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第7.2节　万有引力定律
学习目标　
1.知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。
2.理解万有引力定律的推导过程。
3.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
4.了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
知识点一　行星与太阳间的引力
如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否遵从同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。
1.太阳对行星的引力
(1)建立模型
①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。
②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，模型如图所示。
(2)太阳对行星引力的推导
设行星的质量为m，速度为v，公转周期为T，行星与太阳间的距离为r。则
(3)结论
太阳对行星的引力F与行星的质量m成 ，与r2成 ，即F∝。
2.行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳的引力也应与 成 ，与r2成 ，即F′∝。
3.太阳与行星间的引力
(1)推导
F∝
(2)太阳与行星间的引力关系：F＝ 。
例1 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是(　　)
A.由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶m太
B.太阳的质量大于行星的质量，所以F>F′
C.F和F′是一对平衡力，大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
训练1 把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，则可推得(　　)
A.行星受太阳的引力为F＝k
B.行星受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力为F＝
D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大
训练2 由开普勒第三定律可知，所有行星围绕太阳做椭圆运动的半长轴a的三次方与公转周期T的二次方的比值都相等，可表示为学知识可得的值应为。已知太阳的质量为M，万有引力常量为G，根据所学知识可得k的值为（　　）
A． B． C． D．
知识点二　月—地检验
秋天苹果成熟后会从树上落下来；月球绕着地球在公转。
(1)苹果从树上脱落后，为什么落向地面而不是飞上天空？月球为什么能够绕地球转动？
(2)苹果和地球之间的作用与月球和地球之间的作用性质相同吗？如何证明？
1.检验目的：地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为 的力。
2.检验方法
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝ 。
(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝ ＝ 式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝ ＝ 式中m地是地球的质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(4)＝ ，由于r≈60R，所以＝ 。
3.检验结论：已知自由落体加速度g为9.8 m/s2，即a苹＝ ；月、地中心距离r＝3.8×108 m，月球公转周期为27.3 d，约2.36×106 s，即a月＝2.69×10－3 m/s2，则＝，可知计算结果与预期符合得很好。
这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。
例2 (2024·河北石家庄二中高一检测)通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是(　　)
A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验
B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验
C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
训练1某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB，假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rA的最大值与rB的最小值之比为2：1
C．rB的最小值与rA的最小值之比为3：2
D．卫星A与卫星B的质量之比为8：9
训练2 （多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　）
A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T
知识点三　万有引力定律　引力常量
月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？通过以下实例分析。
(1)如图所示，假若小明与同桌小兵的质量均为60 kg，相距0.5 m。粗略计算他们间的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是小明和同桌小兵之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 ，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比，与它们之间距离r的 成反比。
2.表达式：F＝G。
3.引力常量
由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G＝ N·m2/kg2。
4.对万有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。
【思考】
1.有人说：根据F＝G可得当r趋近于零时，万有引力将趋于无穷大，这种说法对吗？
2.如图所示，卡文迪什扭秤实验是世界史上最美的十个物理实验之一，你觉得测定G值有什么意义？
角度1　万有引力定律的理解
例3 关于万有引力和万有引力定律理解正确的有(　　)
A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用
B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
1.万有引力定律公式的适用条件的理解
(1)两质点间的相互作用。当物体间的距离r趋于零时，两个物体不能被看作质点，其引力不能由万有引力公式求解。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，式中r是两个球体球心间的距离。
2.两个物体之间的万有引力是一对相互作用力　　　　
训练1 下列关于物理学发展历史的说法正确的是（　　）
A．“笔尖下发现的行星—海王星”的发现者是伽利略
B．卡文迪什利用扭秤实验比较准确地测算出了引力常量G的值
C．开普勒分析卡文迪什的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律
D．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，并发现行星沿椭圆轨道运行的规律
训练2 下列说法正确的是（　　）
A．伽利略提出了行星运动的三大定律
B．牛顿最先在实验室里比较准确地测出了万有引力常量的数值
C．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
D．地球绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值与水星绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等
角度2　万有引力的计算
例4 2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动。已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
训练1木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（　　）
