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培优课 与球有关的切、接问题
课标要求 1.掌握外接球问题的常见类型及解法. 2.掌握内切球问题的常见类型及解法.
【引入】 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
一、外接球问题
例1 (1)在三棱锥P－ABC中，AC⊥AB，AB＝，AC＝1，PA＝PB＝PC＝，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π
C.8π D.
(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝2，AC＝，∠BAC＝，则直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的表面积为 .
思维升华 外接球问题通常可分为两类：
(1)柱体的外接球问题，其关键在于知道球心是柱体两底面外接圆圆心连线的中点，结合原有柱体的特征，即可求出球的半径.
(2)锥体外接球问题，其关键是确定球心的位置，找球心通常有以下方法：①将棱锥补形为正方体或长方体，进而确定球心；②锥体的外接球球心一定在过底面的外心且与底面垂直的直线上；③球心到各顶点的距离相等.
训练1 (1)在四面体A－BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A－BCD的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π
C.6π D.8π
(2)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”的观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )
A.72π cm2 B.162π cm2
C.216π cm2 D.288π cm2
二、内切球问题
例2 (1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑
A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球的表面积为( )
A.3π B.π
C.(3－2)π D.(－1)π
(2)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为 .
思维升华 求内切球的半径通常有两种方法：
(1)求多面体内切球半径，通常用体积分割法求解，即V多面体＝S表·R内切球；
(2)求旋转体的内切球半径，通常通过轴截面来求解，轴截面的内切圆半径就等于旋转体的内切球半径.
训练2 (1)在正三棱锥A－BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积为 ，内切球半径为 .
(2)球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比为
.
三、球与球相切问题
例3 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，求球O2的体积.
思维升华 (1)球与球相切也有两球外切和内切两种情形.
(2)常连接两球球心，必要时加以延长并找到与其它几何体表面的交点.
训练3 (1)将大小不同的两个空心铁球O2，O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形容器中，若两球相切，两球均与圆锥形容器的侧面相切，且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切，圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC，如图所示，则放入两球后溢出的水的体积为 .
(2)水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 .
【课堂达标】
1.若一个正方体的外接球半径为3，则该正方体的体积为( )
A.54 B.36π
C.24 D.3
2.如图所示的一个圆锥形的金属配件，重75.06 g，其轴截面是一个等边三角形.现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为( )
A.34.37 g B.34.03 g
C.33.36 g D.32.69 g
3.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
4.体积为36π的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为8π的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为 .
培优课 与球有关的切、接问题
例1 (1)B (2)64π
[(1)如图，取BC的中点O，连接PO，OA.
因为AC⊥AB，AB＝，
AC＝1，
所以BC＝2，AO＝BO＝CO＝BC＝1.
因为PB＝PC＝，所以PB2＋PC2＝BC2，
所以PB⊥PC，所以PO＝BC＝1，
所以PO＝AO＝BO＝CO＝1，
所以三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径R＝1，故三棱锥P－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π.
(2)如图，设直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心为O.
过球心O作底面A1B1C1的垂线OO1，垂足为O1，连接OB1，O1B1.
由已知得OO1＝AA1＝，
B1C1＝BC
＝
＝＝.
设圆O1的半径为r，球O的半径为R.
因为O1为△A1B1C1的外心，
所以＝2r，
解得r＝，即O1B1＝，
所以R＝OB1＝＝4，
所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.]
训练1 (1)C (2)C [(1)如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则
三式相加得a2＋b2＋c2＝6.
因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
(2)不妨设正方体的棱长为2a，球O的半径为R，则圆柱的底面半径为a.
因为正方体的体对角线即为球O直径，
故2R＝2a，
利用勾股定理得62＋a2＝R2＝3a2，
解得a2＝18，故球O的表面积为S＝4πR2＝4π×3×18＝216π.]
例2 (1)C (2)r
[(1)因为四面体
A－BCD的四个面都为直角三角形，
AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
所以AB⊥BD，AB⊥BC，
BC⊥CD，AC⊥CD.
设四面体A－BCD内切球的球心为O，半径为r，
则VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)
所以r＝.
