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专题09 平面直角坐标系与函数初步
一、选择题
1．（2024春 来宾期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．（2024 巴中）函数自变量的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2
3．（2024 镇海区一模）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2
4．（2024 廊坊模拟）如图，一艘中国无人战艇A在我国的南疆执行巡航任务．某一时刻，它与灯塔B相距90海里．若灯塔B相对于战艇A的位置用有序数对（北偏东15°，90海里）来描述，那么战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（　　）
A．南偏西75°，90海里 B．南偏西15°，90海里
C．北偏东15°，90海里 D．北偏东75°，90海里
5．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）
6．（2024 海南）平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′（2，1），则点A的坐标是（　　）
A．（5，1） B．（2，4） C．（﹣1，1） D．（2，﹣2）
7．（2024 青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%
8．（2024 丛台区校级模拟）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为（120°，4），（240°，3），按照此方法可以将目标C的位置表示为（　　）
A．（30°，1） B．（210°，5） C．（30°，5） D．（60°，2）
9．（2024 河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
10．（2024 常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．第1km所用的时间最长 B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同 D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
11．（2024 大庆模拟）已知点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为4，那么点N的坐标是（　　）
A．（4，﹣2）或（﹣5，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
C．（4，2）或（﹣4，2） D．（4，2）或（﹣1，2）
12．（2024 郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到△A2OP2，再将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3，再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到△A4OP4，以此类推…，则点P2024的坐标是（　　）
A． B． C．（2，0） D．（﹣2，0）
二、填空题
13．（2024 浙江模拟）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　 　．
14．（2024 郸城县一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
15．（2024 汇川区三模）已知点P为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为（2+2a，3a﹣2），且点P到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 　 　．
16．（2024 榕江县模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，0），C（1，2），则以A，B，C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点D的坐标为　 　．
17．（2024 淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 　 　．
18．（2024 永寿县二模）三个边长相等的正六边形不重叠无缝隙地放置在如图所示的平面直角坐标系中，顶点O为坐标原点，顶点A，B在x轴上，已知顶点C的坐标为，则顶点D的坐标为 　 　
三、解答题
19．（2024 恩施市模拟）现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图，若知道点F的坐标为（0，0），游乐园D的坐标为（2，﹣2）．
（1）请按题意建立平面直角坐标系，在图中画出来；
（2）写出其它四个景点的坐标．
20．（2024 滨江区校级三模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x 1 2 3 4 5 6
y 6 3 2 1.5 1.2 1
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象；
（2）求出函数表达式；
（3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
答案与解析
一、选择题
1．（2024春 来宾期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【点拨】根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案．
【解析】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
只有选项C符合条件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．
2．（2024 巴中）函数自变量的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2024 镇海区一模）若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2
【点拨】根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
【解析】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点，
∴，
解得a＜0．
故选：A．
【点睛】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
4．（2024 廊坊模拟）如图，一艘中国无人战艇A在我国的南疆执行巡航任务．某一时刻，它与灯塔B相距90海里．若灯塔B相对于战艇A的位置用有序数对（北偏东15°，90海里）来描述，那么战艇A相对于灯塔B的位置可描述为（　　）
A．南偏西75°，90海里 B．南偏西15°，90海里
C．北偏东15°，90海里 D．北偏东75°，90海里
【点拨】直接根据题意得出AB的长以及∠ABC的度数，进而得出答案．
【解析】解：由题意可得：战艇A相对于灯塔B的位置是：南偏西15°，90海里，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
5．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）
【点拨】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（2024 海南）平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′（2，1），则点A的坐标是（　　）
A．（5，1） B．（2，4） C．（﹣1，1） D．（2，﹣2）
【点拨】将点A'的横坐标减3，纵坐标不变即可得到点A的坐标．
【解析】解：将点A向右平移3个单位长度后得到点A'（2，1），
∴点A的坐标是（2﹣3，1），即点A的坐标为（﹣1，1），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2024 青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%
【点拨】观察函数图象可知，函数的横坐标表示体积，纵坐标表示净水率，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．
【解析】解：由题意得：
当加入絮凝剂的体积为0.6mL时，净水率比0.5mL时降低了，故选项A说法错误，不符合题意；
未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故选项B说法错误，不符合题意；
絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量都不相等，故选项C说法错误，不符合题意；
加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%，故选项D说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．
8．（2024 丛台区校级模拟）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为（120°，4），（240°，3），按照此方法可以将目标C的位置表示为（　　）
A．（30°，1） B．（210°，5） C．（30°，5） D．（60°，2）
【点拨】根据度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，可得答案．
【解析】解：∵目标A，B的位置分别表示为（120°，4），（240°，3），
∴度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，
∴目标C的位置表示为（30°，5）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标是解题关键．
9．（2024 河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【点拨】由图1中点（440，2）可判断选项A；由图2中图象的增减性可判断选项B、C；由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大可判断选项D．
【解析】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意；
由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意；