A．300 B．318
C．400 D．360
训练2 要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　）
A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍
B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍
D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍
例5 (人教版教材P71复习与提高B组T3改编)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点A(引力常量为G)，求：
(1)被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力；
(2)剩余部分对质点A的万有引力。
训练1如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。
(1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小；
(2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。
训练2 设地球的质量均匀分布，地球半径为。现在距离地面处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，加速度大小说法正确的是（　　）
一直变大 B．先变大后不变 C．先变大后变小 D．先不变后变小
填补法：大球体被挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球对质点产生的万有引力，此时我们采取割补法，将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整地大球对质点的万有引力，再减去挖掉的小球对质点的万有引力即可。　　　　
知识点四　万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)有人说，重力就是地球对物体的吸引力，对吗？
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn。设地球的质量为M，半径为R，如图所示。
(1)地球赤道上：Fn＝mω2R最大，此时重力最小，有G＝mg1＋mω2R。
(2)地球两极上：G＝mg0，重力达到最大值。
(3)地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。
(4)距离地面高度h处：G＝mg2。
结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。
例6 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
训练1地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（　　）
A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gB
B．vAgB
C．vA>vB，ωA＝ωB，gA>gB
D．vA>vB，ωA＝ωB，gA训练2 中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　）
A．该星球的自转角速度大小为
B．该星球的自转周期为
C．该星球位置的自转向心加速度大小为
D．该星球位置的自转向心加速度大小为
基础练习
1.(引力常量)物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是(　　)
A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
2.(万有引力定律的应用)地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为(　　)
A.R B.(－1)R
C.R D.3R
3.(万有引力与重力的关系)假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是(　　)
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
4.（多选）假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是（　　）
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增加
5.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。已知引力常量为G，求两球之间的引力大小。
对点题组练
题组一　行星与太阳间的引力、月—地检验
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的
C.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
2.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　)
A.30π B.30π
C.120π D.120π
题组二　万有引力定律及引力常量
3.(多选)(人教版教材P53科学漫步改编)在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是(　　)
A.开普勒总结出行星运动的三个规律，被誉为“天空立法者”
B.牛顿是经典物理学的奠基人，著有巨作《自然哲学的数学原理》，被誉为“经典物理学之父”
C.胡克最早提出了引力大小与距离平方成反比的猜想，是万有引力定律的提出者
D.卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量的值，被誉为“第一个称量地球的人”
4.如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为(　　)
A.G B.
C. D.
5.1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物体在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的(　　)
A.5倍 B.20倍
C.倍 D.倍
6.2020年12月，我国嫦娥五号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
题组三　万有引力与重力的关系
7.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为(　　)
A.(－1)R B.R
C.R D.2R
8.据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为(　　)
A. B.
C. D.
综合提升练
9.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
10.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同的纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
11.火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，那么：
(1)地球表面上质量为50 kg的航天员在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若航天员在地球表面能跳1.5 m高，那他以相同初速度在火星表面能跳多高？
12.中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　）
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为
13．2025年5月我国将发射“天问二号”探测器去近地小行星2016H03采样并返回。研究发现小行星2016HO3直径约为50m，密度与月球密度相同。已知月球的直径约为3500km，忽略星球的自转，则月球表面的重力加速度大小与小行星2016HO3表面的重力加速度大小之比约为（　　）
A． B．
C． D．
培优加强练
14.有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点，现在从球体中挖去一半径为的小球体(如图所示)，然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，已知万有引力常量为G，则填充后的实心球体对质点的万有引力大小为(　　)
