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第4章　万有引力定律及航天
第1节　天地力的综合：万有引力定律
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题7分，共77分。
对点题组练
题组一　行星运动的定律
1.(2024·山东济南高一期中)对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法中正确的是(　　)
太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
行星距离太阳越近，其运动速率越小
行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
2.(根据鲁科版教材P86图4－4改编)如图所示是火星绕太阳公转的轨道示意图，由a到b和由c到d过程，火星与太阳连线扫过的面积均为S，则火星(　　)
由a到b过程速度先减小后增大
由c到d过程速度一直增大
由a到b所用的时间等于由c到d所用的时间
由a到b所用的时间大于由c到d所用的时间
3.如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比为(　　)
1∶1
题组二　万有引力定律　引力常量的测定
4.下列关于万有引力的说法正确的是(　　)
牛顿测出了引力常量G
对于质量分布均匀的球体，公式F＝中的r指两球心之间的距离
因地球质量远小于太阳质量，故太阳对地球的引力远小于地球对太阳的引力
设想把一物体放到地球的中心(地心)，则该物体受到地球的万有引力无穷大
5.物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是(　　)
引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
月球上的引力常量等于地球上的引力常量
这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
6.航天员从中国空间站乘坐返回舱返回地球的过程中，随着返回舱离地球越来越近，地球对航天员的万有引力(　　)
变大 不变
变小 大小变化无法确定
7.体育课上学生掷匀质软实心球(质量约2千克)。令一个软实心球所受的重力大小为G′，操场上球心相距1 m的两个软实心球之间的万有引力大小为F，取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则估算可得(　　)
G′＝20 N，F＝2.7×10－10 N
G′＝20 N，F＝2.7×10－12 N
G′＝0.2 N，F＝2.7×10－10 N
G′＝0.2 N，F＝2.7×10－12 N
题组三　重力与万有引力的关系
8.运行在星际间的流星体(通常包括宇宙尘粒和固体块等空间物质)，在接近地球时由于受到地球引力的摄动而被地球吸引，从而进入大气层，并与大气摩擦燃烧产生光迹。若某流星距离地面高度为一个地球半径，地球北极的重力加速度为g，则流星的加速度为(　　)
9.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动。则下列说法正确的是(　　)
P、Q所受地球引力大小相等
P、Q做圆周运动的向心力大小相等
P、Q做圆周运动的角速度大小相等
P、Q两质点的重力大小相等
综合提升练
10.2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空，与神舟十五号乘组胜利会师。若宇航员在空间站中测得空间站对地球的张角为2θ，如图所示，已知地球的近地卫星(可视为贴地面运行)的运动周期为T，则空间站在轨绕地球做圆周运动的周期大小为(　　)
11.(多选)如图所示，一卫星绕地球运动，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。下列说法中正确的是(　　)
卫星在运动过程中完全失重
卫星在做变加速曲线运动
卫星在A点的加速度最小
卫星从A到C做加速运动
12.(12分)月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？
(1)(4分)如图所示，假若你与同桌的质量均为60 kg，相距0.5 m，粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10－11N·m2/kg2)；
(2)(4分)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是你和你同桌之间引力的多少倍？
(3)(4分)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
培优加强练
13.(11分)如图所示，假设某火箭起飞后一直竖直向上运动，起飞时推力大小约1.2×106 N，火箭起飞质量为5.0×104 kg，地面附近重力加速度为10 m/s2，地球半径约为6 400 km；火箭到达200 km时，一节、二节推进器已经先后脱落，火箭质量变为3.3×103 kg，推力大小减为6.5×104 N。若空气阻力及短时间内消耗燃料的质量均可忽略不计，已知≈0.940，求：
(1)(5分)火箭起飞后前700 m的运动时间；
(2)(6分)火箭运动到200 km时的加速度大小(计算结果保留3位有效数字)。
第1节　天地力的综合：万有引力定律
