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第3节　离心现象
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
对点题组练
题组一　车辆转弯时所需的向心力
1.如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动。已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车道内边缘间最远的距离为150 m。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.64倍。已知重力加速度g＝10 m/s2，则汽车(　　)
所受的合力可能为零
只受重力和地面支持力的作用
所需的向心力可能由重力和支持力的合力提供
最大速度不能超过24 m/s
2.如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是(　　)
火车运动的圆周平面为图乙中的a
当火车转弯时，火车实际转弯速度越小越好
当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力
当火车行驶的速率等于时，内、外侧铁轨对车轮的轮缘均无压力
题组二　竖直平面内的圆周运动分析
3.如图所示，为汽车越野赛的一段赛道，一辆质量为m的汽车以相同的水平速度先后通过a、b、c三点，其中a、c为排洪过水的“凹形路面”且a的曲率半径较大，下列说法正确的是(　　)
汽车在a点检测到的胎压pa最小
汽车在b点检测到的胎压pb最大
汽车在c点检测到的胎压pc最小
汽车在c点检测到的胎压pc最大
4.如图是某游乐场的惯性列车(翻滚过山车)的轨道图，它由倾斜轨道和半径为R的圆轨道组成。一节车厢(连同人质量为m，可视为质点)在圆轨道内侧做圆周运动，设这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点，则该车厢通过最高点时的最小速度和对圆轨道的压力分别为(不计运动中的一切阻力)(　　)
0，0 0，mg
，0 ，0
5.如图为某同学做“水流星”的实验，他把装有水的小桶在竖直面上做圆周运动。若小桶运动的半径为R，桶和水可视为质点，要使桶中的水经过最高点时恰好不会倒出来，重力加速度为g，则小桶通过最高点时的角速度为(　　)
无法确定
6.(多选)图为平潭海峡公铁大桥的一段，若将桥的最高段视为半径为R的圆弧，重力加速度为g，一质量为m的汽车以速度v驶过桥顶时(　　)
桥顶受到的压力大小为mg＋
桥顶受到的压力大小为mg－
当v>时，汽车会飞离桥面
当v<时，汽车会飞离桥面
题组三　离心运动
7.如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则(　　)
衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供
圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力始终不变
圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大
8.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔灰粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔灰粉末沉淀在试管的远端。则(　　)
旋转越快，试管的高度越低
粉笔灰粉末向试管的远端运动是一种离心现象
旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越明显
旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越不明显
综合提升练
9.对如图所示圆周运动的图片，下列分析正确的是(　　)
如图(a)，汽车通过拱桥的最高点时，速度越大，对桥的压力越大
如图(b)，一圆锥摆在水平面内做匀速圆周运动，若改变绳长，而保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度随着θ的增大而增大
如图(c)，在固定的光滑圆锥筒内，同一小球先后在A、B位置做匀速圆周运动，则小球在A位置处所受筒壁的支持力大于在B位置处所受的支持力
如图(d)，火车转弯时若超过规定速度行驶，外轨对火车轮缘会有挤压作用
10.(16分)有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥。g＝10 m/s2，求：
(1)(4分)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力N的大小；
(2)(6分)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v；
(3)(6分)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，它开到多快时就可以“飞”起来。
培优加强练
11.(12分)如图所示为一辆厢式货车的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)(6分)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vmax是多大？
(2)(6分)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？
第3节　离心现象