因为四面体A－BCD的表面积SA－BCD＝S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝1＋，
又因为四面体A－BCD的体积VA－BCD＝××1×1×1＝，所以r＝＝，
所以内切球的表面积S＝4πr2＝(3－2)π.
(2)如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.
设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E，
则DO＝r，AD＝r，AB＝AC＝BC＝2r，
∴CD＝3r.
由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD＝
∶
＝CE3∶CD3.
又∵V圆锥CD＝(r)2·3r＝3πr3，
V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O
＝3πr3－πr3＝πr3，
∴∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝r.
∴球从容器中取出后，水的深度为r.]
训练2 (1)3 (2)4∶9
[(1)如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点.
∵底面边长为2，
∴DE＝，OD＝，OE＝，
∴AE＝＝＝，
S△ABC＝×2×＝，
S△BCD＝×2×＝，
S表＝3S△ABC＋S△BCD＝2＋＝3.
设三棱锥的内切球半径为r，球心为O′，
∴VA－BCD＝VO′－ABC＋VO′－ACD＋VO′－ABD＋VO′－BCD，
∴××1＝3×＋××r，解得r＝.
(2)如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，且O为球心.
设球的半径OE＝R，
则OA＝＝2OE＝2R.
∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，
BD＝AD·tan 30°＝R.
∵V球＝πR3，
V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3，∴V球∶V圆锥＝4∶9.]
例3 解 如图，在正四面体V－ABC中，
设点O是底面ABC的中心，
点D是BC的中点，连接VO，VD.
则由已知可得，VO⊥平面ABC，球心O1，O2在线段VO上，球O1，O2与平面VBC的切点在线段VD上，分别设为D1，D2，连接O1D1，O2D2，
则易知△VD1O1∽△VOD，△VD2O2∽△VD1O1.
设球O1，O2的半径分别为r1，r2.
因为AD＝＝6，
故根据重心定理可知，OD＝AD＝2.
VD＝6，VO＝＝4，OO1＝O1D1＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2D2＝r2.
由△VD1O1∽△VOD可得，
＝＝，
即＝，解得r1＝，
所以VO1＝3.
由△VD2O2∽△VD1O1可得，
＝＝，
即＝，
解得r2＝，
所以球O2的体积为πr＝π×3＝π.
训练3 (1)π (2)＋2
[(1)设球O2，O1的半径分别为r，R.
由题意正三角形ABC的高h＝3，
由h＝O1A＋R＝＋R＝3，
可得R＝.
又O2A＝h－2R－r＝－r，
O2A＝＝2r，所以－r＝2r，
解得r＝，
所以放入两球后溢出的水的体积为
πR3＋πr3＝π.
(2)如图所示，设3个球心分别为A1，B1，C1，3个球分别与水平桌面相切于A，B，C三点.
假设半球形的容器与球C1相切于点D，此时半球形容器内壁的半径最小，设为Rmin.
易知△ABC是边长为4的正三角形，设AB的中点为E，由题意半球形容器的球心O为△ABC的中心，
则OC＝CE＝＝，
则Rmin＝OC1＋C1D
＝＋2＝＋2.
课堂达标
1.C [设正方体的棱长为a，
由正方体的外接球直径长度为正方体的体对角线长，
得2×3＝＝a，
解得a＝2，
所以正方体的体积为a3＝(2)3＝24.]
2.C [给出圆锥以及内切球的轴截面，如图所示.
设OH＝r，
则AH＝r，CH＝3r，
故圆锥的体积V1＝×π×(r)2×3r＝3πr3，
球的体积V2＝πr3，＝＝，所以该球配件的重量约为×75.06＝33.36(g).]
3.16π [取PC的中点O，连接OA，OB(图略).
∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，
∴OA＝PC，同理OB＝PC，
即OA＝OB＝OP＝OC，
即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，
∴O为三棱锥外接球的球心.
又PC＝＝4，
∴外接球半径R＝PC＝2，
∴S球＝4πR2＝16π.]
