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14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
课标要求　1.理解极差、方差、标准差的意义. 2.会求样本数据的方差、标准差.3. 能用样本的方差、标准差估计总体.
【引入】 平均数、中位数和众数这些参数，在一定程度上能反映一组数据的集中趋势，有时我们不仅关心数据的集中趋势，还要认识数据的离散程度，哪些参数能反映数据的离散程度呢？
一、极差、方差、标准差
探究1 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如表)，检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2，哪种钢筋的质量较好(即质量稳定)
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.极差
(1)定义：一组数据的________与________的差.
(2)作用：极差较大，数据点较________；极差较小，数据点较________.
2.方差、标准差
(1)方差：一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2＝____________为这个样本的方差，简称样本方差.
(2)标准差：方差的算术平方根s＝____________为样本的标准差，简称样本标准差.
(3)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为____________.
(4)标准差(或方差)越________，数据越稳定在平均数附近.s＝0时，每一组样本数据均为.
温馨提示　1.标准差(方差)刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.特别地，当方差、标准差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度.
2.利用方差的定义，很容易证明方差的性质：
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差相等.
(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.
例1 (1)(链接教材P253例7)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差；
(2)(链接教材P254例8)某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位：min)记录如下表：
等待时间 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
运用上述分组资料，①计算出病人平均等待时间的估计值，②病人等待时间方差的估计值s2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　方差的计算方法
(1)利用定义：
s2＝ (xi－)2；
(2)利用变形式：
s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
s2＝(x＋x＋…＋x)－2.
(3)运用方差的性质.
训练1 (1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是(　　)
A. B.
C. D.
(2)某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
则全班这次考试成绩的平均数和标准差分别为________、________.
二、方差、标准差的应用
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5
估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99
乙：110　115　90　85　75　115　110
试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、分层抽样样本的方差
【知识梳理】
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，样本方差为s，j＝1，2，…，k.记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为s＝∑k,j＝1∑nj,t＝1 (xjt－)2＝nj[s＋(j－)2].
温馨提示　下面例3中显示了分为两层时，公式的推导过程.
例3 (链接教材P255例9)某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生32人，女生18人.测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均数为173.5 cm，方差为17 cm2；女生身高的样本平均数为163.83 cm，方差为30.03 cm2.求所有50个身高数据的样本方差.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.以后可直接运用结论
s＝nj[s＋(j－)2]，不必再显示推导过程.
2.计算分层抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，…k，s，s，…s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]＋…＋[s＋(k－)2]计算s2.
训练3 (1)某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的平均分为70，方差为4；6名男生的平均分为80，方差为14.则该小组10名同学的测验成绩的方差为________.
(2)已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2024年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________(万元/平方米)2.
【课堂达标】
1.下列说法正确的是(　　)
A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2.某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为(　　)
A.92，2.8 B.92，2
C.93，2 D.93，2.8
3.在某次运动会选拔赛上，甲、乙、丙、丁四人参加10 m气步枪项目的角逐.如果四人成绩的平均数和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.6 8.9 8.9 8.2
方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6
那么从这四个人中选择一人参加运动会10 m气步枪项目比赛，最佳人选是(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
探究1　提示　(1)将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如图(这种图，也称为点线图)
从图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
(2)比较甲、乙两种钢筋每一种抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和，有(115－125)2＋(100－125)2＋…＋(145－125)2>(110－125)2＋(120－125)2＋…＋(125－125)2，所以乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
知识梳理
1.(1)最大值　最小值　(2)分散　集中
2.(1) (xi－)2　(2)　(3)p1(x1－)2＋p2(x2－)2＋…＋pn(xn－)2　(4)小
例1　解　(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，
s甲＝≈10.208.
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，
同理s＝128.8，s乙＝≈11.349.
(2)①＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min).
②s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min)2.
训练1　(1)C　(2)85　　[(1)因为数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是，由方差的性质知，数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是22×＝.
(2)设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为，标准差为s.
根据题意，有＝＝85，
42＝(x＋x＋…＋x－20×902)，
62＝(x＋x＋…＋x－20×802)，
∴x＋x＋…＋x＝20×(42＋62＋902＋802)
＝291 040，
∴s2＝(x＋x＋…＋x)－2
＝×291 040－852＝51，∴s＝.]
例2　解　甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环).
由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3(环2)，s＝1.2(环2).
甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当.
s＞s，说明甲战士射击情况波动比乙大.
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.
训练2　解　甲＝×(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝×(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，
s＝×[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝×(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝×[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝×(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.
所以s例3　解　记男生样本为y1，y2，…，y32，平均数为男，方差为s；
记女生样本为z1，z2，…，z18，平均数为女，方差为s；
所有数据样本的平均数为总，方差为s.
样本总量为50.
所有50个数据的平均数为
总＝男＋女＝×173.5＋×163.83≈170.02(cm).
下面计算所有数据的样本方差.
根据方差的定义，
s＝[ (yi－总)2＋ (zj－总)2]
＝{[(yi－男)＋(男－总)]2＋[(zj－女)＋(女－总)]2}
＝{[(yi－男)2＋2(yi－男)(男－总)＋男－总)2]＋[(zj－女)2＋2(zj－女)(女－总)＋(女－总)2]}
＝{[ (yi－男)2＋2(yi－男)(男－总)＋ (男－总)2]＋[ (zj－女)2＋2(zj－女)(女－总)＋ (女－总)2]}，
其中
(yi－男)(男－总)＝(男－总)(yi－男)＝(男－总)(yi－32男)＝0.
同理
(zj－女)(女－总)＝0.
于是
s＝{[ (yi－男)2＋ (男－总)2]＋[ (zj－女)2＋ (女－总)2]}
＝{[32s＋32(男－总)2]＋[18s＋18(女－总)2]}≈43.24(cm2).
训练3　(1)34　(2)118.52　[(1)该小组10名同学的测验成绩的均值为＝×70＋×80＝76，
所以该小组10名同学的测验成绩的方差为s2＝×[4＋(76－70)2]＋×[14＋(76－80)2]＝16＋18＝34.
(2)设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.8－1.2)2]＋[8＋(0.8－1.2)2]，
解得s2＝118.52(万元/平方米)2，
即二线城市房价的方差为118.52(万元/平方米)2.
课堂达标
1.B　[A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；
C中求和后还需取平均数；
D中方差越大，射击越不稳定.]
2.A　[该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.]
3.C　[均值反映成绩的平均水平，均值越大，平均水平越高，所以乙和丙的水平较高.
又方差反映数据的稳定性程度，方差越小，数据越稳定，可得丙的成绩更稳定，所以最佳人选应该是均值大、方差小的人，即丙.]
4.C　[由题意可知两个班数学成绩平均数＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.](共68张PPT)
第14章 14.4　用样本估计总体
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
课标要求
1.理解极差、方差、标准差的意义.
2.会求样本数据的方差、标准差.
3. 能用样本的方差、标准差估计总体.
引入
平均数、中位数和众数这些参数，在一定程度上能反映一组数据的集中趋势，有时我们不仅关心数据的集中趋势，还要认识数据的离散程度，哪些参数能反映数据的离散程度呢？
课时精练
一、极差、方差、标准差
二、方差、标准差的应用
三、分层抽样样本的方差
课堂达标
内容索引
极差、方差、标准差
一
探究1 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如表)，检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2，哪种钢筋的质量较好(即质量稳定)
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
提示　(1)将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如图(这种图，也称为点线图)
从图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
(2)比较甲、乙两种钢筋每一种抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和，有(115－125)2＋(100－125)2＋…＋(145－125)2>(110－125)2＋(120－125)2＋…＋(125－125)2，所以乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
1.极差
(1)定义：一组数据的__________与_______的差.
(2)作用：极差较大，数据点较_______；极差较小，数据点较_______.
知识梳理
最大值
最小值
分散
集中
2.方差、标准差
温馨提示
1.标准差(方差)刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.特别地，当方差、标准差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度.
2.利用方差的定义，很容易证明方差的性质：
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差相等.
(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.
例1
(1)(链接教材P253例7)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差；
(2)(链接教材P254例8)某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位：min)记录如下表：
等待时间 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
思维升华
训练1
√
85
(2)某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别 平均数 标准差
第一组 90 4
第二组 80 6
则全班这次考试成绩的平均数和标准差分别为________、________.
方差、标准差的应用
二
例2
甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5
估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.
思维升华
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99
乙：110　115　90　85　75　115　110
试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.
训练2
分层抽样样本的方差
三
知识梳理
温馨提示
下面例3中显示了分为两层时，公式的推导过程.
