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培优提升十　万有引力的三个热点问题
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题10分，共90分。
对点题组练
题组一　卫星变轨问题
1.北京时间2022年5月10日01时56分，搭载“天舟四号”货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，2时23分，飞船太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，“天舟四号”货运飞船将与在轨运行的“空间站组合体”进行交会对接，若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是(　　)
对接前“天舟四号”的运行速率大于“空间站组合体”的运行速率
对接前“天舟四号”的向心加速度小于“空间站组合体”的向心加速度
“天舟四号”通过加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
“天舟四号”先减速后加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
2.2023年10月26日，神舟十七号与天和核心舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相切，下面说法正确的是(　　)
航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿切向喷气加速追上核心舱
设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
3.(多选)飞船的某段运动可近似为如图所示的情境，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，设圆形轨道Ⅰ的半径为r，空间站运转周期为T。椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
根据题中信息，可求出空间站运转速度v＝
空间站在轨道Ⅰ运行的加速度大于g
载人飞船若要进入轨道Ⅰ，需要在A点加速
空间站在圆轨道Ⅰ上运行的周期大于载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期
题组二　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
4.(多选)同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是(　　)
＝ ＝
＝ ＝
5.2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，于17时42分，成功对接于天和核心舱。已知地球半径约6 400 km，中国空间站距地面约400 km，同步卫星轨道距地面的高度约为36 000 km。则以下有关说法正确的是(　　)
空间站中的宇航员不受地球引力
空间站运行的线速度大于地球第一宇宙速度
地球赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
空间站的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
6.(多选)(2024·山西太原高一期末)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的低空圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空圆轨道探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是(　　)
a的向心加速度大于b的向心加速度
b的运行周期小于c的运行周期
d的角速度最小
四颗卫星的速度大小关系是va>vb>vc>vd
题组三　双星及三星模型
7.某双星系统是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。假设该系统中两恒星甲、乙的质量分别为m1、m2，两恒星相互绕行的周期为T，引力常量为G。忽略尘埃盘对双星引力的影响，忽略恒星的自转，且恒星的半径远小于两恒星之间的距离。下列说法正确的是(　　)
恒星甲、乙绕行的轨道半径之比为m1∶m2
恒星甲、乙绕行的加速度大小之比为m1∶m2
恒星甲、乙绕行的角速度大小之比为m1∶m2
两恒星之间的距离为
8.如图所示，三颗质量均为M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
它们运行的轨道半径为L
它们运行的速度大小为
综合提升练
9.(多选)(2024·山东济南高一期末)2024年4月25日20时58分，搭载神舟十八号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。如图为神舟十八号发射和与空间站交会对接过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆转移轨道，Ⅲ为空间站所在圆轨道，飞船在三个轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，P、Q分别为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的交会点。根据上述信息，下列说法正确的是(　　)
飞船在三个轨道上运行周期的大小关系为T1飞船从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ时需要在Q点加速
飞船在轨道Ⅱ上从P点运行到Q点的过程机械能逐渐减小
飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能小于在轨道Ⅲ上运行时的机械能
培优加强练
10.(10分)(2024·陕西渭南高一期末)2022年4月16日，圆满完成任务的三名中国航天英雄乘坐神舟十三号飞船从空间站顺利返回地面，刷新中国载人航天器最快返回的记录，实现了中国航天的又一项重大技术突破。如图所示，某颗卫星的返回回收过程可简化如下：轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似看作等于地球半径，轨道2是位于与轨道1同一平面内的中地圆轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。已知地球半径为R，卫星在轨道1上运行时的加速度大小为a，忽略其他星体对该卫星的作用力，试求：
(1)(5分)该卫星在轨道2上运行的速度；
(2)(5分)该卫星在转移轨道上从轨道2上的A点运行至轨道1上的B点(A、B与地心在同一直线上)所需的最短时间。
