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培优提升九　与圆周运动相关联的多过程问题
(分值：100分)
选择题1～2题，每小题10分，共20分。
1.如图所示，质量为m的小球与长度为L的细线连接，另一端系于O点，现将小球拉至水平方向，小球由静止开始释放，已知小球到达最低点时对绳子的拉力大小为2.5mg，则小球由释放至摆到最低点过程中克服空气阻力做功大小(　　)
mgL mgL
mgL mgL
2.(2022·全国甲卷，14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
3.(20分)如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图，此模型中所有轨道都是光滑的，现使小车(视作质点)从左侧轨道距B点高h＝0.25 m处(图中未标出)，由静止开始向下运动，B点为圆轨道的最低点，小车进入圆轨道后，恰好能通过轨道的最高点A处，不计空气阻力，小车的质量m＝1.0 kg，g取10 m/s2。求：
(1)(6分)小车通过B点时的速度大小vB；
(2)(6分)圆轨道的半径R的大小；
(3)(8分)小车运动到圆轨道B点时对轨道的压力大小NB。
4.(20分)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物块(可视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物块获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点。已知重力加速度为g，试求：
(1)(6分)弹簧开始时的弹性势能；
(2)(6分)物块从B点运动至C点克服阻力做的功；
(3)(8分)物块离开C点后落回水平面时的动能。
5.(20分)(2023·全国甲卷，24)如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)(10分)小球离开桌面时的速度大小；
(2)(10分)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
6.(20分)图甲所示为重庆钓鱼城复制的古代抛石机，通过使用抛石机可以击中几十至几百米远的目标。某同学仿照古代抛石机制作一个抛石机模型如图乙所示，炮架上横置一个可以转动的轴，固定在轴上的长轻杆，可绕转轴O转动，转轴O到地面的距离为h＝1 m，发射前长杆A端着地与地面成30°夹角，A端半球形凹槽中放置一质量m＝3 kg的物体，两人用手拉动长轻杆另一端B至O点正下方，当B贴近地面时刚好在O点正下方，且速度vB＝1.5 m/s，此时长轻杆受到装置作用迅速停止，A端小凹槽中的物体从最高点水平飞出，空气阻力可忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)(6分)物体从最高点飞出时的速度大小vA；
(2)(6分)物体在最高点飞出前对长杆凹槽在竖直方向上的弹力；
(3)(8分)物体从最高点水平飞出后落地时的动能。
培优提升九　与圆周运动相关联的多过程问题
1.B　[小球到达最低点时对绳子的拉力大小为2.5mg，则2.5mg－mg＝m，从释放至摆到最低点过程中mgL－W阻＝mv2－0，解得W阻＝mgL，故B正确。]
2.D　[运动员从a到c根据动能定理有mgh＝mv，在c点有FNc－mg＝meq \f(v,Rc)，FNc≤ kmg，联立有Rc≥，故选项D正确。]
3.(1) m/s　(2)0.1 m　(3)60 N
解析　(1)由动能定理有mgh＝mv
解得vB＝＝m/s。
(2)设小车经过A点时的速度为vA，根据牛顿第二定律有mg＝eq \f(mv,R)得vA＝
根据机械能守恒定律有
mv＋2mgR＝mv
得vB＝，联立解得R＝0.1 m。
(3)设在最低点轨道给小车的支持力为NB′，根据牛顿第二定律有
NB′－mg＝eq \f(mv,R)
解得NB′＝60 N，由牛顿第三定律可知，小车对轨道的压力大小NB＝60 N。
4.(1)3mgR　(2)0.5mgR　(3)mgR
解析　(1)在B点时，对物块由牛顿第二定律得
N－mg＝meq \f(v,R)，解得vB＝
物块从A点到B点的过程中，根据机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能Ep＝mv＝3mgR。
(2)物块到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v,R)
物块从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有W－mg×2R＝mv－mv
解得W＝－0.5mgR，即物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR。
(3)物块离开C点后落回水平面的过程，根据动能定理有mg×2R＝Ek－mv
解得落回水平面时的动能为Ek＝mgR。
5.(1)　(2)
解析　(1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为v0，由机械能守恒定律有
Ep＝mv
解得v0＝。
(2)小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为vy1，由运动学公式有