1.D　[汽车做匀速圆周运动，合外力提供向心力，即合外力不为零，故A错误；摩擦力提供了汽车转弯所需要的向心力，故汽车受到重力、支持力、摩擦力三个力，故B、C错误；由摩擦力提供向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，汽车转弯速度最大，有meq \f(v,R)＝0.64mg，其中R＝15 m＋ m＝90 m，解得vm＝24 m/s，故D正确。]
2.C　[火车运动的圆周平面为水平面，为题图乙中的b，故A错误；由重力与支持力的合力提供向心力可得mgtan θ＝m，所以在该转弯处规定行驶的速度为v＝，故D错误；当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，故C正确；若火车行驶的速度小于规定速度时，内侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，速度越小，压力越大，内轨道和轮缘之间的磨损越严重，故B错误。]
3.D　[根据曲线运动加速度指向轨迹凹侧可知，a、c处汽车超重，胎压较大；b处汽车失重，胎压较小，而a、c处，由合力提供向心力得N－mg＝m，解得N＝mg＋m，由于c的曲率半径较小，则c点的胎压pc最大，故A、B、C错误，D正确。]
4.D　[这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点，此时轨道对车厢的支持力为0，根据牛顿第三定律，车厢对圆轨道的压力为0，车厢做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，解得v＝，故D正确。]
5.B　[要使桶中的水经过最高点时恰好不会倒出来，则水需要的向心力要等于水的重力，即mRω2＝mg，解得ω＝，故B正确。]
6.BC　[汽车以速度v驶过桥顶时，根据牛顿第二定律可得mg－N＝m，解得N＝mg－，根据牛顿第三定律可知，桥顶受到的压力大小为mg－，A错误，B正确；假设以速度v1驶过桥顶时，汽车对桥面的压力刚好为零，则有mg＝meq \f(v,R)，解得v1＝，可知当v>时，汽车会飞离桥面，C正确，D错误。]
7.B　[衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用，由于衣服在圆筒内壁上未滑动，则竖直方向上，重力与静摩擦力平衡，弹力提供向心力，因此随着圆桶转速的增加，弹力增加，但静摩擦力不变，故A、C、D错误；对于水滴而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，随着圆桶转速的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供水滴需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故B正确。]
8.BC　[对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则有mgtan α＝mrω2，当转速增大时，角速度增大，需要的向心力增大，故角度α增大，试管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越大，所需向心力越大，粉笔灰粉末沉淀越明显，C正确，D错误。]
9.D　[题图(a)中，根据mg－N＝m得N＝mg－m，根据牛顿第三定律得F压＝－N，所以速度越大，压力越小，故A错误；题图(b)中，受力分析得mgtan θ＝mrω2，设圆锥摆高为h，则tan θ＝，得ω＝，h和g不变，角速度不变，故B错误；题图(c)中，设圆锥面与竖直方向夹角为α，则sin α＝，所以两个位置所受支持力相等，故C错误；题图(d)中，设轨道平面与水平方向夹角为β，当火车与铁轨的侧向弹力为零时，有mgtan β＝m，若火车速度变大，需要外轨对火车提供侧向弹力，外轨对火车轮缘有挤压作用，故D正确。]
10.(1)7 600 N　(2)10 m/s　(3)8 000 m/s
解析　(1)以汽车为研究对象，由牛顿第二定律得
mg－N＝m，解得N＝7 600 N。
(2)当N＝0时有mg＝m
解得v＝＝10 m/s。
(3)当v＝时汽车就会“飞”起来，将R＝6.4×106 m代入得v＝8 000 m/s。
11.(1)8 m/s　(2)37°　2 m/s
解析　(1)设货车的总质量为M，转弯时不发生侧滑有
μMg≥Meq \f(v,R)，其中μ＝＝0.8
解得vmax≤＝8 m/s。
(2)车匀速运动时，有F＝mg
解得m＝0.4 kg
此次转弯时小球受到细线的拉力F′＝5 N，对小球受力分析，由几何关系知cos θ＝＝0.8
则θ＝37°
小球受到的合力提供向心力，有mgtan θ＝m
解得v′＝＝2 m/s。第3节　离心现象
学习目标　1.会分析汽车、火车转弯时的向心力来源，能解决生活中的圆周运动问题。2.理解竖直面内物体做圆周运动的临界条件。3.知道什么是离心运动和离心运动产生的条件。
知识点一　车辆转弯时所需的向心力
如图(a)所示，分析汽车在水平路面转弯时，是怎样获得向心力的。图(b)中f表示路面对汽车的摩擦力，为防止车辆发生侧滑，需要对原来道路的弯道如何设计？
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1.汽车在水平路面上转弯
(1)向心力来源：受到的____________提供。
(2)向心力方程：f＝________。
(3)最大速度：v＝，受________________的制约。
2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
(1)向心力来源：重力和支持力的合力提供。
(2)向心力方程
____________＝m。
(3)临界速度：v＝，取决于____________和倾角。
3.飞机转弯
受力分析如图所示，则有Fsin θ＝m，Fcos θ＝mg，解得v＝，改变转弯速度时，可以改变转弯半径或机身的倾角。