1.B　[太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，故A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；根据开普勒第二定律可知，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；根据开普勒第三定律可知，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误。]
2.C　[设火星在近日点的线速度为v1，距离太阳的距离为R1，远日点的线速度为v2，距离太阳的距离为R2，根据开普勒第二定律，设在极短时间Δt内，则有v1R1·Δt＝v2R2·Δt，可知v1>v2，即近日点的线速度大于远日点的线速度，火星从近日点向远日点运动的过程中，线速度在逐渐减小，从远日点向近日点运动的过程中，线速度逐渐增大，因此火星由a到b过程速度先增大后减小，由c到d过程速度减小，故A、B错误；根据题意，由a到b和由c到d过程，火星与太阳连线扫过的面积均为S，根据开普勒第二定律可知由a到b所用的时间等于由c到d所用的时间，故C正确，D错误。]
3.D　[由开普勒第三定律可得eq \f(r3,T)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋r,2)))\s\up12(3),T)，解得＝，故D正确。]
4.B　[卡文迪许测出了引力常量G，A错误；对于质量分布均匀的球体，公式F＝中的r指两球心之间的距离，B正确；万有引力是相互作用力，太阳对地球的引力等于地球对太阳的引力，C错误；由对称性可知，处于地球中心的物体受到的万有引力为0，D错误。]
5.D　[地面上普通物体间的引力太微小，这个力很难测量，故不易通过万有引力定律公式直接计算G，A正确；引力常量是一个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面上普通物体间的引力太微小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确。]
6.A　[根据F万＝G可知，返回舱离地球越来越近，则地球与航天员之间的距离r越来越小，可知地球对航天员的万有引力F万逐渐变大，故A正确。]
7.A　[软实心球所受的重力大小为G′＝mg＝2×10 N＝20 N，两个软实心球之间的万有引力大小为F＝G＝6.67×10－11× N≈2.7×10－10 N，故A正确。]
8.B　[设地球的质量为M，万有引力常量为G，由于地球北极的重力加速度为g，所以＝mg，解得GM＝gR2，设流星的质量为m0，则流星受到的万有引力F＝，由牛顿第二定律得F＝m0a，解得流星的加速度a＝，故B正确。]
9.AC　[设地球的质量为M，P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据F＝mrω2可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。]
10.A　[根据几何关系可得空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝，根据开普勒第三定律可得＝，联立可得T′＝，故A正确。]
11.AB　[卫星绕地球运动时，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，根据牛顿第二定律得G＝ma，可得a＝， 做变加速曲线运动，A距离地球最近，卫星在A点的加速度最大，故A、B正确，C错误；卫星绕地球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，轨道上离地球越近，卫星的速度越大，离地球越远，卫星的速度越小；则卫星在A点的速度最大，卫星在C点的速度最小，卫星从A到C做减速运动，故D错误。]
12.(1)1×10－6 N　(2)40　(3)不需要
解析　(1)由万有引力公式得F＝G＝6.67×10－11× N≈9.6×10－7 N≈1×10－6 N。
(2)芝麻的重力是你和你同桌之间引力的＝40倍。
(3)由上述可知这时的引力很小，所以两个人靠近时，在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。
13.(1)10.0 s　(2)10.3 m/s2
解析　(1)火箭起飞后前700 m过程中，重力加速度可视为不变，即有F1－m1g＝m1a1
又有h＝a1t，解得t1＝10.0 s。
(2)根据计算结果要求，火箭运动到200 km时，重力加速度的变化不可忽略，则有＝mg
又＝mg′，则有F2－m2g′＝m2a2
解得a2＝10.3 m/s2。第4章　万有引力定律及航天
第1节　天地力的综合：万有引力定律
学习目标　1.知道开普勒定律的内涵及科学价值。2.了解开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关。3.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力，知道万有引力定律的适用范围。4.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
知识点一　行星运动的规律
如图为行星绕太阳转动的示意图，观察各行星的运动轨迹，它们是规则的圆形吗？它们绕太阳一周的时间分别为：水星约88天、金星约225天、地球约365天、火星约687天、木星约11.9年、土星约29.7年、天王星约84.3年、海王星约165.2年，据此猜测行星绕太阳运动的周期与它们到太阳的距离有什么样的定性关系？
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1.开普勒定律
内容 对应图示
