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2024-2025学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中的角是圆心角的是( )
A. B.
C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为2，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是( )
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法判断
4.用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是( )
A.
B.
C.
D. 无法确定，的大小
5.如图，在中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是( )
A. 1
B.
C.
D. 4
6.把二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )
A. B.
C. D.
7.如图，AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、若，，则BD的长是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤为一切实数，其中说法正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如图，的两条弦AB，CD相交于点M，若，则______.
10.如图，在扇形AOB中，，，则的长为______.
11.如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则的度数为______.
12.如图，矩形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过AD边的中点E和点C，若，，则k的值为______.
13.如图，在中，，，，的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作的一条切线点C为切点，则线段PC长的最小值为______.
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题5分
计算：
15.本小题5分
解不等式组：
16.本小题5分
计算：
17.本小题5分
如图，已知作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由
18.本小题5分
如图，在中，，，，求AB的长.
19.本小题5分
如图，在四边形ABCD中，AC平分，，
证明：∽；
已知，，求CD的长.
20.本小题6分
雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得；然后雯雯向前移动到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得，已知图中的所有点均在同一平面内，，，，雯雯的身高请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度
21.本小题7分
三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是，，
的值为当时，求P的值；
将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①、②、③，摆成如图所示的一个式子，请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率.
22.本小题6分
如图，已知：AB是的直径，弦于点E，G是上的一点，AG、DC的延长线交于点若，的度数为，求的度数.
23.本小题6分
《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地.九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙墙的最大可用长度为15米，现用长为34米的篱笆篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分，围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践.设垂直于墙的篱笆边AB长为x米.
求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米；
求垂直于墙的篱笆边AB长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？
24.本小题8分
如图，在四边形ABCD中，AO平分点O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作与BC相切于点B，BO延长线交于点E，交AD于点F，连接AE，
求证：CD是的切线；
若，求AF的长.
25.本小题8分
如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点
求该二次函数的解析式；
点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
26.本小题10分
【问题情境】点A是外一点，点P是上一动点.若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为______；
【直接运用】如图2，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；
【灵活运用】如图3，的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，，交直线CB于点M，求面积的最大值.
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.C
6.C
7.C
8.B
9.
10.
11.
12.8
13.
14解：

15.解：解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：
16.解：原式，
，

17.解：
圆O就是所求作的圆．
18.解：如图所示，过点C作于D，
在中，，，，
，，
在中，，，
，
，

19.证明：平分，
，
，
，
∽；
解：，，
，
，
，
，

20.解：由题意知，，，，，
，
，，，
∽，∽，
，，
，即，
解得，
，
解得
即该校旗杆的高度AB为
21.解：，，，
，，
当时，；
由得，结果不是常数，同理，结果不是常数；
，
的结果不为常数，
同理，结果不为常数；
，
的结果为常数，
同理可得的结果为常数；
画树状图如下：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中运算结果为常数的有2种，
运算结果为常数的概率
22.解：如图，连接OG，
的度数为，
，
，
，
，

23.解：篱笆的总长为34米，设垂直于墙的篱笆边AB长为x米，
则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当时，围成的菜地面积为81平方米；
设围成菜地的面积为S平方米，
墙的最大可用长度为15米，
，即，
解得，
根据题意得：，
，
当时，S有最大值，最大值为108，
垂直于墙的篱笆边AB长为6米时，围成菜地的面积最大，最大面积是108平方米．
24.证明：连接OD，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
≌，
，
与BC相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
解：，，
垂直平分AD，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，

25.解：已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似；理由如下：
设直线AC解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
直线AC解析式为；
设点P坐标为，
轴，
点Q的坐标为，
；
当∽时；
如图，连接PC，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，舍去，
此时；
当∽时，
则，，
则有，
；
过点C作于E，则，
，
，
解得：，舍去，
此时；
综上所述，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点或
26.解：如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．
点P是上一动点，的半径为2，，
，
点P到点A的最长距离为
如图2，连接OA，交半圆于点，连接
，BC为半圆的直径，
，
，
，
当点P在OA上时，AP最短，最小值为
如图3，连接OA，OB，过点O作于点
，，
，
，
，
，
，
如图3，作的外接，
要使最大，则点M到AB的距离最大，
延长OR交于点H，
，，
直线OR是线段AB得垂直平分线，
则点K一定在直线OR上，
连接AK，BK，AH，BH，
，
是等边三角形，
，
，
点H到AB的距离为，
，
面积的最大值为

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