例1 (2024·陕西安康高一期末)2023年5月28日上午，随着K7672列车缓缓驶离固安站，标志着京九铁路北京丰台至河北固安通勤列车正式开通。火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘(如图所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图所示)，但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　)
A.该弯道的半径R＝
B.当火车速率小于v时，内轨将受到轮缘挤压
C.当火车质量减小时，规定行驶速度也减小
D.按规定速度行驶时，支持力小于重力
例2 如图甲所示，一辆轿车正在水平路面上转弯，已知圆弧形弯道半径R＝25 m，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.4。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。
(1)为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车在弯道上行驶的最大速度；
(2)为了进一步增加安全性，通常将弯道路面设计成外高内低，如图乙所示，若路面倾角为θ，tan θ＝0.1，弯道半径仍为R＝25 m，要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应为多大？
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知识点二　竖直平面内的圆周运动分析
1.汽车过拱形路面
分类分析　　 汽车过凸形路面 汽车过凹形路面
向心力 重力与支持力的合力提供向心力 支持力与重力的合力提供向心力
方程 _______＝m _______＝m
压力 N′＝mg－m压力小于重力，当v＝______时N＝0 N′＝mg＋m压力____重力
2.过山车(在最高点和最低点)(1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向心力。
(2)向心力方程
①在最高点：________＝m。
②在最低点：________＝m。
(3)通过最高点的条件：由N≥0，得v≥________。
【思考】
生活中我们经常会看到美丽的拱形桥，汽车行驶至桥顶端时，车对桥面的压力与其重力的大小有怎样的关系？汽车以恒定速率在一段凹凸不平的路面上行驶，最容易发生爆胎事故的是凹处还是凸处？
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例3 浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半径R1＝40 m，最高点分别为A、C；凹弧的半径R2＝60 m，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量m＝60 kg的特技演员，驾驶质量M＝120 kg的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，试求：
(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，质量m＝60 kg的驾驶员对座椅的压力；
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
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知识点三　生活中的离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
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1.离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然________或者________提供做圆周运动所需要的向心力的情况下，将____________运动。
(2)条件：合外力突然________或合外力________提供向心力。
2.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心分离器、离心干燥器、脱水筒等。
(2)危害与防止
①危害：如果过荷(离心运动会造成飞行员瞬间大脑缺血、四肢沉重，这种现象即为过荷)太大时，飞行员会暂时失明甚至昏厥。
②防止：如车辆转弯时要________。
例4 (多选)如图所示，在光滑的水平面上，有一小球在拉力F的作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A.若拉力F突然变大，小球可能沿轨迹Pc做近心运动
B.若拉力F突然变大，小球可能沿轨迹Pb做离心运动
C.若拉力F突然变小，小球可能沿轨迹Pc做近心运动
D.若拉力突然消失，小球将沿Pa做匀速直线运动
离心运动、近心运动的判断
(1)当F合＝mrω2时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合＞mrω2时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合＜mrω2时，“提供”不足，物体做离心运动。　　
随堂对点自测
1.(车辆转弯问题)(2024·福建三明高一期末)图为莆炎高速三明段一倾斜弯道，已知弯道半径为R，与水平面间的倾角为θ，重力加速度为g，汽车在此弯道转弯时，运动轨迹始终在一水平面内，要使汽车所受侧向静摩擦力为零，其速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