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个________上
开普勒第二定律 任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等
开普勒第三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其公转周期T的平方成________。数学表达式：______________
2.开普勒定律的应用
(1)当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第________定律；当比较或计算两个行星的周期时，选用开普勒第________定律。
(2)行星运动的近似处理
①行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在________。
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)____________，即行星做____________运动。
③对于绕太阳运行的所有行星，______________的三次方跟其各自公转周期T的二次方的____________，即＝k或eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)。
【思考】
如图所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置，请思考太阳是否在轨道平面的中心？地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大？哪一天绕太阳运动的速度最小？
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例1 关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是(　　)
A.开普勒通过自己的长期观测，记录了大量数据，通过对数据的研究总结出了行星运动定律
B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C.根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，线速度大小始终不变
D.根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
例2 如图所示，地球的两颗人造卫星甲、乙分别在圆轨道、椭圆轨道上运动，A、B分别是椭圆轨道的近地点、远地点，与地心的距离分别为r、3r，两轨道相切于A点，则甲、乙的周期之比为(　　)
A.1∶2 B.∶2
C.∶4 D.1∶4
知识点二　万有引力定律　引力常量的测定
1.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的________，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成________，与这两个物体间的距离r的平方成________。
(2)表达式：____________，其中G为引力常量，通常取G＝____________ N·m2/kg2。
(3)公式F＝G的适用条件
严格说，F＝G只适用于计算两个质点的相互作用，但对于下述几种情况，也可用该公式计算。
①两质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心间的距离。
②一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
2.牛顿的月—地检验，将地球对地面物体的引力、行星对卫星的引力统一起来，证明了它们都遵守________________。
3.引力常量的测定
(1)测定：1798年，英国物理学家__________利用________实验，较精确地测出了引力常量数值。
(2)意义：使______________能够广泛地应用于生产生活实践中，有了真正意义上的实用价值。
(3)卡文迪许也因此被称为“_______________________”。
4.万有引力的“四性”
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性 两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
【思考】
如图甲所示，两个距离很近的人之间的万有引力是不是很大呢？如图乙所示，设想将一个小球放到地球的中心，小球受到的万有引力又是多少呢？
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角度1　万有引力定律的理解
例3 由万有引力定律的公式F＝G可知(　　)
A.当r越小时，引力F一定越大
B.当r无穷小时，引力F会无穷大
C.当物体的质量m1、m2都很小时，引力F通常应该忽略
D.求地球与卫星之间的引力时，r应该取卫星到地球表面的距离
角度2　万有引力定律的应用
例4 2023年5月17日10时49分，长征三号乙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将第56颗北斗导航卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若长征三号乙运载火箭在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当长征三号乙运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为(　　)
