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培优提升八　圆周运动的临界问题
(分值：100分)
选择题1～10题，12题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组一　水平面圆周运动的临界问题
1.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三个物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　)
A的向心加速度最大
B和C所受摩擦力大小相等
当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
2.如图所示，正方形框ABCD竖直放置，两个完全相同的小球P、Q分别穿在方框的BC、CD边上，当方框绕AD轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点，已知两球与方框之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为(　　)
3.如图所示，AB为竖直转轴，轻绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为mg。当AC和BC拉直时，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC绳的长为 m。细绳AC和BC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度缓慢增大时，为保证两绳都不断裂，线速度的最大值为(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
m/s 2 m/s
3 m/s 4 m/s
题组二　竖直面圆周运动的临界问题
4.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定小于mg
人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
人在最低点时对座位的压力大于mg
5.(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
小球在圆周最高点时的向心力一定等于重力
小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
6.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
v最小值可以为0
若v＝，细绳必然对小球有拉力的作用
v若增大，此时小球所需的向心力将减小
若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是6mg
7.如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A的质量为2m，球B的质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若两小球经过O点正下方时，B的速度大小为，重力加速度为g，轻杆AB段和OB段的拉力大小之比为(　　)
8.(多选)如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动，在转动的过程中，忽略空气阻力。某时刻若球B运动到最高点，且球B对杆恰好无作用力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
此时球B在最高点时的速度为
此时球B在最高点时的速度为
此时杆对水平轴的作用力为mg
此时杆对水平轴的作用力为1.5mg
综合提升练
9.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则(　　)
数据a与小球的质量无关
当地的重力加速度为
当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
10.如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。PQ为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
管道的半径为bg
小球质量为
小球在PQ以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
小球在PQ以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
11.(12分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
(1)(6分)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)(6分)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
培优加强练
12.(多选)(新教材鲁科版P81T9改编)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　)
当转盘以角速度ω＝匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg
当转盘以角速度ω＝匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg
当转盘以角速度ω＝匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg
当转盘以角速度ω＝匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg
培优提升八　圆周运动的临界问题
1.C　[A、B、C三个物体的角速度相同，根据向心加速度a＝rω2，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；由摩擦力提供向心力有fB＝mRω2，fC＝m·2R·ω2，可知物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mrω2，则ω＝，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误。]
2.B　[设方框边长为l，小球质量为m，对P球，根据平衡条件可得μmlω2＝mg，对Q球，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2，联立解得μ＝，故B正确。]
3.B　[小球在竖直方向上合力为零，即TACsin 60°＝mg，解得TAC＝mg，当TBC＝mg时，小球线速度具有最大值vm，根据牛顿第二定律有TACcos 60°＋TBC＝meq \f(v,r)，解得vm＝2 m/s，故B正确。]
4.D　[过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图所示，
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在最高点，由mg＋N＝meq \f(v,R)得N＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,R)－g))①
在最低点，由N′－mg＝meq \f(v,R)得N′＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,R)＋g))②
当v1≥时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，A、B错误；最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等，C错误；由②式知，在最低点N′>mg，根据牛顿第三定律知，D正确。]
5.CD　[小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。]
6.D　[小球到达最高点时速度最小，有mg＝m，则v的最小值为v＝，即当v＝时，细绳对小球无拉力作用，选项A、B错误；v若增大，根据F＝m，可知此时小球所需的向心力将变大，选项C错误；若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，T－mg＝m，解得绳子的拉力T＝6mg，选项D正确。]
7.B　[最低点时，A与B角速度相同，则A的速度vA＝2vB＝2，由牛顿第二定律，对A有FAB－2mg＝2meq \f(v,2L)，对B有FOB－mg－FAB＝meq \f(v,L)，解得＝，故B正确。]
8.BD　[当球B运动至最高点时恰好对杆无作用力，则可知此时恰好由重力充当向心力，由牛顿第二定律有mg＝meq \f(v,2L)，解得vB＝，故A错误，B正确；由于球A与球B为同轴转动，角速度相等，则根据v＝rω知，此时A、B两球的线速度之比即为半径之比，即此时A球的线速度为vA＝＝，设此时杆对A球的作用力为T，则对A球，由牛顿第二定律有T－mg＝meq \f(v,L)，解得T＝1.5mg，由于此时B球对杆恰好无作用力，则仅有A球对杆有作用力，因此此时球对杆的作用力大小为1.5mg，则此时杆对水平轴的作用力为1.5mg，故C错误，D正确。]
9.D　[设绳长为R，小球在最高点满足T＋mg＝m，即T＝m－mg，由题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝，R＝，故A、B错误；当v2＝c时，有T1＋mg＝m，将g和R的值代入得T1＝－a，故C错误；当v2＝2b时，由T2＋mg＝m得T2＝a＝mg，即拉力与重力大小相等，故D正确。]
