.理解异面直线的(判定)定理，掌握异面直线的判定方法. 2.理解异面直线所成的角(或夹角)，会求异面直线所成的角(或夹角).
【引入】 上节课，我们已学习过异面直线的概念，并熟悉了判定异面直线的两种方法，即定义法和反证法，这节课我们继续学习异面直线的(判定)定理及异面直线所成的角.
一、异面直线的判定定理
探究1 在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以直观地看出直线AB与A1C既不相交又不平行(即异面).那么，如何证明AB与A1C不同在任何一个平面内？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
定理　过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是________直线.
温馨提示　(1)定理的符号表示为：若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线.
(2)异面直线的三种画法.
例1 (1)如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
(2)(多选)如图，在四面体A－BCD中，E，F是AD上互异的两点(含端点)，G，H是BC上互异的两点(含端点)，下列叙述正确的是(　　)
A.AB与CD为异面直线
B.FH分别与DC，DB互为异面直线
C.EG与FH为异面直线
D.EG与AB为异面直线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
训练1 如图，P是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　)
A.直线DD1 B.直线B1C
C.直线AD1 D.直线AC
(2)如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，点E在线段PA上(不含端点)，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有________对异面直线.
二、异面直线所成的角或夹角
探究2 我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小可否转化为相交直线所成的角来度量呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间________一点O，作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把a′和b′所成的________叫作异面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则________
特殊情况 当θ＝________时，异面直线a，b互相垂直，记作________
温馨提示　(1)a′，b′所成角的大小与点O的选取无关.
(2)空间两直线垂直不一定相交.
(3)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线.
(4)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线垂直.
例2 (链接教材P172例3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中：
(1)求直线A1B与C1C的夹角；
(2)作出异面直线AC与D1B所成的角并求出其大小；
(3)作出异面直线A1C与D1D所成的角，并求出该角的正切值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法.若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ即为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求.
训练2 (链接教材P174习题13.2(2)T10)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝AD＝2，AA′＝2.求：
(1)BC与A′C′所成的角；
(2)BB′和AD′所成的角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、异面直线所成角的应用
例3 如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是其补角，应分情况讨论.
(2)要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角，若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直.
训练3 (1)如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，求MN的长度；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，求证：A1E⊥GF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.异面直线是指(　　)
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
2.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4异面
D.l1与l4的位置关系不确定
3.(链接教材P173练习T5)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线AA1是异面直线且互相垂直有________条.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，则异面直线EF与B1C所成角的度数为________.
第2课时　异面直线
探究1　提示　反证法：
假设AB与A1C共面，由于经过点C和直线AB的平面只能有一个，所以直线A1C和AB都应在平面ABCD内，于是点A1在平面ABCD内，这与“点A1在平面ABCD外”矛盾.因此，直线AB与A1C是异面直线.
知识梳理
异面　
例1　(1)②④　(2)AC　[(1)图①中，GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接GM(图略)，则GM∥HN，因此，GH与MN共面；
图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面.
所以图②，④中GH与MN异面.
(2)对于选项A，AB与平面BCD交于点B，且B CD，故AB与CD为异面直线，故A正确；
对于选项B，当H点落在C点，或F点落在D点上时，FH与CD相交或重合；当H点落在B点，或F点落在D点上时，FH与DB相交或重合，故B错误；
对于选项C，FH与平面EGD交于F点，而F EG，H 平面EGD，故EG与FH为异面直线，故C正确；
对于选项D，当G点落在B点上，或E点落在A点上时，EG与AB相交或重合，故D错误.故选AC.]
训练1　(1)D　(2)5　[(1)对于A，连接BD，B1D1(图略).设A1C1∩B1D1＝Q，由BB1∥DD1，知当点P位于点Q时，BP，DD1 平面BB1D1D，即BP与DD1共面；
对于B，当点P与C1重合时，直线BP与直线B1C相交；
对于C，连接AD1，BC1(图略).因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，当点P与C1重合时，BP与AD1共面；
对于D，连接AC(图略).因为P 平面ABCD，B∈平面ABCD，AC 平面ABCD，B AC，所以直线BP与直线AC是异面直线.
(2)异面直线有5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，EF与BP.]
探究2　提示　可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角来度量.
知识梳理
任意　锐角(或直角)　0°<θ≤90°　90°　a⊥b
例2　解　(1)∵CC1∥BB1，
∴∠A1BB1即为异面直线A1B与CC1的夹角.