A. B.
C. D.
15.天问系列（Tianwen）是中国行星探测任务名称。该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着。若人类未来探测到两个半径均为R、质量分布均匀的星球A、B，密度之比为1∶4。可认为两个星球均为独立星球，不受其他星球作用力，忽略星球自转。
（1）若分别在A、B星球发射一颗贴近星球表面运行的卫星，求两个卫星的周期之比；
（2）若宇航员分别站在A、B星球表面从同一高度以相同的初速度水平抛出一可视为质点的物体，求两个物体水平位移之比。
16．有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求：
(1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值；
(2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小；
(3)列车在运动中的最大速度的大小。
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第7.2节　万有引力定律
学习目标　
1.知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。
2.理解万有引力定律的推导过程。
3.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
4.了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
知识点一　行星与太阳间的引力
如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否遵从同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。
提示　行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动遵从同样的动力学规律，合力提供向心力，即F合＝m＝mω2r＝mr，行星做匀速圆周运动所需要的向心力由太阳对它的引力提供。
1.太阳对行星的引力
(1)建立模型
①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。
②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，模型如图所示。
(2)太阳对行星引力的推导
设行星的质量为m，速度为v，公转周期为T，行星与太阳间的距离为r。则
(3)结论
太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与r2成反比，即F∝。
2.行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，与r2成反比，即F′∝。
3.太阳与行星间的引力
(1)推导
F∝
(2)太阳与行星间的引力关系：F＝G。
例1 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是(　　)
A.由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶m太
B.太阳的质量大于行星的质量，所以F>F′
C.F和F′是一对平衡力，大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案　D
解析　根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，故A、B错误；太阳对行星的引力的受力物体是行星，行星对太阳的引力的受力物体是太阳，故两个力不是平衡力，故C错误；行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力，故D正确。
训练1 把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，则可推得(　　)
A.行星受太阳的引力为F＝k
B.行星受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力为F＝
D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大
答案　C
解析　太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，则F＝m，又v＝，结合T2＝，可得F＝，故A错误，C正确；由上式可看出F与m、r有关，行星的质量越大，受到太阳的引力不一定越大，故B、D错误。
训练2 由开普勒第三定律可知，所有行星围绕太阳做椭圆运动的半长轴a的三次方与公转周期T的二次方的比值都相等，可表示为学知识可得的值应为。已知太阳的质量为M，万有引力常量为G，根据所学知识可得k的值为（　　）
A． B． C． D．
答案　B
解析　将行星绕太阳看成做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
则中k的值为
故选B。
知识点二　月—地检验
秋天苹果成熟后会从树上落下来；月球绕着地球在公转。
(1)苹果从树上脱落后，为什么落向地面而不是飞上天空？月球为什么能够绕地球转动？
(2)苹果和地球之间的作用与月球和地球之间的作用性质相同吗？如何证明？
提示　(1)苹果受到地球的吸引作用使苹果落向地面；地球对月球的引力为月球做圆周运动提供向心力。
(2)地球对苹果的引力与地球对月球的引力性质相同，从而具有相同的表达形式；假设二者表达形式相同，则其加速度之比应与其距离二次方成反比，通过测量计算若二者加速度之比满足这种关系，从而得证。
1.检验目的：地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力。
2.检验方法
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝。
(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G(式中m地是地球的质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(4)＝，由于r≈60R，所以＝。
3.检验结论：已知自由落体加速度g为9.8 m/s2，即a苹＝9.8__m/s2；月、地中心距离r＝3.8×108 m，月球公转周期为27.3 d，约2.36×106 s，即a月＝2.69×10－3 m/s2，则＝，可知计算结果与预期符合得很好。
这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
例2 (2024·河北石家庄二中高一检测)通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是(　　)
A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验
B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验
C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