10.B　[由题图乙可知，当v2＝b，N＝0时，mg＝m，解得R＝，故A错误；当v2＝0时，N＝mg＝a，所以m＝，故B正确；小球在水平线PQ以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错误；小球在水平线PR以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁对小球有作用力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。]
11.(1)　(2)
解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω，解得ω1＝。
(2)物块恰好离开转盘时，N＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，则有
mgtan θ＝mrω
tan θ＝＝
联立解得ω2＝。
12.ACD　[物块和转盘间的最大静摩擦力是fm＝μmg，当转盘以角速度ω＝匀速转动时，所需向心力为F1＝mrω2＝μmgfm，摩擦力不足以提供向心力，绳子的拉力提供部分向心力，即F2＝T＋fm，解得T＝μmg，则物块所受的摩擦力大小为μmg，细绳的拉力大小为μmg，故C、D正确。]培优提升八　圆周运动的临界问题
学习目标　1.会分析水平面内圆周运动的临界问题。2.掌握竖直面内两种圆周运动模型，并分析解决与之相关的实际问题。3.熟练掌握水平面和竖直面内圆周运动的临界问题，并分析解决与之相关的实际问题。
提升1　水平面圆周运动的临界问题
1.水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内。
2.物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
3.水平面内的圆周运动常见的临界条件
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值。
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。
(3)与静摩擦力有关的临界条件：静摩擦力达到最大值。
4.解题关键
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
角度1　与绳的弹力有关的临界问题
例1 (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C.当角速度ω>时，b绳中有弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
角度2　与支持面的弹力有关的临界问题
例2 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝45°，一条长为L的轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看成质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。重力加速度为g，求：
(1)当v1＝时，绳对物体的拉力大小；
(2)当v2＝时，绳对物体的拉力大小。
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角度3　与静摩擦力有关的临界问题
例3 (新教材鲁科版P78T3改编)如图所示，质量相等的甲、乙两物体放在旋转的圆台上，甲物体到转轴的距离2r是乙物体到转轴距离的两倍，甲、乙与圆台间的最大静摩擦力相等，动摩擦因数为μ，当圆台旋转时，甲、乙均未滑动，下列说法正确的是(　　)
A.这时的转速可能为ω＝
B.这时的转速可能为ω＝
C.当v甲＝时甲不会被甩出
D.当v乙＝时甲不会被甩出
提升2　竖直面圆周运动的临界问题
角度1　轻绳模型
1.模型概述
无支撑物(如球与绳连接；沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点
比较项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋F弹＝m
临界特征 F弹＝0，即mg＝m，得v＝
v＝的意义 物体能否过最高点的临界点
例4 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
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角度2　轻杆模型
1.模型概述
有支撑物(如球与杆连接；小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
2.模型特点
比较项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋N＝m
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时N＝mg
v＝的意义 N表现为拉力还是支持力的临界点
例5 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一小球，质量m为0.5 kg，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。
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训练 (多选)如图所示，管壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内，半径为R。质量为m的小球在管道内做圆周运动，管道内径远小于轨道半径，下列有关说法中正确的是(　　)
A.小球通过最高点的最小速度为0
B.小球通过最高点的最小速度为
C.若小球经过最低点时速度大小为，则此时小球对管道的作用力大小为6mg
D.若小球经过最高点时速度大小为，则此时小球对管道作用力大小为mg
随堂对点自测
1.(水平面内的临界问题)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
2.(竖直面内的临界问题)(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　)
A.方向一定竖直向上 　 B.方向可能竖直向下
C.大小可能为0 　 D.大小不可能为0
3.(竖直面内的临界问题)(新教材鲁科版P83T8改编)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
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培优提升八　圆周运动的临界问题
提升1
例1 AC　[小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳伸直且拉力为零时，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳中有弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的张力可能不变，故D错误。]
例2 (1) mg　(2)2mg
解析　当物体刚要离开锥面时，锥面对物体没有支持力，由牛顿第二定律得
Tcos θ－mg＝0，Tsin θ＝meq \f(v,Lsin θ)
解得v0＝。
(1)因v1＜v0，此时锥面对物体有支持力，设为N1，对物体受力分析，如图甲所示，则有
T1cos θ＋N1sin θ－mg＝0
T1sin θ－N1cos θ＝meq \f(v,Lsin θ)
解得T1＝mg。
(2)因v2＞v0，则物体离开锥面，设绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示。
则T2cos α－mg＝0，T2sin α＝meq \f(v,L sin α)
解得T2＝2mg。
INCLUDEPICTURE"Q528.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\鲁科物理必修第二册\\配套学生WORD文档\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\鲁科物理必修第二册\\配套学生WORD文档\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 鲁科版\\配套学生WORD文档\\答案精析\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Q528.TIF" \* MERGEFORMATINET
例3 B　[物体恰好不相对滑动时，有f＝μmg＝mRω2，解得临界角速度为ω＝，甲、乙与圆台间的最大静摩擦力相等，质量相等，半径越大，临界角速度越小，则转台的临界角速度为ω临＝，则圆台旋转时的角速度范围为ω≤，故A错误，B正确；当最大静摩擦力提供向心力时，有f＝μmg＝m，解得v＝，甲、乙与圆台间的最大静摩擦力相等，质量相等，半径越大，临界线速度越大，则转台的临界线速度为v临＝，则圆台旋转时的线速度范围为v≤，当v甲＝时甲会被甩出，且当v乙＝时甲也会被甩出，故C、D错误。]
提升2
例4 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝m
甲
又F1≥0
联立得v≥，即v≥2 m/s，所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)将v2＝4 m/s代入mg＋F2＝meq \f(v,R)得
F2＝15 N。
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3－mg＝meq \f(v,R)
乙
将F3＝45 N代入得v3＝4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s。
