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第7.6 节 培优提升　
应用万有引力定律解决“三个”热点问题
学习目标　
1.理解卫星发射、变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。
2.理解天体运动中的追及与相遇问题。
3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。
提升1　卫星的发射、变轨和对接
1.变轨运行分析
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
2.卫星的变轨发射问题
(1)卫星的发射过程
如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星发射至近地圆轨道1，当到达赤道上空时，第二、三级火箭在Q点点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，当到达远地点P时，卫星启动发动机，然后进入圆轨道3做圆周运动。
(2)变轨运行各量间的关系
卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与在轨道2上运动到Q点的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运行到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为卫星在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的。
3.对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接：如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站完成对接。
例1 (2024·北京市第十五中学南口学校期中)如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船(　　)
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大
C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝
G判断。　　　　
训练1 (2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
训练2据中国国家航天局探月与航天工程中心消息，中国探月工程四期嫦娥七号任务将实现在月球南极着陆，开展极区环境与资源勘查。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。则嫦娥七号（　　）
A．在地月转移轨道上运行的最大速度大于11.2km/s
B．在地月转移轨道上经过A点需要点火加速才能完成变轨
C．在轨道Ⅱ上经过B点时的速度比经过C点时的小
D．在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的小
提升2　卫星的追及与相遇
对于卫星的追及、相遇问题一般存在下列两种情况
(1)卫星对接，最常见的是由低轨道向高轨道运行的卫星对接。
(2)绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
①当两卫星在天体同侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。
例2 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同。在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
天体追及问题的解题技巧
处理天体追及问题时，首先判断谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍、相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍求解。　　　　
训练1 如图甲所示，A、B两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距Δr随时间t的变化图像，t＝0时刻A、B两颗卫星相距最近。已知卫星A的周期TA＝t0，则A、B两颗卫星运行轨道半径之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶7 D.1∶8
训练2我国北斗卫星导航系统（BDS）已经为全球提供定位、导航、授时、5G传输等服务。如题图所示，A、B为北斗系统中轨道在同一平面内，均沿顺时针方向绕行的两颗工作卫星。某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为、，A、B卫星的运行半径分别为r、2r。则两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为（　　）
A． B． C． D．
提升3　“双星”和“多星”模型
1.“双星”模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，
即G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。
(3)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。
(2)受力特点
圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供做圆周运动所需的向心力。
例3 (2024·天津南开高一期末) “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两星球做圆周运动的半径之比为m1∶m2
B.A、B两星球做圆周运动的角速度之比为m1∶m2
C.A星球的轨道半径r1＝L
D.双星运行的周期T＝2πL
分析双星问题时注意区分两星的轨道半径和两星之间的距离，万有引力提供向心力，万有引力中的距离为两星间距，向心力中的r为轨道半径。　　　　
训练1(多选) (2024·重庆市杨家坪中学高一期末)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(　　)
A.匀速圆周运动的半径为d
B.每个星球的质量为
C.每个星球表面的重力加速度大小为
D.每个星球的第一宇宙速度大小为
训练2科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是，两者相距，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，由以上条件可得该双星系统的角速度大小为。科学家通过光学仪器观测计算得到的角速度大小与角速度有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质。其模型简化为：在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为的暗物质，不考虑其他星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的角速度，则为（　　）
A．1∶1 B． C． D．1∶5
基础练习
1.(卫星的发射与变轨)(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥三号”的说法正确的是(　　)
A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)
C.在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大
D.“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
2.(卫星的对接)如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
3.(双星模型)(多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则(　　)
A.A的质量一定小于B的质量
B.A的线速度一定小于B的线速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
4.2024年4月21日7时45分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若遥感四十二号02星发射过程示意图如图所示，先进入近地圆形轨道I（可认为轨道半径等于地球半径）上做匀速圆周运动，到P点时实施瞬间点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，沿轨道Ⅱ运动到Q时再次实施变轨，进入轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，轨道Ⅲ的半径为3R，卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点，机械能逐渐增大
B．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点的最短时间为
C．卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ，需在Q处点火减速
D．地球的平均密度为
5．我国太空探索走向深空。假设发射的一颗卫星在地球赤道上方距地面高处绕地球做圆周运动，卫星的环绕方向与地球自转方向相反，如图所示。已知地球的半径，地球表面重力加速度取，则在赤道上的某观测站不能直接接收到卫星信号的时间间隔约为（ ）
A．1.1小时 B．2.3小时 C．4小时 D．12小时
6．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是（　　）
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为
对点题组练
题组一　卫星的发射、变轨和对接
1.嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.嫦娥五号的发射速度大于11.2 km/s
B.沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
C.沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
D.探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
3.(多选)“嫦娥四号”月球探测器首次在月球背面软着陆，如图所示，“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入环月椭圆形轨道Ⅱ，由近月点Q落月，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(　　)
A.沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度
D.若已知“嫦娥四号”绕轨道Ⅰ的半径、运动周期和引力常量，可算出月球的密度
题组二　卫星的追及与相遇
4.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为(　　)
A.2021年8月 B.2022年7月
C.2023年8月 D.2024年7月
5.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0，某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远时所经历的最短时间为(　　)