v＝2gh
设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为vy，有
vy1＝vy
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有
vy＝gt
其水平位移x＝v0t
联立解得x＝。
6.(1)3 m/s　(2)16.5 N　方向竖直向下　(3)103.5 J
解析　(1)由几何关系可知AO＝2OB＝2h
因A、B转动的角速度相同，且v＝rω
所以A端物体在最高点的速度为vA＝2vB
解得vA＝3 m/s。
(2)物体在最高点时，由重力和杆的支持力提供向心力，有mg＋N＝meq \f(v,r)，又r＝OA＝2h
解得N＝－16.5 N，方向竖直向上
由牛顿第三定律知，物体在最高点对长杆凹槽在竖直方向上的弹力N′＝16.5 N，方向竖直向下。
(3)物体到达最高点时，距地面高度
y＝h＋＝3 m
由动能定理得mgy＝Ek－mv
可得Ek＝103.5 J。培优提升九　与圆周运动相关联的多过程问题
学习目标　1.掌握抛体运动和圆周运动的特点，会解决抛体运动与圆周运动的综合问题。2.利用动力学方法和功能观点解决多过程问题。
1.问题概述
2.解题思路
(1)若一个物体参与了多个运动过程，有的过程只涉及运动和力的问题或只要求分析物体的动力学特点，则要用动力学方法求解。
(2)若某过程涉及做功和能量转化问题，则要考虑应用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、功能关系求解。
3.解题关键
寻找过程间的联系是解题的突破口。
角度1　直线运动与圆周运动组合
例1 如图所示，竖直平面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水平面向左滑动，经过A点时的速度vA＝6 m/s，经过B点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点C。已知半圆轨道半径R＝0.40 m，小滑块的质量为1 kg，小滑块可看作质点，g＝10 m/s2。求：
(1)滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
(2)滑块从A到B过程克服摩擦力做的功。
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角度2　平抛运动与圆周运动组合
例2 如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9 m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.9 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ＝37°。一质量为M＝0.9 kg的物块(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块到达C点时的速度大小vC；
(2)在A点受到的弹力大小FA；
(3)物块对C点的压力大小FC。
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角度3　斜抛运动与圆周运动组合
例3 (2024·福建三明高一期末)2022年2月北京举办了第22届冬季奥运会，成为全球首座“双奥之城”。图甲为运动员在比赛中的照片，赛道简化为图乙所示，PQ为六分之一圆弧跳台，O为圆心，AB为倾斜坡道。运动员在空中运动的轨迹为QMS，M为轨迹的最高点。已知运动员和装备的总质量为m＝80 kg，经过圆弧最低点P时的速度v0＝15 m/s，跳台的半径R＝12.5 m。忽略一切阻力，将运动员及装备视为质点，g取10 m/s2。求：
(1)运动员经过P点时对轨道的压力大小；
(2)运动员在M点的速度大小；
(3)设运动员经过P点时受到轨道的支持力为N，运动中距离水平面PA的最大高度为h，若运动员以不同速率经过P点，求N和h的关系式(用符号m、g、R表示)。
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角度4　多过程组合问题
例4 如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，导轨半径R＝0.4 m，一质量m＝1 kg的小滑块(可视为质点)从A点以某一水平初速度滑上水平面AB，经过B点后恰好能通过半圆形轨道最高点C，最后落在AB上的D点，g＝10 m/s2。求：
(1)小滑块运动到半圆形轨道最高点时的速度大小；
(2)D点与B点间的距离；
(3)小滑块在B点对轨道的压力大小。
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随堂对点自测
1.如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg 的小钢珠(可视为质点)，假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该小钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
2.如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道ABCD相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则(　　)
