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11.2 一元一次不等式的概念
第11章 一元一次不等式
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解一元一次不等式的概念.
2.理解不等式的解与不等式的解集，会在数轴上表
示不等式的解集，体会数形结合的思想.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的
不等式叫作一元一次不等式.
2.一元一次不等式必须同时满足三个条件:（1）不等式的两边都是
整式;（2）只含有一个未知数;（3）未知数的次数为1.
一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点
一元一次不等式 一元一次方程
相同点 未知数的个数 1 1
未知数的次数 1 1
式子特点 左、右两边均为 整式 左、右两边均为
整式
不同点 表示关系 不等 相等
典例1 下列各式中,一定是关于 的一元一次不等式的是( )
B
A. B. C. D.
解析：
选 项 一元一次不等式满足的条件 是否为一
元一次不
等式
不等式两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的次 数都是1
A 否
B √ √ √ 是
C √ √ 否
D √ 否
1.不等式的解集：把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一
个解，所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.
不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个
数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在
该解集中.
不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
示例：不等 式 ，3等
区别 不等式的解是使不等 式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式
成立的所有未知数的值
联系 解集包含所有的解，所有的解组成解集.
典例2 在，，0，1中，是不等式 的解的是___.
1
解析：根据不等式的基本性质2，在不等式两边都除以2，
得 ，即所有大于0.5的数都满足上述不等式，所以是不等式
的解的是1.
2.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式.
3.在数轴上表示不等式的解集
不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数
轴上直观地表示出来.一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有
以下四种情况（设 ）：
不等式 的解集
数轴表 示 ________________________________ ________________________________ ______________________________ ________________________________
典例3 不等式 的解集在数轴上表示正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
解题通法
用数轴表示不等式的解集的步骤
（1）定边界点,在数轴上要标出原点和边界点,有等号画实心圆圈
（表示包括这一点）,无等号画空心圆圈（表示不包括这一点）;
（2）定方向,大于向右,小于向左.
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有( )
（1）;（2） ;
（3）;（4） .
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 不等式 的解集在数轴上表示正确的为( )
A
A. B.
C. D.
返回
3.若是关于 的一元一次不等式，则
___.
4.不等式 的非正整数解是_______.
5.若代数式的值不大于1，则 的取值范围是______.
6. 关于的不等式 有正数解，
的值可以是__________________（写出一个即可）.
4
，0
（答案不唯一）
返回
7.若关于的方程 的解是负
数，则 的取值范围为_ _______.
【点拨】解方程 ，得
.
方程的解是负数，
，即，解得 .
返回
8.按照给定的计算程序（如图），当 时，输出的结果
是___；使代数式的值小于20的最大整数 的值是___.
1
7
【点拨】当时，，
当时，输出的结果是1.令,解得.
为最大整数， 使代数式 的值小于20的最大
整数 的值是7.
返回
9. 解不等式： ，并把解集在数
轴上表示出来.
【解】去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
返回
10. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不
等式.
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是( )
C
A. B.
C. D.
返回
11. [2024廊坊月考] 嘉淇解一道一元一次不等式的过程如下：
解：， ，
，☆ .
其中，“”“”表示数字，“☆”表示不等号，则“”“ ”“☆”分
别代表( )
D
A. 6，4， B. 6，4，
C. ，， D. ，，
返回
12. [2024蚌埠月考] 已知三个连续正整数的和小于18，则这
样的数共有( )
D
A. 7组 B. 6组 C. 5组 D. 4组
【点拨】设三个数中最小的数为 ，则另外两个数分别为
， ，
依题意得 ，
解得 为正整数，
可以取1，2，3，4.
这样的数共有4组.
返回
13. [2024宣城一模] 已知关于 的不等式
的解集是，则 的取值范围
在数轴上可表示为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】不等式 可变形为
.
关于的不等式 的解集是
，，解得 ，在数轴上表示如图所
示.故选B.
返回
14.已知关于的方程 ，若该方程的解是不等式
的最大整数解，则 _______.
2 024
返回
15.已知关于的方程 的解为非负整数且满足
，则符合条件的所有 值的乘积为____.
【点拨】 关于的方程 的解为非负整数且满足
,
的值是0,1,2.
当时，,解得 ；
当时，,解得 ；
当时，,解得 .
.
返回
16.定义：若关于同一个未知数的不等式和 的解集相同，
则称与 为同解不等式.
（1）若关于的不等式，不等式
是同解不等式，求 的值；
【解】解关于的不等式,得 ,
解关于的不等式,得 .
由题意得 ,
解得 .
（2）若关于 的不等式
,不等式
是同解不等式，试求关于 的不等式
的解集.
【解】解不等式 ,得
,
解不等式,得 ,
不等式和 是同解不等式,
, .
, .
.
将代入不等式 ,得
,
. .
的解集为 .
返回
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