A. B.
C. D.
例5 (2024·福建厦门高一期中)如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为的小球(两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切)，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
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知识点三　重力与万有引力的关系
1.“地上的物体”
在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同，如图所示。
(1)地面上的物体受到地球的万有引力F可以分解为物体受到的重力G和使物体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力F向(方向指向地轴)。
(2)特殊位置
①赤道处：如图甲所示，－mg＝________，物体的重力有最小值，且mg＝G－mRω2，方向指向地心。
②南、北极点：如图乙所示，mg＝G(F向＝0)，物体的重力有最大值，方向指向地心。
③在任一位置：如图丙所示，重力是万有引力的一个分力，mg________G。
(3)越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力________，常认为万有引力近似等于重力，即mg＝。
2.“天上的物体”
物体在空中时受到地球的万有引力等于物体的________，即mg′＝G，随着离地面的高度增加，万有引力________，物体的重力随之________(重力加速度________)。
例6 (2024·福建厦门市期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
例7 《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转。当太空电梯上升到离地高度为6 371 km时，质量为2.5 kg的物体受到的重力约为(　　)
A.0 N B.25 N
C.12.5 N D.6.25 N
随堂对点自测
1.(开普勒定律)(2024·陕西汉中高一期末)如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于地球运行轨道的中心
B.地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C.火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
2.(万有引力定律)2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉点火发射，17时46分，与空间站组合体完成自主快速交会对接。若地球半径为R，质量为M，引力常量为G，对接前空间站组合体质量为m，距地球表面高度为h，则对接前空间站组合体对地球的万有引力大小是(　　)
A.G B.G
C.G D.G
3.(万有引力定律的应用)(2021·山东卷，5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
第1节　天地力的综合：万有引力定律
知识点一
导学　提示　不是　距离越大，周期越长
知识梳理
1.焦点　面积　正比　＝k　2.(1)二　三　(2)①圆心　②不变　匀速圆周　③轨道半径r　比值都相等
[思考]　提示　地球绕太阳的轨道是一个椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，因此太阳不是在轨道平面的中心；由图可知，冬至日地球在近日点附近，夏至日在远日点附近，由开普勒第二定律可知，冬至日地球绕太阳运动的速度最大，夏至日地球绕太阳运动的速度最小。
例1 B　[第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结出了开普勒行星运动定律，故A错误；根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故B正确；由开普勒第二定律可知，太阳行星连线相同时间内扫过的面积相等，行星绕太阳在椭圆轨道上运动时，线速度大小在变化，越靠近太阳，线速度越大，反之，则越小，故C错误；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故D错误。]
例2 C　[由题图可得甲的圆轨道半径为r甲＝r，乙的椭圆轨道的半长轴为r乙＝＝2r，由开普勒第三定律可得＝，解得T甲∶T乙＝∶4，故C正确。]
知识点二
1.(1)连线　正比　反比　(2)F＝G　6.67×10－11　2.万有引力定律　3.(1)卡文迪许　扭秤　(2)万有引力定律　(3)能称出地球质量的人
[思考]　提示　两个距离很近的人不能看作质点，物体放到地球的中心，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，物体受的万有引力是零。
例3 C　[根据F＝G可知，引力F的大小与质量乘积和间距均有关，若质量乘积较小，当r越小时，引力F可能增大，可能减小，也可能不变，A错误；当r无穷小时，物体已经不能看为质点，此时万有引力定律的公式不再适用，故万有引力不是趋于无穷大，B错误；由于引力常量G的值约为6.67×10－11N·m2/kg2，当物体的质量m1、m2都很小时，万有引力亦很小，此时通常将引力F忽略，C正确；求地球与卫星之间的引力时，r应该取卫星到地心之间的距离，D错误。]
例4 C　[长征三号乙运载火箭在地面时，地球对它的万有引力大小为F＝，当长征三号乙运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为F′＝＝＝，故C正确。]
例5
解析　小球未被挖去时，大球对质点的万有引力F1＝G＝G。由体积公式知，大球的质量M＝πR3ρ，被挖去的小球的质量M′＝πρ，则有M′＝，在被挖去前小球对质点的万有引力F2＝G＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝。
知识点三
1.(2)①mRω2　③<　(3)较小　2.重力　减小　减小　减小
例6 B　[质量为m的物体在两极，所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π，B正确。]
例7 D　[不考虑地球自转，对物体而言，万有引力等于重力，在地面时G＝mg，在离地高度为6 371 km时G＝mg′，联立可得＝＝，解得mg′＝6.25 N，故D正确。]
随堂对点自测
1.C　[根据开普勒第一定律可知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，故B错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故C正确，D错误。]
2.A　[根据万有引力定律可知，对接前空间站组合体对地球的万有引力大小为F引＝G，故A正确。]
3.B　[在忽略星球自转的情况下，星球表面的重力与万有引力相同，而“玉兔”与“祝融”在悬停过程中，所受着陆平台的作用力大小等于其受到的万有引力大小，则有F玉＝Geq \f(M月m玉,r)，F祝＝Geq \f(M火m祝,r)，可知＝，故B正确。](共60张PPT)
