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专题08 一元一次不等式（组）及其应用
一、选择题
1．（2024 拱墅区模拟）已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+1＞﹣2b﹣1 B．﹣a＜b C．3a+6b＜0 D．＞﹣2
2．（2024 巴林左旗模拟）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（　　）
A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80
3．（2024 湖北）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 北仑区一模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．C． D．
5．（2024 惠城区模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（　　）折．
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
6．（2024 西湖区三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%．据此情境，可列不等式组为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 龙马潭区二模）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
8．（2024 济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
二、填空题
9．（2024 丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 　 　．
10．（2024 绍兴一模）不等式的解集是 　 　．
11．（2024 龙港市二模）不等式组的解是 　 　．
12．（2024 驻马店一模）若点M（2﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是 　 　．
13．（2024 河北模拟）不等式3x﹣2＜x+6的所有正整数解的和是 　 　．
14．（2024 凉州区二模）若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是 　 　．
15．（2024 呼和浩特）关于x的不等式﹣1＞的解集是 　 　，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 　 　．
三、解答题
16．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2024 金东区二模）解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
18．（2024 东阳市二模）解不等式组：．
19．（2024 温州二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得x﹣3x＞6，…第一步 ∴﹣2x＞6，…第二步 ∴x＜﹣3．…第三步 由②，得2x﹣x+3≤1，…第四步 ∴x≤﹣2．…第五步 所以原不等式组的解集为x＜﹣3．…第六步
（1）老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第 　 　步开始出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
20．（2024 盐城）求不等式≥x﹣1的正整数解．
21．（2024 梅州一模）为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
（1）跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
22．（2024 涪城区模拟）某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
答案与解析
一、选择题
1．（2024 拱墅区模拟）已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+1＞﹣2b﹣1 B．﹣a＜b C．3a+6b＜0 D．＞﹣2
【点拨】先将不等式两边都除以3得a＞﹣2b，再两边都加上1知a+1＞﹣2b+1，结合﹣2b+1＞﹣2b﹣1利用不等式的同向传递性可得答案．
【解析】解：∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
又﹣2b+1＞﹣2b﹣1，
∴a+1＞﹣2b﹣1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
2．（2024 巴林左旗模拟）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（　　）
A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80
【点拨】直接根据题意可得50≤x＜80．
【解析】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的定义，正确得出不等关系是解题关键．
3．（2024 湖北）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解析】解：∵x+1≥2，
∴x≥1，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】此题考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．
4．（2024 北仑区一模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．C． D．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式＞1，得：x＞1，
解不等式5﹣3x≥﹣1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（2024 惠城区模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（　　）折．
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【点拨】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，结合要保证利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解析】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
6．（2024 西湖区三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%．据此情境，可列不等式组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，可得，即可得到答案．
【解析】解：∵脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，列出不等式组．
7．（2024 龙马潭区二模）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
【点拨】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【解析】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得10≤a＜12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
8．（2024 济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【点拨】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的无解问题，解答本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．
二、填空题
9．（2024 丽水一模）“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为 　x﹣5＞3x　．
【点拨】根据“x与5的差大于x的3倍”列不等式即可．
【解析】解：“x与5的差大于x的3倍”用不等式表示为x﹣5＞3x．
故答案为：x﹣5＞3x．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
10．（2024 绍兴一模）不等式的解集是 　x＜1　．
【点拨】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．
【解析】解：，
去分母，得：x+1＞4x﹣2，
移项及合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