答案　D
解析　当时还没有测量出引力常量G，所以牛顿并没有计算出地球对月球的引力的数值和月球对月球表面物体的引力的数值，故A、B错误；根据题给信息无法求出月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的大小关系，故C错误；设地球质量为m地，地球半径为R，则月球轨道半径为60R，月球绕地球做圆周运动的加速度a＝G，地球表面重力加速度g＝，则＝，故D正确。
训练1某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB，假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rA的最大值与rB的最小值之比为2：1
C．rB的最小值与rA的最小值之比为3：2
D．卫星A与卫星B的质量之比为8：9
答案　C
解析　A．由题图可知，A、B的周期分别为
TA＝t1，TB＝2t2
结合
t2
可知B与A的绕行周期之比为
故A错误；
BC．由图可知，当A卫星离行星的距离rA最小时，卫星A受到的万有引力最大，有
当rA最大时，卫星A受到的万有引力最小，有
联立以上可得rA的最大值与rA的最小值之比为
由图可知，当rB最小时，卫星B受到的万有引力最大，有
当rB最大时，卫星B受到的万有引力最小，有
可得rB的最大值与rB的最小值之比为
再根据开普勒第三定律
有
解得
或或
对比三个选项，故B错误，C正确；
D．由题图可有：B受力最大时
A受力最小时
两式相除可得
故D错误。
故选C。
训练2 （多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　）
A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T
答案　AB
解析　A．根据开普勒第二定律，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，中继星与月球连线相同时间内扫过的面积相等，可知近月点速度大，远月点速度小，v1 > v2，故A正确；
B．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，所受合力为万有引力，设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式
在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，根据牛顿第二定律
得
在近月点的加速度大于远月点的加速度，即a1 > a2，故B正确；
C．设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式
中继星在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，F1 > F2，故C错误；
D．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，轨道关于长轴对称，从远月点到近月点的时间与从近月点到远月点的时间相等，t = 0.5T，故D错误。
故选AB。
知识点三　万有引力定律　引力常量
月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？通过以下实例分析。
(1)如图所示，假若小明与同桌小兵的质量均为60 kg，相距0.5 m。粗略计算他们间的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是小明和同桌小兵之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
提示　因为我们与周围物体间的引力很小，所以我们感觉不到。
(1)F引＝G＝6.67×10－11× N≈9.6×10－7 N≈1×10－6 N。
(2)芝麻的重力是小明和同桌小兵之间引力的40倍。
(3)两个人间的引力很小，所以当两个人靠近时，不会吸引到一起，故在进行受力分析时，一般不考虑两物体间的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式：F＝G。
3.引力常量
由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
4.对万有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。
【思考】
1.有人说：根据F＝G可得当r趋近于零时，万有引力将趋于无穷大，这种说法对吗？
提示　不正确。当r趋近于零时，两物体不可看作质点，万有引力定律表达式不再适用。
2.如图所示，卡文迪什扭秤实验是世界史上最美的十个物理实验之一，你觉得测定G值有什么意义？
提示　证明了万有引力定律的正确性；使万有引力定律有了真正的实用价值。
角度1　万有引力定律的理解
例3 关于万有引力和万有引力定律理解正确的有(　　)
A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用
B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
答案　D
解析　我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间万有引力很小，故A错误；两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B错误；两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力定律不再适用，万有引力并不是无穷大，故C错误；引力常量的大小首先是由卡文迪什用扭秤实验测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2，故D正确。
1.万有引力定律公式的适用条件的理解
(1)两质点间的相互作用。当物体间的距离r趋于零时，两个物体不能被看作质点，其引力不能由万有引力公式求解。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，式中r是两个球体球心间的距离。
2.两个物体之间的万有引力是一对相互作用力　　　　
训练1 下列关于物理学发展历史的说法正确的是（　　）
A．“笔尖下发现的行星—海王星”的发现者是伽利略
B．卡文迪什利用扭秤实验比较准确地测算出了引力常量G的值
C．开普勒分析卡文迪什的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律
D．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，并发现行星沿椭圆轨道运行的规律
答案　B
解析　A．“笔尖下发现的行星－海王星”的发现者是勒维耶和亚当斯，故A错误；
B．卡文迪什通过实验测出了引力常量，故B正确；
CD．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，开普勒分析第谷的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律，故CD错误；
故选B。
训练2 下列说法正确的是（　　）