培优提升十　万有引力的三个热点问题
1.D　[对接前“天舟四号”与“空间站组合体”两者在同一轨道上运动，由G＝m＝ma得v＝，a＝G，同一轨道，运行速率，向心加速度相等，A、B错误；“天舟四号”与“空间站组合体”在同一轨道上，此时“天舟四号”受到的万有引力提供向心力，若让“天舟四号”加速，所需要的向心力变大，万有引力不变，所以“天舟四号”做离心运动，不能实现对接，C错误；“天舟四号”与“空间站组合体”在同一轨道上，“天舟四号”先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确。]
2.B　[航天员在核心舱中处于失重状态，但航天员仍受地球引力作用，故A错误；若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处时，根据＝ma得a＝，可知两者在切点处的加速度相同，故B正确；若两者原来在同一圆轨道上，若神舟十七号沿切向喷气加速，则万有引力不足以提供向心力，神舟十七号将做离心运动，不可能追上核心舱，故C错误；设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的速度将减小，则万有引力大于所需的向心力，核心舱的轨道高度将缓慢降低，故D错误。]
3.ACD　[由圆周运动规律可求出空间站运转速度v＝，A正确；设地球半径为R，在地球表面G＝mg，空间站在轨道Ⅰ运行时G＝ma，可知，空间站在轨道Ⅰ运行的加速度小于g，B错误；载人飞船若要进入轨道Ⅰ，需要在A点加速，C正确；由开普勒第三定律可知空间站在圆轨道Ⅰ上运行的周期大于载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期，D正确。]
4.AD　[以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星。对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G＝m，故＝，对于同步卫星和地球赤道上的物体，角速度相等，根据an＝ω2r，有＝。故A、D正确。]
5.C　[空间站中的宇航员受地球的引力，故A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，空间站线速度小于地球第一宇宙速度，故B错误；赤道上物体与同步卫星角速度相同，由a＝ω2r可知地球赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，故C正确；根据G＝ma知空间站的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D错误。]
6.BC　[根据题意，a、c具有相同的周期、相同的角速度，根据a＝rω2得aaωc＝ωa>ωd，故C正确；根据G＝m得v＝，所以vb>vc>vd，根据v＝ωr知vc>va，故D错误。]
7.D　[设恒星甲、乙绕行的轨道半径分别为r1、r2，根据G＝m1r1＝m2r2得r1∶r2＝m2∶m1，故A错误；根据G＝m1a1＝m2a2得a1∶a2＝m2∶m1，故B错误；两恒星绕行的周期相同，由ω＝得ω1∶ω2＝1∶1，故C错误；两恒星之间的距离L＝r1＋r2，联立解得L＝，故D正确。]
8.B　[根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F1＝，方向沿着它们的连线，其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F＝2F1cos 30°＝，方向指向圆心O，A错误，B正确；由rcos 30°＝，解得它们运行的轨道半径r＝L，C错误；由＝M，可得v＝，D错误。]
9.ABD　[由题知，轨道Ⅰ半径小于轨道Ⅱ半长轴，轨道Ⅲ半径最大，根据开普勒第三定律＝k，知T110.(1)　(2)2π
解析　(1)在轨道2上，根据万有引力提供向心力，有
G＝m
在轨道1上，根据牛顿第二定律得G＝ma
联立解得v＝。
(2)转移轨道是椭圆轨道，其长轴2r＝R＋3R＝4R
卫星在轨道2上的周期T2满足
G＝meq \f(4π2,T)·3R
设卫星在转移轨道的周期为T，由开普勒第三定律可得＝eq \f(（3R）3,T)
卫星在转移轨道的最短时间tmin＝T
联立解得tmin＝2π。培优提升十　万有引力的三个热点问题
学习目标　1.掌握卫星常见的三种变轨问题。2.会比较同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动参量。
3.理解双星、三星运动模型。
提升1　卫星变轨问题
1.变轨问题概述
2.变轨问题分析
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。
(4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律＝k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期。图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。
角度1　发射变轨问题
例1 2022年1月22日，我国实践21号卫星(SJ－21)将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道”上。拖拽时，航天器先在P点加速进入转移轨道，而后在Q点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器(　　)
A.在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期
B.在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度
C.在转移轨道上经过Q点的速度大于在墓地轨道上经过Q点的速度
D.在同步轨道上经过P点的加速度大于在转移轨道上经过P点的加速度
训练1 (多选)2021年2月5日，天问一号火星探测器顺利完成地火转移段第四次轨道中途修正，以确保按计划实施火星捕获。如图所示，其过程简化为探测器先进入绕火星圆轨道Ⅰ，经过与其相切的绕火星椭圆轨道Ⅱ再转移到绕火星圆轨道Ⅲ，A、B分别为椭圆轨道Ⅱ上的近火点和远火点。探测器在变轨过程中质量视为不变。则下列说法正确的是(　　)
A.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B.探测器在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
C.探测器在轨道Ⅱ上B点的加速度小于在轨道Ⅰ上B点的加速度
D.探测器在轨道Ⅱ上A点时的速率大于在轨道Ⅲ上A点时的速率
角度2　对接变轨问题