4.8π [设球的半径为R，则πR3＝36π，得R＝3.
当圆柱的体积最大时，圆柱的上、下底面均是球的一个截面.
设圆柱的底面半径为r，则πr2＝8π，得r＝2，
此时圆柱的高h＝2＝2＝2，
所以圆柱的侧面积为2πr·h＝2π×2×2＝8π.](共69张PPT)
第13章 13.3 空间图形的表面积和体积
培优课 与球有关的切、接问题
课标要求
1.掌握外接球问题的常见类型及解法.
2.掌握内切球问题的常见类型及解法.
引入
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
课时精练
一、外接球问题
二、内切球问题
三、球与球相切问题
课堂达标
内容索引
外接球问题
一
例1
√
如图，取BC的中点O，连接PO，OA.
所以三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径R＝1，
故三棱锥P－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π.
所以三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径R＝1，
故三棱锥P－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π.
64π
如图，设直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心为O.
过球心O作底面A1B1C1的垂线OO1，垂足为O1，连接OB1，O1B1.
设圆O1的半径为r，球O的半径为R.
因为O1为△A1B1C1的外心，
所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.
外接球问题通常可分为两类：
(1)柱体的外接球问题，其关键在于知道球心是柱体两底面外接圆圆心连线的中点，结合原有柱体的特征，即可求出球的半径.
(2)锥体外接球问题，其关键是确定球心的位置，找球心通常有以下方法：①将棱锥补形为正方体或长方体，进而确定球心；②锥体的外接球球心一定在过底面的外心且与底面垂直的直线上；③球心到各顶点的距离相等.
思维升华
训练1
√
如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，
三式相加得a2＋b2＋c2＝6.
因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，
所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
√
(2)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”的观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为
A.72π cm2 B.162π cm2
C.216π cm2 D.288π cm2
不妨设正方体的棱长为2a，球O的半径为R，则圆柱的底面半径为a.
因为正方体的体对角线即为球O直径，
利用勾股定理得62＋a2＝R2＝3a2，
解得a2＝18，
故球O的表面积为S＝4πR2＝4π×3×18＝216π.
内切球问题
二
例2
√
因为四面体A－BCD的四个面都为直角三角形，
AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
所以AB⊥BD，AB⊥BC，
BC⊥CD，AC⊥CD.
设四面体A－BCD内切球的球心为O，半径为r，
则VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD
(2)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为________.
如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.
设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E，
思维升华
(1)在正三棱锥A－BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积为________，内切球半径为________.
训练2
如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点.
设三棱锥的内切球半径为r，球心为O′，
(2)球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比为________.
4∶9
如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，且O为球心.
球与球相切问题
三
例3
已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，求球O2的体积.
如图，在正四面体V－ABC中，
设点O是底面ABC的中心，
点D是BC的中点，连接VO，VD.
则由已知可得，VO⊥平面ABC，球心O1，O2在线段VO上，球O1，O2与平面VBC的切点在线段VD上，分别设为D1，D2，连接O1D1，O2D2，
则易知△VD1O1∽△VOD，△VD2O2∽△VD1O1.
思维升华
(1)球与球相切也有两球外切和内切两种情形.
(2)常连接两球球心，必要时加以延长并找到与其它几何体表面的交点.
训练3
(1)将大小不同的两个空心铁球O2，O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形容器中，若两球相切，两球均与圆锥形容器的侧面相切，且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切，圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC，
如图所示，则放入两球后溢出的水的体积为___________.
设球O2，O1的半径分别为r，R.
如图所示，设3个球心分别为A1，B1，C1，3个球分别与水平桌面相切于A，B，C三点.
(2)水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为____________.
假设半球形的容器与球C1相切于点D，此时半球形容器内壁的半径最小，设为Rmin.
易知△ABC是边长为4的正三角形，设AB的中点为E，由题意半球形容器的球心O为△ABC的中心，
【课堂达标】
1.若一个正方体的外接球半径为3，则该正方体的体积为
√
设正方体的棱长为a，
由正方体的外接球直径长度为正方体的体对角线长，
√
2.如图所示的一个圆锥形的金属配件，重75.06 g，其轴截面是一个等边三角形.现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为
A.34.37 g B.34.03 g C.33.36 g D.32.69 g
给出圆锥以及内切球的轴截面，如图所示.