A．伽利略提出了行星运动的三大定律
B．牛顿最先在实验室里比较准确地测出了万有引力常量的数值
C．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
D．地球绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值与水星绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等
答案　D
解析　A．开普勒通过对第谷的观测得到大量珍贵的行星运行的数据的研究，提出了开普勒行星运行三大定律，故A错误；
B．牛顿发现的万有引力定律，英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测出万有引力常量G，故B错误；
C．行星绕太阳运动时，太阳位于椭圆轨道的其中一个焦点上，故C错误；
D．地球和水星都是太阳的行星，绕太阳运动的所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期二次方的比值都相等，为开普勒第三定律的内容，故D正确。
故选D。
角度2　万有引力的计算
例4 2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动。已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
答案　A
解析　根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为F＝G，故A正确。
训练1木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（　　）
A．300 B．318
C．400 D．360
答案　B
解析　设物体的质量为m，地球质量为M，半径为R，木星的质量为，则木星的半径为11R，由万有引力公式可知：物体在木星表面受到的引力
物体在地球表面受到的引力
因为
所以
故选B。
训练2 要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　）
A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍
B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍
D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍
答案　D
解析　A．根据可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故A错误；
B．根据可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则两质点间的万有引力不变，故B错误；
C．根据可知，使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故C错误；
D．根据可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故D正确。
故选D。
例5 (人教版教材P71复习与提高B组T3改编)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点A(引力常量为G)，求：
(1)被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力；
(2)剩余部分对质点A的万有引力。
答案　(1)G　(2)G
解析　(1)被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力大小为F2＝G＝G。
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3、m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对质点A的万有引力大小为
F1＝G＝G
故剩余部分对质点A的万有引力大小为
F＝F1－F2＝G。
训练1如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。
(1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小；
(2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。
答案　(1)
(2)
解析　（1）物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，
方向沿指向
解得
（2）如图，假设物体N运动到了P、连线上的Q点
设、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力
小球对物体N引力
大球剩余部分的引力
所以物体N的加速度
物体N从P到达，有
解得
训练2 设地球的质量均匀分布，地球半径为。现在距离地面处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，加速度大小说法正确的是（　　）
A．一直变大 B．先变大后不变 C．先变大后变小 D．先不变后变小
答案　C
解析　设小物块到地面的高度为h，则其落到地面之前，有
可知，该过程加速度逐渐变大，根据质量均匀分布的球壳对球壳内任一位置处的物体的万有引力为零，可知小物体进入管道后
其中，r为小物块到地心的距离，可知该过程加速度变小。
故选C。
填补法：大球体被挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球对质点产生的万有引力，此时我们采取割补法，将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整地大球对质点的万有引力，再减去挖掉的小球对质点的万有引力即可。　　　　
知识点四　万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)有人说，重力就是地球对物体的吸引力，对吗？
提示　 (1)该人在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不对。重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的吸引力。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn。设地球的质量为M，半径为R，如图所示。
(1)地球赤道上：Fn＝mω2R最大，此时重力最小，有G＝mg1＋mω2R。
(2)地球两极上：G＝mg0，重力达到最大值。
(3)地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。
(4)距离地面高度h处：G＝mg2。
结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。
例6 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
答案　B