例2 2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入天和核心舱。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十五号飞船(　　)
A.由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点减速
B.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1
C.在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D.在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度
提升2　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
1.近地卫星
近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，其线速度大小为v1＝7.9 km/s，角速度、向心加速度最大，周期最小。
2.地球同步卫星
(1)“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期。
(2)特点
①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h。
②定点：相对地面静止且在赤道上的某点的正上方。
③定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东。
3.近地卫星、同步卫星、赤道上随地球自转的物体的比较
(1)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。
(2)向心加速度：由G＝ma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a＝rω2＝r知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a近＞a同＞a物。
例3 (2024·福建福州高一期末)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)
A.b卫星的运行速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝TcD.a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力
训练2 如图所示，卫星A是2022年8月20日我国成功发射的遥感三十五号04组卫星，卫星B是地球同步卫星，若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，已知地球周期为24 h，下列说法正确的是(　　)
A.卫星A、B、P的速度大小关系为vP>vA>vB
B.要将卫星A转移到卫星B的轨道上需要对卫星A进行减速
C.卫星B在12 h内转过的圆心角是π
D.卫星B的向心加速度大小小于卫星P随地球自转的向心加速度大小
提升3　双星及三星模型
1.双星模型
(1)定义：
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称为双星系统，如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1r1ω，＝m2r2ω。
②两颗星的周期、角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③轨道半径与双星距离的关系为r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度大小成正比，即＝。
2.三星模型
三星系统存在着两种基本的构成形式
(1)三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R1的圆轨道上运动。
(2)三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动，如图甲和图乙所示(设每颗星体的质量均为m)。
①图甲中，B、C对A的万有引力的合力提供A做圆周运动的向心力，则有eq \f(Gm2,R)＋＝mR1。
②图乙中，B、C对A的万有引力的合力提供A做圆周运动的向心力，则有cos 30°＋cos 30°＝mR2，其中r＝2R2cos 30°。
角度1　双星模型
例4 (多选)我国某科研团队在距离地球约300光年到1万光年的地方，发现了罕见的“雾绕双星”，其电脑模拟图如图甲所示。假设某“双星”系统示意图如图乙所示，两恒星A、B以连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动，两恒星A、B间的距离保持不变。已知恒星A、B的质量分别为m1、m2，恒星A、B到O点的距离分别为r1、r2，两恒星均可看成质点，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.＝
B.恒星A转动的角速度为
C.恒星B转动的周期为2π(r1＋r2)
D.恒星A的向心加速度大小为eq \f(Gm2,r)
角度2　三星模型
例5 (多选)(2024·福建泉州高一期末)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.此三星系统的运动周期为T＝4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D.三角形三星系统的线速度大小为
随堂对点自测
1.(变轨问题)中国自行研制、具有完全知识产权的神舟飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点通过变轨进入预定圆轨道，如图所示。则(　　)
A.飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道
B.在B点变轨进入预定圆轨道后，飞船的机械能比在椭圆轨道上的小
C.在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的小
D.在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小
2.(近地卫星与同步卫星的比较)(多选)已知我国某颗量子通信卫星的轨道距地面高度约为500 km，该高度低于地球同步卫星轨道距地面高度，该量子通信卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动，则该量子通信卫星绕地球运行的(　　)
A.周期比地球同步卫星的运行周期长
B.周期比地球同步卫星的运行周期短
C.线速度比地球同步卫星的线速度大
D.线速度比地球同步卫星的线速度小