由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意；
由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．（2024 常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．第1km所用的时间最长 B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同 D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
【点拨】根据“速度＝路程÷时间”解答即可．
【解析】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故选项A说法正确，不符合题意；
第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意；
第2km和第3km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意；
前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
11．（2024 大庆模拟）已知点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为4，那么点N的坐标是（　　）
A．（4，﹣2）或（﹣5，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
C．（4，2）或（﹣4，2） D．（4，2）或（﹣1，2）
【点拨】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为2，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可．
【解析】解：∵点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，
∴点N的纵坐标为2，
∵点N到y轴的距离为4，
∴点N的横坐标为4或﹣4，
∴点N的坐标为（4，2）或（﹣4，2）；
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于分情况讨论．
12．（2024 郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到△A2OP2，再将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3，再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到△A4OP4，以此类推…，则点P2024的坐标是（　　）
A． B． C．（2，0） D．（﹣2，0）
【点拨】过点P作PB⊥OA于点B，结合等边三角形的性质求出，再由旋转的性质可得点，点，点P3（﹣2，0），同理，……，由此发现，从点P开始每变换6次一个循环，即可求解．
【解析】解：如图，过点P作PB⊥OA于点B，
∵△AOP为等边三角形，且边长为2，
∴OP＝OA＝2，，∠AOP＝60°，
∴，
∴点，
∵将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A1OP1，
∴点P与点P1关于y轴对称，
∴点，
∵作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到△A2OP2，
∴点P1于点P2关于原点对称，
∴点，
∵将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3，
∴点P3（﹣2，0），
同理，……，
由此发现，从点P开始每变换6次一个循环，
∵，
∴点P2024与点P2重合，
∴点P2024的坐标是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的性质，轴对称变换，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
二、填空题
13．（2024 浙江模拟）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　（0，2）　．
【点拨】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．
【解析】解：∵点M（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
故m+3＝2，
则点M的坐标为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键．
14．（2024 郸城县一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥2且x≠4　．
【点拨】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【解析】解：根据题意得，
解得x≥2且x≠4，
∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠4，
故答案为x≥2且x≠4．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．
15．（2024 汇川区三模）已知点P为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为（2+2a，3a﹣2），且点P到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 　4　．
【点拨】根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点P到两个坐标轴的距离相等得出2+2a＝3a﹣2，求解即可得出答案．
【解析】解：∵点P为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为（2+2a，3a﹣2），且点P到两个坐标轴的距离相等，
∴2+2a＝3a﹣2，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟知第一象限内点的横纵坐标均为正数是解题的关键．
16．（2024 榕江县模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，0），C（1，2），则以A，B，C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点D的坐标为　（4，2）　．
【点拨】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点C向右平移3个单位得到D（4，2），即可求解．
【解析】解：∵点A（3，0），B（0，0），C（1，2），ABCD是平行四边形，
∴CD＝BA＝3，AB∥CD，
将点C向右平移3个单位得到D（4，2），
如图所示，
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质，数形结合是解答本题的关键．
17．（2024 淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 　（3，4）　．
【点拨】由题意知，线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，结合平移的性质可得答案．
【解析】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），
∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，
∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
18．（2024 永寿县二模）三个边长相等的正六边形不重叠无缝隙地放置在如图所示的平面直角坐标系中，顶点O为坐标原点，顶点A，B在x轴上，已知顶点C的坐标为，则顶点D的坐标为 　　
【点拨】根据题意，C，D关于原点对称，据此求解即可．
【解析】解：由图知，C，D关于原点对称，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
三、解答题
19．（2024 恩施市模拟）现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图，若知道点F的坐标为（0，0），游乐园D的坐标为（2，﹣2）．
（1）请按题意建立平面直角坐标系，在图中画出来；
（2）写出其它四个景点的坐标．
【点拨】（1）根据点F的坐标为（0，0），可知点F为直角坐标系原点，据此即可作答；
（2）根据游乐园D的坐标为（2，﹣2），可知图中的每个方格的长度为1，再根据（1）中的直角坐标系即可作答．
【解析】解：（1）构建直角坐标系如下：
（2）根据游乐园D的坐标为（2，﹣2），可知图中的每个方格的长度为1，
结合直角坐标系可知：音乐台A的坐标为（0，4），湖心亭B的坐标为（﹣3，2），望春亭C的坐标为（﹣2，﹣1），牡丹园E的坐标为（3，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，根据点F的坐标确定直角坐标系，游乐园D的坐标确定方格的长度，是解答本题的关键．
20．（2024 滨江区校级三模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x 1 2 3 4 5 6
y 6 3 2 1.5 1.2 1
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象；
（2）求出函数表达式；
（3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，若0＜x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【点拨】（1）描点、连线即可画出相应函数的图象；
（2）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（3）根据函数图象得出其增减性，进而解答．
【解析】解：（1）函数图象如图所示：
（2）
由函数图象可知，y与x成反比例关系，
设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，
∴，
将其余各组数据代入验证均成立，
∴函数表达式为：；
（3）y1＞y2；
理由：由函数图象可得，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＞y2．
【点睛】本题考查画函数图象、反比例函数的图象和性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题．
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