第1节　天地力的综合：万有引力定律
第4章　万有引力定律及航天
1.知道开普勒定律的内涵及科学价值。
2.了解开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关。
3.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力，知道万有引力定律的适用范围。
4.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　万有引力定律　引力常量的测定
知识点一　行星运动的规律
知识点三　重力与万有引力的关系
知识点一　行星运动的规律
如图为行星绕太阳转动的示意图，观察各行星的运动轨迹，它们是规则的圆形吗？它们绕太阳一周的时间分别为：水星约88天、金星约225天、地球约365天、火星约687天、木星约11.9年、土星约29.7年、天王星约84.3年、海王星约165.2年，据此猜测行星绕太阳运动的周期与它们到太阳的距离有什么样的定性关系？
提示　不是　距离越大，周期越长
1.开普勒定律
内容 对应图示
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个______上
开普勒第二定律 任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
焦点
面积
正比
2.开普勒定律的应用
(1)当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第_____定律；当比较或计算两个行星的周期时，选用开普勒第____定律。
(2)行星运动的近似处理
①行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在______。
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)______ ，即行星做__________运动。
二
三
圆心
不变
匀速圆周
轨道半径r
比值都相等
【思考】
如图所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置，请思考太阳是否在轨道平面的中心？地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大？哪一天绕太阳运动的速度最小？
提示　地球绕太阳的轨道是一个椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，因此太阳不是在轨道平面的中心；由图可知，冬至日地球在近日点附近，夏至日在远日点附近，由开普勒第二定律可知，冬至日地球绕太阳运动的速度最大，夏至日地球绕太阳运动的速度最小。
例1 关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是(　　)
A.开普勒通过自己的长期观测，记录了大量数据，
通过对数据的研究总结出了行星运动定律
B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道
是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C.根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，线速度大小始终不变
D.根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
B
解析　第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结出了开普勒行星运动定律，故A错误；根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故B正确；由开普勒第二定律可知，太阳行星连线相同时间内扫过的面积相等，行星绕太阳在椭圆轨道上运动时，线速度大小在变化，越靠近太阳，线速度越大，反之，则越小，故C错误；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故D错误。
例2 如图所示，地球的两颗人造卫星甲、乙分别在圆轨道、椭圆轨道上运动，A、B分别是椭圆轨道的近地点、远地点，与地心的距离分别为r、3r，两轨道相切于A点，则甲、乙的周期之比为(　　)
C
知识点二　万有引力定律　引力常量的测定
1.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的______，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成______，与这两个物体间的距离r的平方成______。
连线
正比
反比
(2)表达式：________________，其中G为引力常量，通常取
G＝______________________ N·m2/kg2。
6.67×10－11
2.牛顿的月—地检验，将地球对地面物体的引力、行星对卫星的引力统一起来，证明了它们都遵守______________。
3.引力常量的测定
(1)测定：1798年，英国物理学家__________利用______实验，较精确地测出了引力常量数值。
(2)意义：使______________能够广泛地应用于生产生活实践中，有了真正意义上的实用价值。
(3)卡文迪许也因此被称为“____________________”。
万有引力定律
卡文迪许
扭秤
万有引力定律
能称出地球质量的人
4.万有引力的“四性”
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性 两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
【思考】
如图甲所示，两个距离很近的人之间的万有引力是不是很大呢？如图乙所示，设想将一个小球放到地球的中心，小球受到的万有引力又是多少呢？
提示　两个距离很近的人不能看作质点，物体放到地球的中心，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，物体受的万有引力是零。
C
C
角度2　万有引力定律的应用
例4 2023年5月17日10时49分，长征三号乙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将第56颗北斗导航卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若长征三号乙运载火箭在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当长征三号乙运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为(　　)
知识点三　重力与万有引力的关系
1.“地上的物体”
在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同，如图所示。
重力
减小
减小
减小
B
D
例7 《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转。当太空电梯上升到离地高度为6 371 km时，质量为2.5 kg的物体受到的重力约为(　　)
A.0 N B.25 N
C.12.5 N D.6.25 N