3.(双星问题)科学家发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的(　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B.线速度小于红矮星的线速度
C.轨道半径大于红矮星的轨道半径
D.向心力大小约为红矮星的2倍
培优提升十　万有引力的三个热点问题
提升1
例1 A　[根据开普勒第三定律可知，在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期，故A正确；根据G＝mω2r得ω＝，由于同步轨道的半径小于墓地轨道的半径，则在同步轨道上运动的角速度大于在墓地轨道上运动的角速度，故B错误；航天器在Q点经过加速才能进入墓地轨道，所以在转移轨道上经过Q点的速度小于在墓地轨道上经过Q点的速度，故C错误；根据牛顿第二定律可知a＝G，由于G、M、r都相等，所以在同步轨道上经过P点的加速度等于在转移轨道上经过P点的加速度，故D错误。]
训练1 AD　[探测器在圆轨道Ⅰ上的B点需点火减速才能进入椭圆轨道Ⅱ，此时发动机推力做负功，探测器的机械能减小，即探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，故A正确；根据开普勒第三定律＝k可知，轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，故探测器在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅰ上的运行周期，故B错误；B点到火星球心的距离r一定，由a＝G可知，探测器在轨道Ⅱ上B点的加速度等于在轨道Ⅰ上B点的加速度，故C错误；探测器在椭圆轨道Ⅱ近火点A需减速才能进入圆轨道Ⅲ，故探测器在轨道Ⅱ上A点时的速率大于在轨道Ⅲ上A点时的速率，故D正确。]
例2 D　[由低轨道Ⅱ进入高轨道Ⅲ需在B点点火加速，则在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故A错误，D正确；根据开普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2)))\s\up12(3),T)，可得沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1，故B错误；根据＝ma得a＝，由于M、r都相同，则在轨道Ⅰ上A点的加速度等于在轨道Ⅱ上A点的加速度，故C错误。]
提升2
例3 B　[第一宇宙速度是最大的运行速度，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，b卫星转动线速度等于7.9 km/s，故A错误；由题可知a、c具有相同的角速度，根据a＝rω2知，由于rc>ra，所以ac>aa，对于b、c有G＝ma，得a＝，由rc>rb可知ab>ac，综上得 ab>ac>aa，故B正确；由题知Ta＝Tc，对于b、c由G＝mr，得T＝2π，由rc>rb可知Tc>Tb，综上得Ta＝Tc>Tb，故C错误；a物体与地球的万有引力一部分提供给a物体随地球自转的向心力，一部分为物体的重力，故D错误。]
训练2 C　[对于卫星A、B，根据G＝m得v＝，由图可知rAvB，对于卫星P、B，由v＝rω可知ω相等时，vB>vP，则卫星A、B、P的速度大小关系为vA>vB>vP，故A错误；要将卫星A转移到卫星B的轨道上，须先在近地圆轨道加速做离心运动，进入椭圆轨道，使椭圆轨道的远地点在地球同步轨道上，当卫星运行到远地点时，再加速进入地球同步轨道，故要将卫星A转移到卫星B的轨道上至少需要对卫星A进行两次加速，故B错误；地球同步卫星B在12 h内转动的圆心角为θ＝2π×＝π，故C正确；卫星B和卫星P同轴转动，角速度相等，根据a＝ω2r可知，卫星B的向心加速度大小大于卫星P随地球自转的向心加速度大小，故D错误。]
提升3
例4 AC　[两星绕同一点转动，则角速度相同，根据G＝m1ω2r1＝m2ω2r2得＝，恒星A转动的角速度为ω＝，A正确，B错误；恒星B转动的周期为T＝＝2π(r1＋r2)，C正确；恒星A的向心加速度大小为a＝ω2r1＝，D错误。]
例5 BC　[直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v＝ωR知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；万有引力提供向心力，则G＋G＝MR，得T＝4πR，故B正确；两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三星系统中任意星体所受合力为F＝2cos 30°G＝G，则F＝Mr，轨道半径r与边长L的关系为L＝r，解得L＝R，故C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝，得v＝·，故D错误。]
随堂对点自测
1.A　[从椭圆轨道进入预定圆轨道是由低轨道到高轨道，需要在切点位置加速，可知飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道，故A正确；从椭圆轨道进入预定圆轨道是由低轨道到高轨道，需要在切点B位置加速，可知在B点变轨后，飞船的机械能比在椭圆轨道上的大，故B错误；根据G＝ma得a＝G，飞船在A点距离地心的间距小于B点距离地心的间距，则飞船在A点的加速度比B点的大，故C错误；在椭圆轨道上从A运行至B过程，万有引力做负功，飞船的动能减小，则飞船的速度减小，可知在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的大，故D错误。]
2.BC　[根据万有引力提供向心力，有G＝mr得T＝，因为量子通信卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以量子通信卫星的周期比同步卫星的周期短，故A错误，B正确；由G＝m得v＝，量子通信卫星的线速度比地球同步卫星的线速度大，故C正确，D错误。]
3.B　[双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；根据＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得＝，即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，C错误；根据v＝ωr知，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，B正确；双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，D错误。](共56张PPT)
培优提升十　万有引力的三个热点问题
第4章　万有引力定律及航天
1.掌握卫星常见的三种变轨问题。
