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9.4.2 利用边角的关系判定两个三角形相似（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 相似三角形的判定定理二
1.定理
两边对应 且夹角 的两个三角形相似.
2.符号语言：
如图所示，如果 且∠A=∠A',则△ABC △A'B'C'.
注意
(1)当两边对应成比例时，只有具备“夹角”相等才能相似，并不是任意角相等；仅两边成比例，其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似.
(2)找夹角相等的条件应充分考虑“对顶角”“公共角”.
(3)当条件有两边的长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来得到两三角形相似.
(4)特别地，若两个直角三角形的两直角边对应成比例，则这两个三角形相似.
知识点2 证明三角形相似的一般思路
1.有一对等角，找
(1)另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似；
(2)等角的两邻边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.有两边成比例，找
夹角相等→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.三角形是直角三角形，找
(1)一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似；
(2)两组直角边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4.三角形是等腰三角形，找
(1)顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似；
(2)一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似.
明考点·识方法
考点1 利用相似三角形判定定理二判定三角形相似
典例1 如图是由 8个小正方形组成的网格，则在△ABD，△ACD,△EBD,△EAF 中,与△ABC 相似的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路导析 利用相似三角形的判定定理二逐个判断.
变式 如图，在四边形 ABCD 中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充 下 列 条 件 后 不 能 判 定 △ADC 和△BAC 相似的是 ( )
A.CA平分∠BCD D.∠DAC=∠ABC
考点2 相似三角形判定定理二的应用
典例2 如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=2AD,AC=2AE,BC=3,且∠BAD=∠CAE.求 DE的长.
思路导析 由题意可证△ADE∽△ABC，可得 即可求 DE的长.
变式 如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,D 为 BC 边上一点,BD=1.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)如果 求AC的长.
当堂测·夯基础
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,若 则图中一定相似的三角形是 ( )
A.△BOA∽△BAD B.△BOA∽△COD C.△BOC∽△BCD D.△COB∽△CBA
第1题图 第2题图
2.如图,点 P 在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是 ( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
3.如图,AD 平分 ，则∠B= .
第3题图 第4题图
4.如图,已知△ABC中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP 的长度为 时,△ADP 和△ABC 相似.
5.如图,点 E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.
求证:△ABE∽△ECF.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1.成比例 相等 2.∽
【明考点·识方法】
典例1 B
解析:由题意可得∠ABC=∠EAF=135°,设小正方形的边长为a，则 CD=BC=a,BD=2a,AF=3a,BE=
∵AB=BCD= ,∴△ABC∽△EBD,
∴△ABC∽△DBA.
变式 C
典例2 解:∵AB=2AD,AC=2AE,
∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE,且
∴△ABC∽△ADE,∴BCDE=AB=2,
变式 解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=2,BC=
∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∵AD= ,BC=4,AB=2,BD=1,
【当堂测·夯基础】
1. B 2. D 3. 25° 4. 4或9
5.证明:∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9,
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∴,∴△ABE∽△ECF.
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