∵∠A1BB1＝45°，
∴异面直线A1B与C1C的夹角为45°.
(2)如图所示，连接BD，与AC相交于点O.
取D1D的中点E，连接EO，则∠EOC(或∠EOA)即为异面直线AC与D1B所成的角.
连接AE，则AE＝CE，
又O为AC的中点，∴OE⊥AC，∴AC⊥D1B，
即AC与D1B所成的角为90°.
(3)∵D1D∥A1A，
∴∠AA1C或其补角即为异面直线A1C与D1D所成的角.
设AA1＝1，则AC＝＝.
又易知A1A⊥AC，∴在Rt△AA1C中，
tan∠AA1C＝＝＝，
∴异面直线A1C与D1D所成角的正切值为.
训练2　解　(1)∵BC∥B′C′，
∴∠B′C′A′就是BC与A′C′所成的角.
∵长方体ABCD－A′B′C′D′中，
AB＝AD＝2，
∴∠B′C′A′＝45°，
∴BC与A′C′所成的角是45°.
(2)∵BB′∥AA′，
∴∠A′AD′就是BB′与AD′所成的角.
在Rt△A′AD′中，AA′＝2，A′D′＝2，
∴tan∠A′AD′＝，∴∠A′AD′＝60°，
∴BB′与AD′所成的角是60°.
例3　解　取BC的中点M，连接ME，MF，如图，
则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×
＝.
故EF的长度为1或.
训练3　解　(1)取AD的中点P，连接PM，PN(图略)，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN(或其补角)即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
又PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
(2)连接GB1，B1F，EG.
因为点E，G分别是DD1，CC1的中点，
所以EG綊D1C1，
又D1C1綊A1B1，所以EG綊A1B1，
所以四边形A1EGB1为平行四边形，
则GB1∥A1E，
故∠B1GF或其补角为A1E与GF所成的角.
因为B1G＝＝＝，B1F＝＝＝，
GF＝＝，
所以B1G2＋GF2＝B1F2，所以∠B1GF＝90°.
故A1E⊥GF.
课堂达标
1.D　[对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一种是平行(共面)，另一种是异面.∴A应排除；
对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除；
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除.D符合定义.]
2.D　[构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1.
当取l4为B1C1时，l1∥l4；
当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C.故选D.]
3.4　[与AA1异面且垂直的直线有BC，CD，B1C1，C1D1，共四条.]
4.90°　[连接AD1，BC1.
因为棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，
所以EF∥AD1.
因为AB∥CD∥C1D1且AB＝CD＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，
则BC1∥EF.
因为四边形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥B1C，则EF⊥B1C.
所以异面直线EF与B1C所成角的度数为90°.](共63张PPT)
第13章 13.2　13.2.2　空间两条直线的位置关系
第2课时　异面直线
课标要求
1.理解异面直线的(判定)定理，掌握异面直线的判定方法.
2.理解异面直线所成的角(或夹角)，会求异面直线所成的角(或夹角).
引入
上节课，我们已学习过异面直线的概念，并熟悉了判定异面直线的两种方法，即定义法和反证法，这节课我们继续学习异面直线的(判定)定理及异面直线所成的角.
课时精练
一、异面直线的判定定理
二、异面直线所成的角或夹角
三、异面直线所成角的应用
课堂达标
内容索引
异面直线的判定定理
一
探究1 在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以直观地看出直线AB与A1C既不相交又不平行(即异面).那么，如何证明AB与A1C不同在任何一个平面内？
提示　反证法：
假设AB与A1C共面，由于经过点C和直线AB的平面只能有一个，所以直线A1C和AB都应在平面ABCD内，于是点A1在平面ABCD内，这与“点A1在平面ABCD外”矛盾.因此，直线AB与A1C是异面直线.
定理　过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______直线.
知识梳理
异面
温馨提示
(1)定理的符号表示为：若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线.
(2)异面直线的三种画法.
例1
(1)如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
②④
图①中，GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接GM(图略)，则GM∥HN，因此，GH与MN共面；
图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面.
所以图②，④中GH与MN异面.
图①中，GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接GM(图略)，则GM∥HN，因此，GH与MN共面；
图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面.
所以图②，④中GH与MN异面.