A.μ越大，k越大 B.μ越大，k越小
C.k＝2 D.k＝
培优提升九　与圆周运动相关联的多过程问题
例1 (1)60 N　(2)8 J
解析　(1)小滑块恰好通过最高点C，则其在C点有
mg＝meq \f(v,R)
从C到B过程，对小滑块由动能定理，有
2mgR＝mv－mv
在B点，对小滑块由牛顿第二定律得
N－mg＝meq \f(v,R)
联立解得N＝60 N
根据牛顿第三定律，经过B点时对圆轨道的压力大小为60 N。
(2)对滑块，从A 到B 由动能定理得
－Wf＝mv－mv
解得Wf＝8 J。
例2 (1)10 m/s　(2)55 N　(3)107.2 N
解析　(1)物块经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，对于A到C的平抛运动过程，有v＝2g×2R
又sin θ＝，联立解得vC＝10 m/s。
(2)tan θ＝，在A点有Mg＋FA＝Meq \f(v,R)
联立解得FA＝55 N。
(3)在C点有FC′－Mgcos θ＝Meq \f(v,r)
联立解得FC′＝107.2 N
根据牛顿第三定律可知物块对C点压力大小
FC＝FC′＝107.2 N。
例3 (1)2 240 N　(2)5 m/s　(3)h＝N－
解析　(1)运动员经过P点时，根据牛顿第二定律有
N－mg＝meq \f(v,R)
解得N＝2 240 N，根据牛顿第三定律得，运动员经过P点时对轨道的压力大小N′＝N＝2 240 N。
(2)PQ为六分之一圆弧跳台，则∠POQ＝60°，运动员由P到Q过程有
－mg(R－Rcos θ)＝mv－mv
解得vQ＝10 m/s
由于运动员做斜抛运动，在最高点M的速度为
vM＝vQcos θ＝vQ＝5 m/s。
(3)在P点根据牛顿第二定律有N－mg＝meq \f(v,R)
从P点到Q点，由动能定理得
－mg＝mv－mv
根据斜抛运动关系得vM＝vQcos θ＝vQ
从P点到M点，由动能定理得
－mgh＝mv－mv
联立整理得h＝N－。
例4 (1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)60 N
解析　(1)小滑块经过B点后恰好能通过半圆形轨道最高点C，有mg＝meq \f(v,R)
解得小滑块运动到半圆形轨道最高点时的速度大小为vC＝＝2 m/s。
(2)小滑块经过最高点C后做平抛运动，竖直方向有
2R＝gt2
D点与B点间的距离为x＝vCt＝0.8 m。
(3)根据动能定理有2mgR＝mv－mv
根据牛顿第二定律有N－mg＝meq \f(v,R)
根据牛顿第三定律得小滑块在B点对轨道的压力大小为N′＝N＝60 N。
随堂对点自测
1.B　[设小钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，由题意可得mg＝m，从发射前到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J，B正确。]
2.D　[由题意知：滑块从M点恰好能到最高点，有(F－f)MA－mg·2R＝mv2，在最高点时，由重力提供向心力得mg＝，滑块从N点恰好能到B点，有(F－f)NA－mgR＝0，联立解得k＝＝，k的取值与μ无关，故D正确。](共39张PPT)
培优提升九　与圆周运动相关联的多过程问题
第3章　圆周运动
1.掌握抛体运动和圆周运动的特点，会解决抛体运动与圆周运动的综合问题。
2.利用动力学方法和功能观点解决多过程问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
1.问题概述
2.解题思路
(1)若一个物体参与了多个运动过程，有的过程只涉及运动和力的问题或只要求分析物体的动力学特点，则要用动力学方法求解。
(2)若某过程涉及做功和能量转化问题，则要考虑应用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、功能关系求解。
3.解题关键
寻找过程间的联系是解题的突破口。
角度1　直线运动与圆周运动组合
例1 如图所示，竖直平面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水平面向左滑动，经过A点时的速度vA＝6 m/s，经过B点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点C。已知半圆轨道半径R＝0.40 m，小滑块的质量为1 kg，小滑块可看作质点，g＝10 m/s2。求：
(1)滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
(2)滑块从A到B过程克服摩擦力做的功。
答案　(1)60 N　(2)8 J
角度2　平抛运动与圆周运动组合
例2 如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9 m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.9 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ＝37°。一质量为M＝0.9 kg的物块(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块到达C点时的速度大小vC；