2.会比较同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动参量。
3.理解双星、三星运动模型。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
提升1　卫星变轨问题
提升3　双星及三星模型
提升1　卫星变轨问题
1.变轨问题概述
2.变轨问题分析
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中
vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
角度1　发射变轨问题
例1 2022年1月22日，我国实践21号卫星(SJ－21)将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道”上。拖拽时，航天器先在P点加速进入转移轨道，而后在Q点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器(　　)
A.在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期
B.在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度
C.在转移轨道上经过Q点的速度大于在墓地轨道上经过Q点的速度
D.在同步轨道上经过P点的加速度大于在转移轨道上经过P点的加速度
A
AD
训练1 (多选)2021年2月5日，天问一号火星探测器顺利完成地火转移段第四次轨道中途修正，以确保按计划实施火星捕获。如图所示，其过程简化为探测器先进入绕火星圆轨道Ⅰ，经过与其相切的绕火星椭圆轨道Ⅱ再转移到绕火星圆轨道Ⅲ，A、B分别为椭圆轨道Ⅱ上的近火点和远火点。探测器在变轨过程中质量视为不变。则下列说法正确的是(　　)
A.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B.探测器在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
C.探测器在轨道Ⅱ上B点的加速度小于在轨道Ⅰ上B点的加速度
D.探测器在轨道Ⅱ上A点时的速率大于在轨道Ⅲ上A点时的速率
D
角度2　对接变轨问题
例2 2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入天和核心舱。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十五号飞船(　　)
提升2　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
1.近地卫星
近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，其线速度大小为v1＝7.9 km/s，角速度、向心加速度最大，周期最小。
2.地球同步卫星
(1)“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期。
(2)特点
①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h。
②定点：相对地面静止且在赤道上的某点的正上方。
③定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东。
例3 (2024·福建福州高一期末)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)
A.b卫星的运行速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝TcD.a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力
B
训练2 如图所示，卫星A是2022年8月20日我国成功发射的遥感三十五号04组卫星，卫星B是地球同步卫星，若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，已知地球周期为24 h，下列说法正确的是(　　)
A.卫星A、B、P的速度大小关系为vP>vA>vB
B.要将卫星A转移到卫星B的轨道上需要对卫星A进行减速
C.卫星B在12 h内转过的圆心角是π
D.卫星B的向心加速度大小小于卫星P随地球自转的向心加速度大小
C
提升3　双星及三星模型
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称为双星系统，如图所示。
2.三星模型
三星系统存在着两种基本的构成形式
(1)三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R1的圆轨道上运动。
(2)三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动，如图甲和图乙所示(设每颗星体的质量均为m)。
角度1　双星模型
例4 (多选)我国某科研团队在距离地球约300光年到1万光年的地方，发现了罕见的“雾绕双星”，其电脑模拟图如图甲所示。假设某“双星”系统示意图如图乙所示，两恒星A、B以连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动，两恒星A、B间的距离保持不变。已知恒星A、B的质量分别为m1、m2，恒星A、B到O点的距离分别为r1、r2，两恒星均可看成质点，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
AC
角度2　三星模型
例5 (多选)(2024·福建泉州高一期末)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
BC
随堂对点自测
2
A
1.(变轨问题)中国自行研制、具有完全知识产权的神舟飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点通过变轨进入预定圆轨道，如图所示。则(　　)
A.飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道
B.在B点变轨进入预定圆轨道后，飞船的机械能比在椭圆轨道上的小
C.在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的小
D.在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小
BC
2.(近地卫星与同步卫星的比较)(多选)已知我国某颗量子通信卫星的轨道距地面高度约为500 km，该高度低于地球同步卫星轨道距地面高度，该量子通信卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动，则该量子通信卫星绕地球运行的(　　)