例3
(链接教材P255例9)某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生32人，女生18人.测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均数为173.5 cm，方差为17 cm2；女生身高的样本平均数为163.83 cm，方差为30.03 cm2.求所有50个身高数据的样本方差.
样本总量为50.
所有50个数据的平均数为
样本总量为50.
所有50个数据的平均数为
下面计算所有数据的样本方差.
根据方差的定义，
样本总量为50.
所有50个数据的平均数为
样本总量为50.
所有50个数据的平均数为
同理
思维升华
训练3
34
(1)某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的平均分为70，方差为4；6名男生的平均分为80，方差为14.则该小组10名同学的测验成绩的方差为________.
(2)已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2024年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________(万元/平方米)2.
118.52
设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
即二线城市房价的方差为118.52(万元/平方米)2.
【课堂达标】
1.下列说法正确的是
A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
√
A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；
C中求和后还需取平均数；
D中方差越大，射击越不稳定.
√
2.某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为
A.92，2.8 B.92，2 C.93，2 D.93，2.8
3.在某次运动会选拔赛上，甲、乙、丙、丁四人参加10 m气步枪项目的角逐.如果四人成绩的平均数和方差如下表所示：
√
那么从这四个人中选择一人参加运动会10 m气步枪项目比赛，最佳人选是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
均值反映成绩的平均水平，均值越大，平均水平越高，所以乙和丙的水平较高.
又方差反映数据的稳定性程度，方差越小，数据越稳定，可得丙的成绩更稳定，所以最佳人选应该是均值大、方差小的人，即丙.
4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
√
【课时精练】
√
1.(多选)下列四个选项中，正确的是
A.极差与方差都反映了数据的集中程度
B.方差是没有单位的统计量
C.标准差比较小时，数据比较分散
D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍
只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，
由定义可知A正确，B，C错误.
√
√
2.(多选)已知一组数据4，2，a，10，7的平均数为5，则此组数据的
√
√
√
3.(链接教材P257练习T3)已知一组样本数据x1，x2，…，xn(n∈N*)的均值和方差分别为2和0.25，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的均值和方差分别为
A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25
3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的均值为3×2＋2＝8，方差为9×0.25＝2.25.故选C.
√
√
5.某班为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个15人的样本统计如下：
学生数 平均支出/元 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为
A.10 B.11.2 C.23 D.11.5
6.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________.
由题意可得：
4
即x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8.
设x＝10＋t，y＝10－t，则2t2＝8，解得t＝±2，
∴|x－y|＝2|t|＝4.
7.已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20(a，b∈N)，且样本的中位数为10.5，则a＋b＝________；若要使该样本的方差最小，则ab＝________.
21
110
要使样本方差最小，即使(a－10)2＋(b－10)2最小.
所以当b＝11或b＝10时，(a－10)2＋(b－10)2取得最小值.
又a＋b＝21，a≤b，
所以a＝10，b＝11，所以ab＝110.
70
8.已知样本数据x1，x2，…，x40的平均数和方差分别为77和123，样本数据y1，y2，…，y30的平均数和方差分别为m和n，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则m＝________，n＝________.
130
9.甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2；高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
√
11.某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为
A.0 B.1 C.2 D.3
设这五个数为x1，x2，x3，x4，x5，
则(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋(x4－3)2＋(x5－3)2＝2.
因为(xi－3)2，i＝1，2，3，4，5为正整数，
所以这五个数必有3个3，另外两个为2或4.
又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝15，所以这五个数为3，3，3，2，4.故选B.
√
√
√
13.某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位：kg)如下：
74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.
(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
这10位同男学的体重数据的平均数
将这10位男同学的体重数据按从小到大重新排列，得65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，
这10位男同学的体重数据的方差
14.某大学为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分(满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2～10分).根据打分结果按[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅满意指数在[2，4)的有30人.
(1)求B餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计A餐厅满意指数和B餐厅满意指数的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(3)如果一名新来同学打算从A，B两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
则0.15×2＋a×2＋0.2×2＋0.05×2＝1，所以a＝0.1.
(3)因为A餐厅满意指数的平均数及方差分别为6.4，3.24，
B餐厅满意指数的平均数及方差分别为5.6，4.04，
且6.4>5.6，3.24<4.04，
所以推荐A餐厅.第14章　课时精练54　用样本估计总体的离散程度参数
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分.