2.(汽车过拱桥)在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示，一质量为m的汽车，以一定的速率通过凸形路面(如图甲所示)的最高处时路面的支持力为N1，通过凹形路面(如图乙所示)的最低处时路面的支持力为N2，则下列关系式正确的是(　　)
A.N1>mg B.N1C.N2＝mg D.N23.(竖直面内的圆周运动)(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，重力加速度大小为g，则其通过最高点时下列表述正确的是(　　)
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
第3节　离心现象
知识点一
导学　提示　汽车在水平路面转弯时，重力和支持力均在竖直方向，不提供向心力，汽车的向心力由水平方向的摩擦力提供；将路面改造成内侧低，外侧高，使重力与支持力的合力沿水平方向有向里的分量。
知识梳理
1.(1)静摩擦力　(2)m　(3)最大静摩擦力
2.(2)mgtan θ　(3)弯道半径
例1 B　[当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，则有mgtan θ＝m，解得R＝，故A错误；当火车速率小于v时，火车有向心运动的趋势，则内轨将受到轮缘挤压，故B正确；根据v＝ ，可知规定的行驶速度与火车的质量无关，故C错误；按规定速度行驶时，支持力为N＝，则支持力大于重力，故D错误。]
例2 (1)10 m/s　(2)5 m/s
解析　(1)当摩擦力达到最大静摩擦力时，行驶速度最大，则有μmg＝
解得v＝＝10 m/s。
(2)要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则重力与支持力的合力提供向心力，有mgtan θ＝，解得v′＝＝5 m/s。
知识点二
1.mg－N　N－mg　小于　　大于
2.(2)①N＋mg　②N′－mg　(3)
[思考]　提示　汽车行驶至拱形桥顶端时重力与支持力的合力提供向心力，故车对桥面的压力比重力小；车在凹凸不平的路面行驶，在凹处支持力大于重力，容易爆胎。
例3 (1)1 350 N　(2)825 N　方向竖直向下　(3)20 m/s
解析　(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，根据牛顿第二定律可得
(M＋m)g－N＝(M＋m)eq \f(v,R1)
解得桥面对车的支持力大小为
N＝(M＋m)g－(M＋m)eq \f(v,R1)＝1 350 N。
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，以驾驶员为研究对象，根据牛顿第二定律可得N－mg＝meq \f(v,R2)，解得驾驶员受到的支持力大小为
N＝mg＋meq \f(v,R2)＝825 N
根据牛顿第三定律可知，驾驶员对座椅的压力大小为825 N，方向竖直向下。
(3)设越野摩托车过A点和C点时刚好不脱离桥面，则有(M＋m)g＝(M＋m)eq \f(v,R1)
解得过A点和C点的最大速度为
vm＝＝20 m/s。
知识点三
导学　提示　(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
知识梳理
1.(1)消失　不足以　远离圆心　(2)消失　不足以
2.(2)②限速
例4 AD　[在光滑的水平面上，拉力F提供小球做匀速圆周运动所需的向心力。若拉力F突然变小，拉力小于需要的向心力，则小球可能沿轨迹Pb做离心运动，若拉力F突然变大，拉力大于需要的向心力，则小球可能沿轨迹Pc做近心运动，选项A正确，B、C错误；若拉力突然消失，小球所受合力为零，小球将沿切线方向做匀速直线运动，即沿Pa做匀速直线运动，D正确。]
随堂对点自测
1.B　[汽车在此弯道转弯时，设汽车的质量为m，汽车的速度为v，根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝m，解得v＝，B正确，A、C、D错误。]
2.B　[通过凸形路面(如图甲所示)的最高处时，由牛顿第二定律得mg－N1＝m，解得N1＝mg－mmg，故A、C、D错误，B正确。]
3.BCD　[因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。](共54张PPT)
第3节　离心现象
第3章　圆周运动
1.会分析汽车、火车转弯时的向心力来源，能解决生活中的圆周运动问题。
2.理解竖直面内物体做圆周运动的临界条件。
3.知道什么是离心运动和离心运动产生的条件。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　竖直平面内的圆周运动分析
知识点一　车辆转弯时所需的向心力
知识点三　生活中的离心运动
知识点一　车辆转弯时所需的向心力
如图(a)所示，分析汽车在水平路面转弯时，是怎样获得向心力的。图(b)中f表示路面对汽车的摩擦力，为防止车辆发生侧滑，需要对原来道路的弯道如何设计？
提示　汽车在水平路面转弯时，重力和支持力均在竖直方向，不提供向心力，汽车的向心力由水平方向的摩擦力提供；将路面改造成内侧低，外侧高，使重力与支持力的合力沿水平方向有向里的分量。
1.汽车在水平路面上转弯
(1)向心力来源：受到的__________提供。
静摩擦力
最大静摩擦力
mgtan θ
弯道半径
B
例1 (2024·陕西安康高一期末)2023年5月28日上午，随着K7672列车缓缓驶离固安站，标志着京九铁路北京丰台至河北固安通勤列车正式开通。火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘(如图所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图所示)，但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　)