√
(2)(多选)如图，在四面体A－BCD中，E，F是AD上互异的两点(含端点)，G，H是BC上互异的两点(含端点)，下列叙述正确的是
A.AB与CD为异面直线
B.FH分别与DC，DB互为异面直线
C.EG与FH为异面直线
D.EG与AB为异面直线
√
对于选项A，AB与平面BCD交于点B，且B CD，故AB与CD为异面直线，故A正确；
对于选项B，当H点落在C点，或F点落在D点上时，FH与CD相交或重合；当H点落在B点，或F点落在D点上时，FH与DB相交或重合，故B错误；
对于选项C，FH与平面EGD交于F点，而F EG，H 平面EGD，故EG与FH为异面直线，故C正确；
对于选项D，当G点落在B点上，或E点落在A点上时，EG与AB相交或重合，故D错误.故选AC.
判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
思维升华
如图，P是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是
训练1
√
A.直线DD1 B.直线B1C
C.直线AD1 D.直线AC
对于A，连接BD，B1D1(图略).设A1C1∩B1D1＝Q，由BB1∥DD1，知当点P位于点Q时，BP，DD1 平面BB1D1D，即BP与DD1共面；
对于B，当点P与C1重合时，直线BP与直线B1C相交；
对于C，连接AD1，BC1(图略).因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，当点P与C1重合时，BP与AD1共面；
对于D，连接AC(图略).因为P 平面ABCD，B∈平面ABCD，AC 平面ABCD，B AC，所以直线BP与直线AC是异面直线.
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(2)如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，点E在线段PA上(不含端点)，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有________对异面直线.
异面直线有5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，EF与BP.
异面直线所成的角或夹角
二
探究2 我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小可否转化为相交直线所成的角来度量呢？
提示　可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角来度量.
知识梳理
异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间______一点O，作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把a′和b′所成的________________叫作异面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则____________
特殊情况 当θ＝______时，异面直线a，b互相垂直，记作________
任意
锐角(或直角)
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
温馨提示
(1)a′，b′所成角的大小与点O的选取无关.
(2)空间两直线垂直不一定相交.
(3)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线.
(4)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线垂直.
例2
(链接教材P172例3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中：
(1)求直线A1B与C1C的夹角；
(2)作出异面直线AC与D1B所成的角并求出其大小；
(3)作出异面直线A1C与D1D所成的角，并求出该角的正切值.
(1)∵CC1∥BB1，∴∠A1BB1即为异面直线A1B与CC1的夹角.
∵∠A1BB1＝45°，∴异面直线A1B与C1C的夹角为45°.
(2)如图所示，
(1)∵CC1∥BB1，∴∠A1BB1即为异面直线A1B与CC1的夹角.
∵∠A1BB1＝45°，∴异面直线A1B与C1C的夹角为45°.
(2)如图所示，
连接BD，与AC相交于点O.
取D1D的中点E，连接EO，
则∠EOC(或∠EOA)即为异面直线AC与D1B所成的角.
连接AE，则AE＝CE，
又O为AC的中点，∴OE⊥AC，∴AC⊥D1B，即AC与D1B所成的角为90°.
(3)∵D1D∥A1A，
∴∠AA1C或其补角即为异面直线A1C与D1D所成的角.
又易知A1A⊥AC，∴在Rt△AA1C中，
思维升华
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法.若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ即为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求.
训练2
∵BC∥B′C′，∴∠B′C′A′就是BC与A′C′所成的角.
(1)BC与A′C′所成的角；
∴BC与A′C′所成的角是45°.
∵BB′∥AA′，∴∠A′AD′就是BB′与AD′所成的角.
(2)BB′和AD′所成的角.
∴BB′与AD′所成的角是60°.
异面直线所成角的应用
三
例3
如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度.
取BC的中点M，连接ME，MF，如图，
则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∴ME＝MF＝1.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF，
思维升华
(1)当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是其补角，应分情况讨论.
(2)要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角，若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直.
训练3
(1)如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，求MN的长度；
取AD的中点P，连接PM，PN(图略)，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN(或其补角)即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，求证：A1E⊥GF.
连接GB1，B1F，EG.
因为点E，G分别是DD1，CC1的中点，所以EG綊D1C1，
又D1C1綊A1B1，所以EG綊A1B1，
所以四边形A1EGB1为平行四边形，则GB1∥A1E，
所以B1G2＋GF2＝B1F2，
所以∠B1GF＝90°.
故A1E⊥GF.
【课堂达标】
1.异面直线是指
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
√
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除.D符合定义.