16π
取PC的中点O，连接OA，OB(图略).
∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，
4.体积为36π的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为8π的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为________.
当圆柱的体积最大时，圆柱的上、下底面均是球的一个截面.
【课时精练】
√
1.正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为
设正方体的棱长为a，
√
2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为
A.16π B.20π C.24π D.32π
∵正四棱锥的高为3，体积为6，∴S底＝6，
√
3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为
作出该球的轴截面图如图所示，
由题意BE＝2，AE＝CE＝4.
设DE＝x，故AD＝2＋x.
因为AD2＝AE2＋DE2，
则(2＋x)2＝42＋x2，
解得x＝3，故该球的半径AD＝5，
√
设正方体的棱长为a，
√
√
∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，
∴a＝2，即正方体的棱长为2，
√
5.设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则该直三棱柱的体积是
设AB＝AC＝AA1＝2m.
因为∠BAC＝120°，所以∠ACB＝30°.
6.如图，已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA＝2PB＝2PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积是________.
6π
设三棱锥P－ABC的外接球的半径为R.
由题意可将三棱锥P－ABC补全为长方体(如图)，
且长方体共顶点的三条棱的长分别为2，1，1，
则长方体的体对角线为三棱锥P－ABC的外接球的直径，
7.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝AP，BC⊥CA.若三棱锥P－ABC外接球的表面积为5π，则BC＝________.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PA，
又BC⊥CA，CA∩PA＝A，CA，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
由PC 平面PAC，得BC⊥PC.
由PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，得PA⊥AB.
由PB是Rt△PCB和Rt△PAB的公共斜边，则PB是三棱锥的外接球直径.
设外接球半径为R，
设AC＝AP＝m，
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________________.
由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径).
设该正方体的棱切球半径为r，
根据条件，作棱台如图，
则其外接球的球心O在直线E1E上.
(1)求点A到平面A1BC的距离；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1，求三棱锥A－A1BC内切球的表面积.
∵AA1⊥平面ABC，AC，AB 平面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.
√
11.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示.在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为
如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O1.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O1为矩形ABCD外接圆的圆心.
连接OO1，则OO1⊥平面ABCD.
分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OO1交EF于点M.
连接PQ，则PQ∥AB，且O1为PQ的中点.
因为EF∥AB，所以PQ∥EF.
连接EP，FQ.
设OO1＝m，球O的半径为R，连接OE，OA.
当O在线段O1M上时，由球的性质可知
当O在线段MO1的延长线上时，由球的性质可知，
依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体棱长最大时内接于这个圆锥的内切球.
设圆锥内切球球心为P，球的半径为r，圆锥的底面圆半径为R＝1.
作出圆锥的轴截面，截圆锥得等腰△SAB，其中SA＝SB，截圆锥内切球得球的大圆，该圆是△SAB的内切圆，如图，
即△SAB为正三角形，于是P是△SAB的中心.
连接BP，则BP平分∠SBA，有∠PBO＝30°，
正四面体可以从正方体中截得，如图，
(1)求证：BN∥平面AMQ；
连接PN与AM相交于点O，连接OQ，MN.
又因为OQ 平面AMQ，BN 平面AMQ，
所以BN∥平面AMQ.
(2)求四面体P－ABC内切球的表面积.
显然可得PA⊥AC，PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
此时PB＝BC>PC，则△BCP不是直角三角形，不符合题意.
又AB>AC，所以AC⊥BC，
又AC∩AP＝A，AC，AP 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BC⊥CP，符合题意.
由题意可知，正方体的体积为V＝2×2×2＝8.