解析　设地球的质量为M，质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π，故B正确。
训练1地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（　　）
A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gB
B．vAgB
C．vA>vB，ωA＝ωB，gA>gB
D．vA>vB，ωA＝ωB，gA答案　D
解析　地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，有
根据可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则有
地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则
故选D。
训练2 中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　）
A．该星球的自转角速度大小为
B．该星球的自转周期为
C．该星球位置的自转向心加速度大小为
D．该星球位置的自转向心加速度大小为
答案　C
解析　A．在A处，根据万有引力等于重力有
在D处根据牛顿第二定律有
联立可得该星球的自转角速度大小为
A错误；
B．该星球的自转周期为
B错误；
C．由于与赤道夹角为，根据
可知M处的自转向心加速度为
C正确；
D．该星球D位置的自转向心加速度大小为
D错误。
故选C。
基础练习
1.(引力常量)物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是(　　)
A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
答案　D
解析　地面上普通物体间的引力太微小，这个力很难测量，故不易通过万有引力定律公式直接计算G，A正确；引力常量是一个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面上普通物体间的引力太微小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确。
2.(万有引力定律的应用)地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为(　　)
A.R B.(－1)R
C.R D.3R
答案　B
解析　设地球质量为M，物体在地球表面，根据万有引力定律有F＝，距地面h处有＝，解得h＝(－1)R，选项B正确。
3.(万有引力与重力的关系)假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是(　　)
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
答案　A
解析　地球的自转角速度增大，由Fn＝mω2R可知赤道地面上物体随地球自转所需的向心力增大。地球的质量和半径都没有变化，由F＝可知，放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变，A正确；在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物体的重力不变，B错误；根据赤道上万有引力是重力和向心力的合力，地球的自转速度增大时物体所需向心力增大，万有引力不变，重力将减小，C错误；根据自转周期T＝可知，自转角速度增大，则周期变小，即一昼夜的时间变小，故D错误。
4.（多选）假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是（　　）
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增加
答案　ABC
解析　A．地球自转速度增大，根据万有引力定律可知，物体受到的万有引力不变，故A正确；
BD．在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B正确，D错误；
C．而对于放在赤道地面上的物体
物体受到的万有引力不变，ω增大，G减小，故C正确。
故选ABC。
5.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。已知引力常量为G，求两球之间的引力大小。
答案　
解析　根据可知，挖去部分的小球是整个实心球质量的；即挖去部分的质量为
设没挖去前，对小球的引力为
而挖去部分对小球的引力为
则剩余部分的万有引力大小为
对点题组练
题组一　行星与太阳间的引力、月—地检验
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的
C.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
答案　AB
解析　公式F＝m中的是行星做圆周运动的加速度，这个关系式实际是牛顿第二定律，也是向心力公式，能通过实验验证，A正确；v＝是在匀速圆周运动中，一个周期过程中运动轨迹的弧长与相应时间的比值即线速度，B正确；开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，C、D错误。
2.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　)
A.30π B.30π
C.120π D.120π
答案　C
解析　设地球半径为R，由题意知，r＝60R。地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转，由万有引力提供向心力，有G＝m月r，联立解得T＝120π，故C正确。
题组二　万有引力定律及引力常量
3.(多选)(人教版教材P53科学漫步改编)在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是(　　)
A.开普勒总结出行星运动的三个规律，被誉为“天空立法者”
B.牛顿是经典物理学的奠基人，著有巨作《自然哲学的数学原理》，被誉为“经典物理学之父”
C.胡克最早提出了引力大小与距离平方成反比的猜想，是万有引力定律的提出者
D.卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量的值，被誉为“第一个称量地球的人”
答案　ABD
解析　德国杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒在丹麦天文学家第谷积累的大量天文观测记录基础上通过研究发现了行星运动的三大定律，首次对行星运动规律作出了准确的描述，被誉为“天空立法者”；牛顿的巨作《自然哲学的数学原理》，开辟了大科学时代，牛顿是最有影响的科学家，被誉为“经典物理学之父”；英国科学家胡克发现了胡克定律，提出了关于“太阳对行星的吸引力与行星到太阳的距离的平方成反比”的猜想，万有引力定律是牛顿首先提出来的；卡文迪什通过实验推算出来引力常量的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人，故A、B、D正确。
4.如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为(　　)
A.G B.