例2 如图甲所示，一辆轿车正在水平路面上转弯，已知圆弧形弯道半径R＝25 m，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.4。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。
(1)为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车在弯道上行驶的最大速度；
(2)为了进一步增加安全性，通常将弯道路面设计成外高内低，如图乙所示，若路面倾角为θ，tan θ＝0.1，弯道半径仍为R＝25 m，要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应为多大？
答案　(1)10 m/s　(2)5 m/s
知识点二　竖直平面内的圆周运动分析
1.汽车过拱形路面
mg－N
N－mg
小于
大于
N＋mg
N′－mg
【思考】
生活中我们经常会看到美丽的拱形桥，汽车行驶至桥顶端时，车对桥面的压力与其重力的大小有怎样的关系？汽车以恒定速率在一段凹凸不平的路面上行驶，最容易发生爆胎事故的是凹处还是凸处？
提示　汽车行驶至拱形桥顶端时重力与支持力的合力提供向心力，故车对桥面的压力比重力小；车在凹凸不平的路面行驶，在凹处支持力大于重力，容易爆胎。
例3 浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半径R1＝40 m，最高点分别为A、C；凹弧的半径R2＝60 m，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量m＝60 kg的特技演员，驾驶质量M＝120 kg的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，试求：
(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，
桥面对车的支持力大小；
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，
质量m＝60 kg的驾驶员对座椅的压力；
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
答案　(1)1 350 N　(2)825 N，方向竖直向下　
(3)20 m/s
知识点三　生活中的离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示　(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1.离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然______或者________提供做圆周运动所需要的向心力的情况下，将__________运动。
(2)条件：合外力突然______或合外力________提供向心力。
消失
不足以
远离圆心
消失
不足以
2.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心分离器、离心干燥器、脱水筒等。
(2)危害与防止
①危害：如果过荷(离心运动会造成飞行员瞬间大脑缺血、四肢沉重，这种现象即为过荷)太大时，飞行员会暂时失明甚至昏厥。
②防止：如车辆转弯时要______。
限速
例4 (多选)如图所示，在光滑的水平面上，有一小球在拉力F的作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A.若拉力F突然变大，小球可能沿轨迹Pc做近心运动
B.若拉力F突然变大，小球可能沿轨迹Pb做离心运动
C.若拉力F突然变小，小球可能沿轨迹Pc做近心运动
D.若拉力突然消失，小球将沿Pa做匀速直线运动
AD
解析　在光滑的水平面上，拉力F提供小球做匀速圆周运动所需的向心力。若拉力F突然变小，拉力小于需要的向心力，则小球可能沿轨迹Pb做离心运动，若拉力F突然变大，拉力大于需要的向心力，则小球可能沿轨迹Pc做近心运动，选项A正确，B、C错误；若拉力突然消失，小球所受合力为零，小球将沿切线方向做匀速直线运动，即沿Pa做匀速直线运动，D正确。
离心运动、近心运动的判断
(1)当F合＝mrω2时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合＞mrω2时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合＜mrω2时，“提供”不足，物体做离心运动。　　
随堂对点自测
2
B
1.(车辆转弯问题)(2024·福建三明高一期末)图为莆炎高速三明段一倾斜弯道，已知弯道半径为R，与水平面间的倾角为θ，重力加速度为g，汽车在此弯道转弯时，运动轨迹始终在一水平面内，要使汽车所受侧向静摩擦力为零，其速度大小为(　　)
B
2.(汽车过拱桥)在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示，一质量为m的汽车，以一定的速率通过凸形路面(如图甲所示)的最高处时路面的支持力为N1，通过凹形路面(如图乙所示)的最低处时路面的支持力为N2，则下列关系式正确的是(　　)
A.N1>mg B.N1C.N2＝mg D.N2BCD
课后巩固训练
3
D
题组一　车辆转弯时所需的向心力
1.如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动。已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车道内边缘间最远的距离为150 m。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.64倍。已知重力加速度g＝10 m/s2，则汽车(　　)