对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一种是平行(共面)，另一种是异面.∴A应排除；
对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除；
√
2.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4异面 D.l1与l4的位置关系不确定
构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1.
当取l4为B1C1时，l1∥l4；
当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C.故选D.
3.(链接教材P173练习T5)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线AA1是异面直线且互相垂直有________条.
4
与AA1异面且垂直的直线有BC，CD，B1C1，C1D1，共四条.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，则异面直线EF与B1C所成角的度数为________.
90°
连接AD1，BC1.
因为棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，所以EF∥AD1.
因为AB∥CD∥C1D1且AB＝CD＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，则BC1∥EF.
因为四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，则EF⊥B1C.
所以异面直线EF与B1C所成角的度数为90°.
【课时精练】
√
把正方体的平面展开图还原为原来的正方体如图可知.AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A，C正确.
1.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是
A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60°
C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD
√
√
2.已知点E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角的大小为
A.90° B.45° C.30° D.60°
如图，取PB的中点G，连接EG，FG，
则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，
所以∠EGF＝90°，故异面直线AB与PC所成角的大小为90°.
√
3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成的角为∠EAB或其补角.
连接BE.
√
4.已知在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小为
A.30° B.45° C.60° D.90°
如图，取AD的中点H，连接FH，EH，
所以∠FEH(或其补角)即为EF与CD所成的角.
因为CD＝2AB，EF⊥AB，
所以在△EFH中，∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.
√
如图，连接CD1，AC.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，
所以四边形A1D1CB为平行四边形，A1B∥D1C，
所以A1B与AD1所成的角为∠CD1A(或其补角).
在△ACD1中，由余弦定理得，
6.已知直线l1，l2，l3为空间两两不同的三条直线，若l2⊥l1，l3⊥l1，则l2与l3的位置关系是____________________.
在如图所示的长方体中，取l1为AB.
平行、相交或异面
当取l2为B1B，l3为CB时，l2，l3都垂直于l1，l2与l3相交；
当取l2为A1A，l3为B1B时，l2，l3都垂直于l1，l2∥l3；
当取l2为A1A，l3为CB时，l2，l3都垂直于l1，l2与l3异面.
7.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列结论正确的是________(填序号).
①CC1与B1E是异面直线； ②C1C与AE共面；
③AE与B1C1是异面直线； ④AE与B1C1所成的角为60°.
③
由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以①错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，②错误；
同理AE与B1C1是异面直线，③正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1所成的角为90°，④错误.
连接CD1，AC.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°.
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
法一　如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥DB1，EF∥A1C1，
∴∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法二　如图②，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，
法二　如图②，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，
于是∠HEF(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法三　如图③，在原正方体的右侧补上一个
全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.
√
11.如图，圆柱的底面直径AB与母线AD相等，E是的中点，则AE与BD所成的角为
则四边形ADFE为平行四边形，
所以DF∥AE，
所以∠FDB(或其补角)为AE与BD所成的角.
在△FDB中，由余弦定理得
12.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是
√
A.30° B.45° C.60° D.120°
如图所示，
由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形.
因为AB∥EG，CD∥EF，
所以∠GEF(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角.
因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.
故AB与CD所成角的大小为60°.
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点.设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，求sin2α＋sin2β的值.
取正方形B1C1CB的中心为点O，连接OC1，OE.
因为E是正方形ADD1A1的中心，
所以由正方体的性质知OE∥AB，
所以∠C1EO为异面直线C1E与AB所成的角，即∠C1EO＝β.
取BC的中点H，连接GH，FH.
因为F是正方形ABCD的中心，所以FH∥AB，
所以∠GFH为异面直线GF与AB所成的角，即∠GFH＝α.
设正方体的棱长为2，
14.如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条.
连接AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.
4第13章　课时精练36　平行直线
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分.
一、基础巩固
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则直线a与直线d的位置关系是(　　)
平行 相交
异面 不确定
2.如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　　)
30° 　　　45°
60° 　　　90°
3.(多选)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则下列角中与∠A1AB相等的角是(　　)
∠D1DC
∠D1C1C
∠A1B1B
∠C1CD
4.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　)
l与AD平行
l与AD相交
l与AC平行
l与BD平行
5.如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线(　　)
12对 　18对
24对 　36对
6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
7.如图所示，在空间四边形ABCD(顶点A，B，C，D不共面)中，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________.