11．（2024 龙港市二模）不等式组的解是 　﹣＜x≤4　．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：由4x+3＞1得：x＞﹣，
由2x﹣8≤16﹣4x得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
故答案为：﹣＜x≤4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2024 驻马店一模）若点M（2﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是 　m＞2　．
【点拨】根据第二象限内点的坐标符号特点列出不等式组，解之即可．
【解析】解：由题意知，，
解得m＞2，
故答案为：m＞2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2024 河北模拟）不等式3x﹣2＜x+6的所有正整数解的和是 　6　．
【点拨】先解不等式，根据解集得出正整数解，再求和即可．
【解析】解：3x﹣2＜x+6，
3x﹣x＜6+2
2x＜8
x＜4，
所有正整数解为：1，2，3，
∴1+2+3＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
14．（2024 凉州区二模）若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是 　a＜3　．
【点拨】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．
【解析】解：∵（a﹣3）x＞1的解集为x＜，
∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故答案为：a＜3．
【点睛】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．
15．（2024 呼和浩特）关于x的不等式﹣1＞的解集是 　x＞8　，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 　m≤7　．
【点拨】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】解：，
2（2x﹣1）﹣6＞3x，
4x﹣2﹣6＞3x，
x＞8；
2x﹣1≤x+m，
x≤m+1，
∴m+1≤8，
∴m≤7，
故答案为：x＞8；m≤7．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的解集，一元一次不等式的整数解等知识点，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
三、解答题
16．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【点拨】根据不等式的运算法则进行计算．
【解析】解：，
x﹣1＜2（x+1），
x﹣1＜2x+2，
x﹣2x＜2+1，
﹣x＜3，
x＞﹣3．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查了解不等式，要注意在不等式两边都除以一个负数时，要改变不等号的方向．
17．（2024 金东区二模）解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
【点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥6，
3x﹣3﹣4x﹣2≥6，
3x﹣4x≥6+3+2，
﹣x≥11
x≤﹣11．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．（2024 东阳市二模）解不等式组：．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式2（x+1）≥3x﹣5，得：x≤7，
解不等式＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤7．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2024 温州二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得x﹣3x＞6，…第一步 ∴﹣2x＞6，…第二步 ∴x＜﹣3．…第三步 由②，得2x﹣x+3≤1，…第四步 ∴x≤﹣2．…第五步 所以原不等式组的解集为x＜﹣3．…第六步
（1）老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第 　四　步开始出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
【点拨】（1）根据小南的解题步骤找出错误的步骤即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
【解析】解：（1）小南从第四步开始出现错误；
故答案为：四；
（2）正确的解答过程：
解：由①，得x﹣3x＞6，
∴﹣2x＞6，
∴x＜﹣3．
由②，得2x﹣x﹣3≤2，
∴x≤5．
所以原不等式组的解集为x＜﹣3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据是解题的关键．
20．（2024 盐城）求不等式≥x﹣1的正整数解．
【点拨】根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可．
【解析】解：，
1+x≥3x﹣3，
x﹣3x≥﹣3﹣1，
﹣2x≥﹣4，
x≤2．
所以此不等式的正整数解为：1，2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21．（2024 梅州一模）为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
（1）跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
【点拨】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，由购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．列出方程组，即可求解；
（2）设学校购买m根跳绳，则购买（100﹣m）个毽子．由购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，即可求解．
【解析】解：（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元．
由题意可得：，
∴，
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元；
（2）设购买m根跳绳，则购买（100﹣m）个毽子．
由题意可得：25m+5（100﹣m）≤2100，
解得：m≤80，
∴m的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
22．（2024 涪城区模拟）某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
【点拨】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，可得：，即可解得A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
（2）设购进A种零食m件，由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，得，可解得购进A、B两种零食有3种进货方案；
（3）分别算出每种方案的利润，比较即得购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
【解析】解：（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（100﹣m）件，
∵进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
∴，
解得50≤m≤52，
∵m为整数，
∴m可取50，51，52，
∴购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件；
（3）设获利w元，
购进A种零食50件，购进B种零食50件，w＝（15﹣8）×50+（10﹣5）×50＝600（元），
购进A种零食51件，购进B种零食49件，w＝（15﹣8）×51+（10﹣5）×49＝602（元），
购进A种零食52件，购进B种零食48件，w＝（15﹣8）×52+（10﹣5）×48＝604（元），
∵600＜602＜604，
∴购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式组．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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