例5 (1) m/s　(2)4 N，方向竖直向下　11 N，方向竖直向上　(3)6 m/s
解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝meq \f(v,L)
代入数据解得v1＝＝ m/s。
(2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，小球A受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得mg－F1＝meq \f(v,L)，代入数据得F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力大小为4 N，方向竖直向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，小球A受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律有F2＋mg＝meq \f(v,L)，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力大小为11 N，方向竖直向上。
(3)当小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有
F－mg＝meq \f(v,L)
代入数据解得v4＝6 m/s。
训练 AC　[小球在管道内做圆周运动，在最高点时管道能给小球竖直向上的支持力，则小球能够通过最高点的最小速度为零，故A正确，B错误；若小球经过最低点时速度大小为，根据牛顿第二定律有N－mg＝m，解得N＝6mg，根据牛顿第三定律可知，此时小球对管道的作用力大小为6mg，故C正确；若小球经过最高点时速度大小为，则根据牛顿第二定律有N′＋mg＝m，解得N′＝0，则可知此时小球对管道恰好无作用力，即作用力大小为0，故D错误。]
随堂对点自测
1.C　[A、B整体在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mrω2，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。]
2.BC　[设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错误。]
3.(1) m/s　(2)10 N
解析　(1)在最高点水不流出的临界条件是重力大小等于水做圆周运动的向心力大小，即mg＝meq \f(v,r)，其中r＝，解得vmin＝ m/s。
(2)因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有N＋mg＝m
解得N＝10 N
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为
N′＝N＝10 N。(共57张PPT)
培优提升八　圆周运动的临界问题
第3章　圆周运动
1.会分析水平面内圆周运动的临界问题。
2.掌握竖直面内两种圆周运动模型，并分析解决与之相关的实际问题。
3.熟练掌握水平面和竖直面内圆周运动的临界问题，并分析解决与之相关的实际问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　竖直面圆周运动的临界问题
提升1　水平面圆周运动的临界问题
提升1　水平面圆周运动的临界问题
1.水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内。
2.物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
3.水平面内的圆周运动常见的临界条件
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值。
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。
(3)与静摩擦力有关的临界条件：静摩擦力达到最大值。
4.解题关键
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
AC
角度1　与绳的弹力有关的临界问题
例1 (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
角度2　与支持面的弹力有关的临界问题
例2 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝45°，一条长为L的轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看成质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。重力加速度为g，求：
角度3　与静摩擦力有关的临界问题
例3 (新教材鲁科版P78T3改编)如图所示，质量相等的甲、乙两物体放在旋转的圆台上，甲物体到转轴的距离2r是乙物体到转轴距离的两倍，甲、乙与圆台间的最大静摩擦力相等，动摩擦因数为μ，当圆台旋转时，甲、乙均未滑动，下列说法正确的是(　　)
B
提升2　竖直面圆周运动的临界问题
角度1　轻绳模型
1.模型概述
无支撑物(如球与绳连接；沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点
例4 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
甲
又F1≥0
乙
角度2　轻杆模型
1.模型概述
有支撑物(如球与杆连接；小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
2.模型特点
例5 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一小球，质量m为0.5 kg，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。
AC
训练 (多选)如图所示，管壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内，半径为R。质量为m的小球在管道内做圆周运动，管道内径远小于轨道半径，下列有关说法中正确的是(　　)
随堂对点自测
2
C
1.(水平面内的临界问题)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
解析　A、B整体在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mrω2，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。
BC
2.(竖直面内的临界问题)(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　)
A.方向一定竖直向上 B.方向可能竖直向下
C.大小可能为0 D.大小不可能为0
3.(竖直面内的临界问题)(新教材鲁科版P83T8改编)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解得N＝10 N
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为N′＝N＝10 N。
课后巩固训练
3
C
题组一　水平面圆周运动的临界问题
1.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三个物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
对点题组练
B
2.如图所示，正方形框ABCD竖直放置，两个完全相同的小球P、Q分别穿在方框的BC、CD边上，当方框绕AD轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点，已知两球与方框之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为(　　)
B
D
题组二　竖直面圆周运动的临界问题
4.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B.人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定小于mg
C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
解析　过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图所示，
CD
D
6.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
B
BD
8.(多选)如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动，在转动的过程中，忽略空气阻力。某时刻若球B运动到最高点，且球B对杆恰好无作用力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
D
9.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则(　　)
综合提升练
B
10.如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。PQ为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
ACD
12.(多选)(新教材鲁科版P81T9改编)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　 )
培优加强练

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