A.周期比地球同步卫星的运行周期长
B.周期比地球同步卫星的运行周期短
C.线速度比地球同步卫星的线速度大
D.线速度比地球同步卫星的线速度小
B
3.(双星问题)科学家发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的(　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B.线速度小于红矮星的线速度
C.轨道半径大于红矮星的轨道半径
D.向心力大小约为红矮星的2倍
课后巩固训练
3
D
题组一　卫星变轨问题
1.北京时间2022年5月10日01时56分，搭载“天舟四号”货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，2时23分，飞船太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，“天舟四号”货运飞船将与在轨运行的“空间站组合体”进行交会对接，若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是(　　)
对点题组练
A.对接前“天舟四号”的运行速率大于“空间站组合体”
的运行速率
B.对接前“天舟四号”的向心加速度小于“空间站组合体”
的向心加速度
C.“天舟四号”通过加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
D.“天舟四号”先减速后加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
B
2.2023年10月26日，神舟十七号与天和核心舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相切，下面说法正确的是(　　)
A.航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
B.若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
C.若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿切向喷气加速追上核心舱
D.设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
ACD
3.(多选)飞船的某段运动可近似为如图所示的情境，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，设圆形轨道Ⅰ的半径为r，空间站运转周期为T。椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　)
AD
题组二　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
4.(多选)同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是(　　)
C
5.2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，于17时42分，成功对接于天和核心舱。已知地球半径约6 400 km，中国空间站距地面约400 km，同步卫星轨道距地面的高度约为36 000 km。则以下有关说法正确的是(　　)
A.空间站中的宇航员不受地球引力
B.空间站运行的线速度大于地球第一宇宙速度
C.地球赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
D.空间站的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
BC
6.(多选)(2024·山西太原高一期末)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的低空圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空圆轨道探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是(　　)
A.a的向心加速度大于b的向心加速度
B.b的运行周期小于c的运行周期
C.d的角速度最小
D.四颗卫星的速度大小关系是va>vb>vc>vd
D
B
8.如图所示，三颗质量均为M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
ABD
9.(多选)(2024·山东济南高一期末)2024年4月25日20时58分，搭载神舟十八号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。如图为神舟十八号发射和与空间站交会对接过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆转移轨道，Ⅲ为空间站所在圆轨道，飞船在三个轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，P、Q分别为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的交会点。根据上述信息，下列说法正确的是(　 　)
综合提升练
A.飞船在三个轨道上运行周期的大小关系为T1B.飞船从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ时需要在Q点加速
C.飞船在轨道Ⅱ上从P点运行到Q点的过程机械能逐渐减小
D.飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能小于在轨道Ⅲ上运行时的机械能
培优加强练
10.(2024·陕西渭南高一期末)2022年4月16日，圆满完成任务的三名中国航天英雄乘坐神舟十三号飞船从空间站顺利返回地面，刷新中国载人航天器最快返回的记录，实现了中国航天的又一项重大技术突破。如图所示，某颗卫星的返回回收过程可简化如下：轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似看作等于地球半径，轨道2是位于与轨道1同一平面内的中地圆轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。已知地球半径为R，卫星在轨道1上运行时的加速度大小为a，忽略其他星体对该卫星的作用力，试求：
(1)该卫星在轨道2上运行的速度；
(2)该卫星在转移轨道上从轨道2上的A点运行至轨道1上的B点(A、B与地心在同一直线上)所需的最短时间。
(2)转移轨道是椭圆轨道，其长轴2r＝R＋3R＝4R

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