随堂对点自测
2
C
1.(开普勒定律)(2024·陕西汉中高一期末)如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于地球运行轨道的中心
B.地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C.火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太
阳运行一周的时间长
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
解析　根据开普勒第一定律可知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，故B错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故C正确，D错误。
A
2.(万有引力定律)2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉点火发射，17时46分，与空间站组合体完成自主快速交会对接。若地球半径为R，质量为M，引力常量为G，对接前空间站组合体质量为m，距地球表面高度为h，则对接前空间站组合体对地球的万有引力大小是(　　)
B
3.(万有引力定律的应用)(2021·山东卷，5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
课后巩固训练
3
B
题组一　行星运动的定律
1.(2024·山东济南高一期中)对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法中正确的是(　　)
A.太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
B.行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C.行星距离太阳越近，其运动速率越小
D.行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
对点题组练
解析　太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，故A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；根据开普勒第二定律可知，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；根据开普勒第三定律可知，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误。
C
2.(根据鲁科版教材P86图4－4改编)如图所示是火星绕太阳公转的轨道示意图，由a到b和由c到d过程，火星与太阳连线扫过的面积均为S，则火星(　　)
A.由a到b过程速度先减小后增大
B.由c到d过程速度一直增大
C.由a到b所用的时间等于由c到d所用的时间
D.由a到b所用的时间大于由c到d所用的时间
D
3.如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比为(　　)
B
D
5.物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是(　　)
A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地
面上普通物体间的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高
了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
解析　地面上普通物体间的引力太微小，这个力很难测量，故不易通过万有引力定律公式直接计算G，A正确；引力常量是一个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面上普通物体间的引力太微小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确。
A
6.航天员从中国空间站乘坐返回舱返回地球的过程中，随着返回舱离地球越来越近，地球对航天员的万有引力(　　)
A.变大 B.不变
C.变小 D.大小变化无法确定
A
7.体育课上学生掷匀质软实心球(质量约2千克)。令一个软实心球所受的重力大小为G′，操场上球心相距1 m的两个软实心球之间的万有引力大小为F，取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则估算可得(　　)
A.G′＝20 N，F＝2.7×10－10 N
B.G′＝20 N，F＝2.7×10－12 N
C.G′＝0.2 N，F＝2.7×10－10 N
D.G′＝0.2 N，F＝2.7×10－12 N
B
题组三　重力与万有引力的关系
8.运行在星际间的流星体(通常包括宇宙尘粒和固体块等空间物质)，在接近地球时由于受到地球引力的摄动而被地球吸引，从而进入大气层，并与大气摩擦燃烧产生光迹。若某流星距离地面高度为一个地球半径，地球北极的重力加速度为g，则流星的加速度为(　　)
AC
9.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动。则下列说法正确的是(　　)
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
A
综合提升练
10.2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空，与神舟十五号乘组胜利会师。若宇航员在空间站中测得空间站对地球的张角为2θ，如图所示，已知地球的近地卫星(可视为贴地面运行)的运动周期为T，则空间站在轨绕地球做圆周运动的周期大小为(　　)
AB
11.(多选)如图所示，一卫星绕地球运动，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。下列说法中正确的是(　　)
A.卫星在运动过程中完全失重
B.卫星在做变加速曲线运动
C.卫星在A点的加速度最小
D.卫星从A到C做加速运动
12.月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？
(1)如图所示，假若你与同桌的质量均为60 kg，相距0.5 m，
粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10－11N·m2/kg2)；
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是你和你同桌之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
答案　(1)1×10－6 N　(2)40　(3)不需要
(1)火箭起飞后前700 m的运动时间；
(2)火箭运动到200 km时的加速度大小(计算结果保留3位有效数字)。
答案　(1)10.0 s　(2)10.3 m/s2
解析　(1)火箭起飞后前700 m过程中，重力加速度可视为不变，
即有F1－m1g＝m1a1

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