(2)在A点受到的弹力大小FA；
(3)物块对C点的压力大小FC。
答案　(1)10 m/s　(2)55 N　(3)107.2 N
角度3　斜抛运动与圆周运动组合
例3 (2024·福建三明高一期末)2022年2月北京举办了第22届冬季奥运会，成为全球首座“双奥之城”。图甲为运动员在比赛中的照片，赛道简化为图乙所示，PQ为六分之一圆弧跳台，O为圆心，AB为倾斜坡道。运动员在空中运动的轨迹为QMS，M为轨迹的最高点。已知运动员和装备的总质量为m＝80 kg，经过圆弧最低点P时的速度v0＝15 m/s，跳台的半径R＝12.5 m。忽略一切阻力，将运动员及装备视为质点，g取10 m/s2。求：
(1)运动员经过P点时对轨道的压力大小；
(2)运动员在M点的速度大小；
(3)设运动员经过P点时受到轨道的支持力为N，运动中距离水平面PA的最大高度为h，若运动员以不同速率经过P点，求N和h的关系式(用符号m、g、R表示)。
角度4　多过程组合问题
例4 如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，导轨半径R＝0.4 m，一质量m＝1 kg的小滑块(可视为质点)从A点以某一水平初速度滑上水平面AB，经过B点后恰好能通过半圆形轨道最高点C，最后落在AB上的D点，g＝10 m/s2。求：
(1)小滑块运动到半圆形轨道最高点时的速度大小；
(2)D点与B点间的距离；
(3)小滑块在B点对轨道的压力大小。
答案　(1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)60 N
随堂对点自测
2
B
1.如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg 的小钢珠(可视为质点)，假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该小钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
D
2.如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道ABCD相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则(　　)
课后巩固训练
3
B
1.如图所示，质量为m的小球与长度为L的细线连接，另一端系于O点，现将小球拉至水平方向，小球由静止开始释放，已知小球到达最低点时对绳子的拉力大小为2.5mg，则小球由释放至摆到最低点过程中克服空气阻力做功大小(　　)
D
2.(2022·全国甲卷，14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
3.如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图，此模型中所有轨道都是光滑的，现使小车(视作质点)从左侧轨道距B点高h＝0.25 m处(图中未标出)，由静止开始向下运动，B点为圆轨道的最低点，小车进入圆轨道后，恰好能通过轨道的最高点A处，不计空气阻力，小车的质量m＝1.0 kg，g取10 m/s2。求：
(1)小车通过B点时的速度大小vB；
(2)圆轨道的半径R的大小；
(3)小车运动到圆轨道B点时对轨道的压力大小NB。
4.如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物块(可视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物块获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点。已知重力加速度为g，试求：
(1)弹簧开始时的弹性势能；
(2)物块从B点运动至C点克服阻力做的功；
(3)物块离开C点后落回水平面时的动能。
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
6.图甲所示为重庆钓鱼城复制的古代抛石机，通过使用抛石机可以击中几十至几百米远的目标。某同学仿照古代抛石机制作一个抛石机模型如图乙所示，炮架上横置一个可以转动的轴，固定在轴上的长轻杆，可绕转轴O转动，转轴O到地面的距离为h＝1 m，发射前长杆A端着地与地面成30°夹角，A端半球形凹槽中放置一质量m＝3 kg的物体，两人用手拉动长轻杆另一端B至O点正下方，当B贴近地面时刚好在O点正下方，且速度vB＝1.5 m/s，此时长轻杆受到装置作用迅速停止，A端小凹槽中的物体从最高点水平飞出，空气阻力可忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体从最高点飞出时的速度大小vA；
(2)物体在最高点飞出前对长杆凹槽在竖直方向上的弹力；
(3)物体从最高点水平飞出后落地时的动能。
答案　(1)3 m/s　(2)16.5 N　方向竖直向下 (3)103.5 J
解析　(1)由几何关系可知AO＝2OB＝2h
因A、B转动的角速度相同，且v＝rω
所以A端物体在最高点的速度为vA＝2vB
解得vA＝3 m/s。
解得N＝－16.5 N，方向竖直向上
由牛顿第三定律知，物体在最高点对长杆凹槽在竖直方向上的弹力N′＝16.5 N，方向竖直向下。

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