8.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
9.(13分)(链接教材P170练习T2)如图，已知AA′，BB′，CC′不共面，且AA′綊BB′，BB′綊CC′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
10.(13分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)直线AC与直线A1C1平行吗？为什么？
(2)∠A1BC1与∠AD1C是否相等？为什么？
二、综合运用
11.(多选)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
PQ＝MN
PQ∥MN
M，N，P，Q四点共面
四边形MNPQ是梯形
12.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
AF＝ EF∥D1C
EF＝a CF＝a
13.(15分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
三、创新拓展
14.已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　)
5 10
12 不能确定
课时精练36　平行直线
1.A　2.D　3.ABC　4.CD　5.B
6.0或1　7.平行　8.
9.证明　 AA′綊CC′，
所以四边形ACC′A′为平行四边形，
同理，四边形ABB′A′，BCC′B′为平行四边形，
所以AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，
故△ABC≌△A′B′C′.
10.解　(1)平行.理由如下：
∵AA1綊BB1，BB1綊CC1，∴AA1綊CC1，
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1.
(2)相等.理由如下：
法一　∵AB綊A1B1，A1B1綊D1C1，∴AB綊D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，同理BA1∥CD1，又∠A1BC1与∠AD1C两边的方向相反，∴∠A1BC1＝∠AD1C.
法二　∵A1B＝BC1＝A1C1，AD1＝D1C＝AC，∴△A1BC1与△AD1C均为等边三角形，
∴∠A1BC1＝∠AD1C＝60°.
11.BCD　12.AB
13.(1)证明　由G，H分别为FA，FD的中点，
可得GH綊AD.
又BC綊AD，所以GH綊BC，
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)解　由BE綊AF，G为FA的中点知，
BE綊FG，
所以四边形BEFG为平行四边形，
所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，
所以EF∥CH，所以EF与CH共面.
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面.
14.B第13章　课时精练37　异面直线
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是(　　)
AB⊥EF
AB与CM所成的角为60°
EF与MN是异面直线
MN∥CD
2.已知点E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角的大小为(　　)
90° 45°
30° 60°
3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
4.已知在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小为(　　)
30° 45°
60° 90°
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝，AA1＝1，则A1B和AD1所成角的余弦值为(　　)
6.已知直线l1，l2，l3为空间两两不同的三条直线，若l2⊥l1，l3⊥l1，则l2与l3的位置关系是________.
7.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列结论正确的是________(填序号).
①CC1与B1E是异面直线；
②C1C与AE共面；
③AE与B1C1是异面直线；
④AE与B1C1所成的角为60°.
8.已知在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________.
　
第8题图　　　 　　第9题图
9.(13分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
10.(15分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
二、综合运用
11.如图，圆柱的底面直径AB与母线AD相等，E是的中点，则AE与BD所成的角为(　　)
12.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是(　　)
30° 45°
60° 120°
13.(16分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点.设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，
求sin2α＋sin2β的值.
三、创新拓展
14.如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条.
课时精练37　异面直线
1.AC　2.A　3.C　4.A　5.B
6.平行、相交或异面　7.③　8.
9.解　法一　如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥DB1，EF∥A1C1，
∴∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法二　如图②，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，
则HE∥DB1，且HE＝DB1.
于是∠HEF(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
设AA1＝1，则EF＝，HE＝.
取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF，
∴HF2＝HI2＋IF2＝，
∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法三　如图③，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角.
设AA1＝1，则DQ＝＝，
B1D＝＝，
B1Q＝＝，
∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
10.证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
11.C　12.C
13.解　取正方形B1C1CB的中心为点O，连接OC1，OE.
因为E是正方形
ADD1A1的中心，
所以由正方体的性质知OE∥AB，
所以∠C1EO为异面直线C1E与AB所成的角，
即∠C1EO＝β.
取BC的中点H，连接GH，FH.
因为F是正方形ABCD的中心，
所以FH∥AB，
所以∠GFH为异面直线GF与AB所成的角，即∠GFH＝α.
设正方体的棱长为2，
在△GFH中，GH＝，FH＝1，GF＝，
所以GH2＋FH2＝GF2，
即∠FHC＝90°，则sin α＝＝.
在△C1EO中，OE＝2，C1E＝，OC1＝，
所以OE2＋OC＝C1E2，即∠EOC1＝90°，
则sin β＝＝，所以sin2α＋sin2β＝1.
14.4

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