C. D.
答案　D
解析　两个匀质球体间的万有引力F＝G，r是两球心间的距离，即F＝G，选项D正确。
5.1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物体在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的(　　)
A.5倍 B.20倍
C.倍 D.倍
答案　A
解析　物体在地球表面受到地球的万有引力为F地＝，物体在月球表面受到月球的万有引力为F月＝＝·，联立可得＝5，故A正确。
6.2020年12月，我国嫦娥五号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
答案　D
解析　由万有引力定律得F＝G，可知探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C选项；而F与h不是一次函数关系，排除A选项。故D正确。
题组三　万有引力与重力的关系
7.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为(　　)
A.(－1)R B.R
C.R D.2R
答案　A
解析　设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，根据万有引力近似等于重力，则有＝mg，＝m，联立解得h＝(－1)R，选项A正确。
8.据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由mg＝G可知，g地＝G，g星＝G，则＝·＝，选项B正确。
综合提升练
9.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
答案　B
解析　在忽略星球自转的情况下，星球表面的重力与万有引力相同，而“玉兔”与“祝融”在悬停过程中，所受着陆平台的作用力大小等于其受到的万有引力大小，则有F玉＝G，F祝＝G，可知＝，故B正确。
10.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同的纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
答案　AC
解析　P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，则P的重力小于Q的重力，故D错误。
11.火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，那么：
(1)地球表面上质量为50 kg的航天员在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若航天员在地球表面能跳1.5 m高，那他以相同初速度在火星表面能跳多高？
答案　(1)222.2 N　(2)3.375 m
解析　(1)在地球表面有mg＝G，得g＝G
同理，在火星上表面有g′＝G
即g′＝＝＝g＝ m/s2
航天员在火星上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N。
(2)在地球表面航天员跳起的高度H＝
在火星表面航天员跳起的高度h＝
综上可知，h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
12.中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　）
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为
答案　B
解析　A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误；
B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确；
C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误；
D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。
故选B。
13．2025年5月我国将发射“天问二号”探测器去近地小行星2016H03采样并返回。研究发现小行星2016HO3直径约为50m，密度与月球密度相同。已知月球的直径约为3500km，忽略星球的自转，则月球表面的重力加速度大小与小行星2016HO3表面的重力加速度大小之比约为（　　）
A． B．
C． D．
答案　A
解析　忽略星球自转，则星球表面的物体所受重力等于万有引力，即
又
联立得
因小行星2016HO3的密度与月球密度相同，所以
故选A。
培优加强练
14.有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点，现在从球体中挖去一半径为的小球体(如图所示)，然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，已知万有引力常量为G，则填充后的实心球体对质点的万有引力大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设原来球体的密度为ρ，则ρ＝，在球体内部挖去半径为的小球体，挖去小球体的质量为m小＝ρπ＝。挖去小球体前，球与质点的万有引力F1＝＝，被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝，填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍，填充后的实心球体对质点的万有引力为F1－F2＋2F2＝，故A正确。
15.天问系列（Tianwen）是中国行星探测任务名称。该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着。若人类未来探测到两个半径均为R、质量分布均匀的星球A、B，密度之比为1∶4。可认为两个星球均为独立星球，不受其他星球作用力，忽略星球自转。
（1）若分别在A、B星球发射一颗贴近星球表面运行的卫星，求两个卫星的周期之比；
（2）若宇航员分别站在A、B星球表面从同一高度以相同的初速度水平抛出一可视为质点的物体，求两个物体水平位移之比。
答案　（1）2:1；（2）2:1
解析　（1）近地卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
又
得
绕A、B运行的卫星周期之比为
（2）在行星表面有
可得
可知行星A、B的表面重力加速度之比为
设平抛离地面高度为h，竖直方向为自由落体运动
设平抛水平方向初速度为，水平方向为匀速运动
得
可知两个物体平抛水平位移之比为
16．有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求：
(1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值；
(2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小；
(3)列车在运动中的最大速度的大小。
答案　(1)
(2)
(3)
解析　（1）设地球的质量为，则在地面附近时
设P点到地心的距离为r
则有
其中
代入可得
（2）设，则
结合上述分析可知，P点的重力加速度为
列车运动到P点加速度满足
解得
（3）列车在A点受到地球的引力为
列车在A点受到合力为
由几何关系可得
列车在隧道内距的距离时，AB方向的合力为
可知随均匀变化，列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有
其中
解得
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