对点题组练
A.所受的合力可能为零
B.只受重力和地面支持力的作用
C.所需的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D.最大速度不能超过24 m/s
C
2.如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是(　　)
D
题组二　竖直平面内的圆周运动分析
3.如图所示，为汽车越野赛的一段赛道，一辆质量为m的汽车以相同的水平速度先后通过a、b、c三点，其中a、c为排洪过水的“凹形路面”且a的曲率半径较大，下列说法正确的是(　　)
A.汽车在a点检测到的胎压pa最小
B.汽车在b点检测到的胎压pb最大
C.汽车在c点检测到的胎压pc最小
D.汽车在c点检测到的胎压pc最大
D
4.如图是某游乐场的惯性列车(翻滚过山车)的轨道图，它由倾斜轨道和半径为R的圆轨道组成。一节车厢(连同人质量为m，可视为质点)在圆轨道内侧做圆周运动，设这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点，则该车厢通过最高点时的最小速度和对圆轨道的压力分别为(不计运动中的一切阻力)(　　)
B
5.如图为某同学做“水流星”的实验，他把装有水的小桶在竖直面上做圆周运动。若小桶运动的半径为R，桶和水可视为质点，要使桶中的水经过最高点时恰好不会倒出来，重力加速度为g，则小桶通过最高点时的角速度为(　　)
BC
B
题组三　离心运动
7.如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则(　　)
A.衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供
B.圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
C.圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力始终不变
D.圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大
解析　衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用，由于衣服在圆筒内壁上未滑动，则竖直方向上，重力与静摩擦力平衡，弹力提供向心力，因此随着圆桶转速的增加，弹力增加，但静摩擦力不变，故A、C、D错误；对于水滴而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，随着圆桶转速的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供水滴需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故B正确。
BC
8.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔灰粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔灰粉末沉淀在试管的远端。则(　　)
A.旋转越快，试管的高度越低
B.粉笔灰粉末向试管的远端运
动是一种离心现象
C.旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越明显
D.旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越不明显
解析　对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则有mgtan α＝mrω2，当转速增大时，角速度增大，需要的向心力增大，故角度α增大，试管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越大，所需向心力越大，粉笔灰粉末沉淀越明显，C正确，D错误。
D
9.对如图所示圆周运动的图片，下列分析正确的是(　　)
综合提升练
A.如图(a)，汽车通过拱桥的最高点时，速度越大，对桥的压力越大
B.如图(b)，一圆锥摆在水平面内做匀速圆周运动，若改变绳长，而保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度随着θ的增大而增大
C.如图(c)，在固定的光滑圆锥筒内，同一小球先后在A、B位置做匀速圆周运动，则小球在A位置处所受筒壁的支持力大于在B位置处所受的支持力
D.如图(d)，火车转弯时若超过规定速度行驶，外轨对火车轮缘会有挤压作用
10.有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥。g＝10 m/s2，求：
(1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力N的大小；
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v；
(3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，它开到多快时就可以“飞”起来。
培优加强练
11.如图所示为一辆厢式货车的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vmax是多大？
(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？
(2)车匀速运动时，有F＝mg
解得m＝0.4 kg

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