设正方体的外接球的半径为R，则
易知正方体的体对角线长等于正方体外接球的直径，即(2R)2＝22＋22＋22，第13章 课时精练46 与球有关的切、接问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为( )
1∶2∶3 1∶∶
1∶2∶3 1∶∶
2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
16π 20π
24π 32π
3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
cm3 cm3
cm3 cm3
4.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则( )
正方体的外接球的表面积为12π
正方体的内切球的体积为π
正方体的棱长为2
线段MN长度的最大值为2
5.设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则该直三棱柱的体积是( )
4
2
6.如图，已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA＝2PB＝2PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积是________.
7.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝AP，BC⊥CA.若三棱锥P－ABC外接球的表面积为5π，则BC________.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________.
9.(13分)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为和2，高为，求该正四棱台的外接球的表面积.
10.(15分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.
(1)求点A到平面A1BC的距离；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1，求三棱锥A－A1BC内切球的表面积.
二、综合运用
11.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示.在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
12.已知圆锥底面圆的直径为2，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为________.
13.(16分)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体P－ABC是“鳖臑”，PA＝AC＝2，AB＝2，M，N分别为PC，AC的中点，Q在线段PB上，且PQ＝2QB.
(1)求证：BN∥平面AMQ；
(2)求四面体P－ABC内切球的表面积.
三、创新拓展
14.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖.如图，已知棱长为2的正方体除去按上述方法截得的牟合方盖后剩余的体积是，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是________.
课时精练46 与球有关的切、接问题
1.C 2.A 3.A 4.ABC 5.A
6.6π 7. 8.[2，2]
9.解 根据条件，作棱台如图，
则其外接球的球心O在直线E1E上.
因为AB＝，A1B1＝2，EE1＝，
所以A1E1＝，AE＝.
由OA＝OA1，可得＝，即OE2－OE＝.①
若点O在线段EE1上，则OE＋OE1＝，
结合①得OE1＝－<0，舍去.
若点O在EE1的延长线上，
则OE－OE1＝，结合①得OE＝，
所以外接球半径即OA＝＝，
所以其外接球表面积为4π×＝.
10.解 (1)设点A到平面A1BC的距离为h，
∵VA1－ABC＝VABC－A1B1C1＝，
VA－A1BC＝h·S△A1BC＝×2×h，
又VA－A1BC＝VA1－ABC，
∴×2×h＝，∴h＝.
(2)设AB＝AC＝AA1＝a，
则VABC－A1B1C1＝a2×a＝4，解得a＝2，
∴AB＝AC＝AA1＝2，A1B＝A1C＝BC＝2.
∵AA1⊥平面ABC，AC，AB 平面ABC，
∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.
设三棱锥A－A1BC内切球的半径为r，则
r(S△ABC＋S△ABA1＋S△ACA1＋S△A1BC)＝，即r＝，
可得r＝.
所以三棱锥A－A1BC内切球的表面积
S＝4π2＝π.
11.D 12.
13.(1)证明 连接PN与AM相交于点O，连接OQ，MN.
因为M，N分别为PC，AC的中点，
则MN∥PA且MN＝PA，
所以△MON∽△AOP，
所以＝＝2，
又PQ＝2QB，
所以＝＝2，
所以OQ∥BN.
又因为OQ 平面AMQ，BN 平面AMQ，
所以BN∥平面AMQ.
(2)解 由题意四面体P－ABC是“鳖臑”，PA＝AC＝2，AB＝2，
显然可得PA⊥AC，PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
又PC＝＝2，
PB＝＝2，
若AC⊥AB，则BC＝＝2，
此时PB＝BC>PC，则△BCP不是直角三角形，不符合题意.
又AB>AC，所以AC⊥BC，
又AC∩AP＝A，AC，AP 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
所以BC⊥CP，符合题意.
则BC＝＝2，
所以S△ABC＝×2×2＝2，
S△PAB＝×2×2＝2，
S△PAC＝×2×2＝2，
S△PBC＝×2×2＝2，
VP－ABC＝PA·S△ABC＝×2×2＝.
设四面体P－ABC的内切球的半径为r，所以VP－ABC＝S表r，即＝(2＋2＋2＋2)r，解得r＝－1，所以S球＝4πr2＝4(3－2)π，即四面体P－ABC内切球的表面为4(4－2)π.
14.
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