一、基础巩固
1.(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)
极差与方差都反映了数据的集中程度
方差是没有单位的统计量
标准差比较小时，数据比较分散
只有两个数据时，极差是标准差的2倍
2.(多选)已知一组数据4，2，a，10，7的平均数为5，则此组数据的(　　)
众数为2 中位数为4
极差为3 方差为
3.(链接教材P257练习T3)已知一组样本数据x1，x2，…，xn(n∈N*)的均值和方差分别为2和0.25，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的均值和方差分别为(　　)
6和0.75 8和0.75
8和2.25 6和2.25
4.已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数的频率分布如图所示.令甲，乙分别表示甲、乙射中环数的均值，s，s分别表示甲、乙射中环数的方差，则(　　)
甲<乙，s>s 甲>乙，s甲＝乙，s>s 甲＝乙，s5.某班为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个15人的样本统计如下：
学生数 平均支出/元 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为(　　)
10 11.2
23 11.5
6.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________.
7.已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20(a，b∈N)，且样本的中位数为10.5，则a＋b＝________；若要使该样本的方差最小，则ab＝________.
8.已知样本数据x1，x2，…，x40的平均数和方差分别为77和123，样本数据y1，y2，…，y30的平均数和方差分别为m和n，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则m＝________，n＝________.
9.(10分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
10.(10分)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2；高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
二、综合运用
11.某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为(　　)
0 1
2 3
12.(多选)已知两组数据，第一组x1，x2，…，x7和第二组y1，y2，…，y7，y8，其中xi＝yi(i＝1，2，…，7)，y8＝xi，第一组数据不全相同，则对于这两组数据，下列说法正确的是(　　)
平均数一定相等
中位数一定相等
极差一定相等
第一组数据的方差大于第二组数据的方差
13.(13分)某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位：kg)如下：
74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.
(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)高一10位男同学的体重数据中，位于[－s，＋s]内的有几个？所占的百分比是多少？
三、创新拓展
14.(14分)某大学为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分(满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2～10分).根据打分结果按[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅满意指数在[2，4)的有30人.
(1)求B餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计A餐厅满意指数和B餐厅满意指数的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(3)如果一名新来同学打算从A，B两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
课时精练54　用样本估计总体的离散程度参数
1.AD　2.ABD　3.C　4.D　5.B
6.4　7.21　110　8.70　130
9.解　(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
甲＝＝13(分)，
乙＝＝13(分)，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4(分2)，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8(分2).
(2)由s>s可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
10.解　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)，
年龄的方差为s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师平均年龄为＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是s2＝×[2＋(38－39.2)2]＋×[73＋(45－39.2)2]＝20.64.
11.B　12.ACD
13.解　(1)这10位同男学的体重数据的平均数
＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71(kg).
将这10位男同学的体重数据按从小到大重新排列，得65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，
所以这10位男同学的体重数据的中位数为
＝71.5(kg).
这10位男同学的体重数据的方差
s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]
＝11(kg2)，
标准差s＝＝(kg).
故估计高一所有男同学体重数据的平均数为71 kg，中位数为71.5 kg，方差为11 kg2，标准差为 kg.
(2)因为[－s，＋s]＝[71－，71＋]，
所以数据74，71，72，68，76，73，67，70，65，74中，有7个数据位于区间[71－，71＋]内，所占的百分比为70%.
14.解　(1)因为B餐厅满意指数在[2，4)的有30人，
所以2×b＝，解得b＝0.15，
则0.15×2＋a×2＋0.2×2＋0.05×2＝1，
所以a＝0.1.
(2)设A餐厅满意指数的平均数与方差分别为1，s，B餐厅满意指数的平均数与方差分别为2，s，
则1＝3×0.1＋5×0.3＋7×0.4＋9×0.2＝6.4，
s＝(3－6.4)2×0.1＋(5－6.4)2×0.3＋(7－6.4)2×0.4＋(9－6.4)2×0.2＝3.24，
2＝3×0.3＋5×0.2＋7×0.4＋9×0.1＝5.6，
s＝(3－5.6)2×0.3＋(5－5.6)2×0.2＋(7－5.6)2×0.4＋(9－5.6)2×0.1＝4.04.
(3)因为A餐厅满意指数的平均数及方差分别为6.4，3.24，B餐厅满意指数的平均数及方差分别为5.6，4.04，且6.4>5.6，3.24<4.04，
所以推荐A餐厅.

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