A. B.
C. D.
题组三　“双星”和“多星”模型
6.双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是(　　)
A.质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
B.质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大
C.质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
D.质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小
7.中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　)
A.向心力大小之比为16∶1
B.周期之比为16∶1
C.角速度大小之比为1∶1
D.加速度大小之比为1∶1
综合提升练
8.(多选)(2024·山师大附中高一月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是(　　)
A.C加速可追上同一轨道上的A
B.经过时间，A、B首次相距最远
C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D.在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
9.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期为4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D.三角形三星系统的线速度大小为
10.（多选）“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。假设在太空中有星球A、B组成的双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，如图所示，两星球的间距为，公转周期为。为探索该双星系统，向星球B发射一颗人造卫星C，C绕B运行的周期为，轨道半径为，忽略C的引力对双星系统的影响，万有引力常量为。则以下说法正确的是（　　）
A．星球A、B的质量之和为
B．星球A做圆周运动的半径为
C．星球B做圆周运动的半径为
D．若A也有一颗周期为的卫星，则其轨道半径一定大于
11．如图所示，卫星a、b沿圆形轨道绕地球运行，a是极地轨道卫星，卫星b轨道平面与地球赤道平面重合，此时两卫星恰好经过地球赤道上P点的正上方。已知地球自转周期为T，卫星a、b绕地心做匀速圆周运动的周期分别为、，则（　　）
A．卫星a、b的线速度之比为
B．卫星a、b的向心加速度之比为
C．同一物体在卫星a、b中对支持物的压力之比为
D．卫星a、b下一次同时经过P点正上方时，卫星b绕地心转过的角度为
培优加强练
12.如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)求A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
(2)求两星球做圆周运动的周期；
(3)如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L，那么组成新的稳定双星后星球A做圆周运动的半径和周期如何变化？
13.（多选）我国发射的“悟空”探测卫星对暗物质的观测研究已处于世界领先地位，观测发现宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且 ，科学家认为在两星球之间存在暗物质。若对两星球运动有影响的暗物质均匀分布在以两星球连线为直径的球形空间内，已知质量分布均匀的球体对球外质点的作用力可等效为质量集中在球心处对质点的作用力，两星球质量均为m。下列说法正确的是（　　）
A．暗物质对星球的作用力表现为斥力
B．暗物质对星球的作用力表现为引力
C．球形空间内的暗物质的质量为
D．球形空间内的暗物质的质量为
14．（多选）“天问一号”探测器需要通过转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时转移轨道是一个近日点B和远日点C都与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示）。在近日点短暂点火后“天问一号”进入转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知万有引力常量为G，太阳质量为M，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。下列说法中正确的是（　　）
A．两次点火时喷气方向都与运动方向相同
B．两次点火之间的时间间隔为
C．两次点火之间的时间间隔大于6个月
D．如果火星运动到A点，地球恰好在B点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹BC运动到C点时，恰好与火星相遇
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第7.6 节 培优提升　
应用万有引力定律解决“三个”热点问题
学习目标　
1.理解卫星发射、变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。
2.理解天体运动中的追及与相遇问题。
3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。
提升1　卫星的发射、变轨和对接
1.变轨运行分析
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
提示　(1)飞船绕天体稳定运行时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力。
由G＝m得v＝。
从绕地球运动的轨道上加速，使飞船速度v增大，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供所需的向心力，飞船将做离心运动，脱离原来的圆轨道，向高轨道变轨，轨道半径变大，进入新的轨道运行。
(2)当飞船从奔月轨道进入月球轨道时应减速，速度突然减小时，所需向心力m 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此飞船将做近心运动，会脱离原来的圆轨道，向低轨道变轨，轨道半径变小，进入新轨道运行。
2.卫星的变轨发射问题
(1)卫星的发射过程
如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星发射至近地圆轨道1，当到达赤道上空时，第二、三级火箭在Q点点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，当到达远地点P时，卫星启动发动机，然后进入圆轨道3做圆周运动。
(2)变轨运行各量间的关系
卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与在轨道2上运动到Q点的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运行到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为卫星在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的。
3.对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接：如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站完成对接。
例1 如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船(　　)
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大
C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速
答案　B
解析　根据G＝mr得T＝，轨道1的运动半径小于轨道3的运动半径，则在轨道1的运行周期小于在轨道3的运行周期，A错误；在轨道2运动过程中，A点为近地点，速度最大，B点为远地点，速度最小，B正确；根据G＝ma得a＝G，可知经过A点时的加速度比B点大，C错误；从轨道2进入轨道3时需要在B点加速，D错误。
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝
G判断。　　　　
训练1 (2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
答案　A
解析　变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。
训练2据中国国家航天局探月与航天工程中心消息，中国探月工程四期嫦娥七号任务将实现在月球南极着陆，开展极区环境与资源勘查。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。则嫦娥七号（　　）
A．在地月转移轨道上运行的最大速度大于11.2km/s
B．在地月转移轨道上经过A点需要点火加速才能完成变轨
C．在轨道Ⅱ上经过B点时的速度比经过C点时的小
D．在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的小
答案　C
解析　A．探测器在地球表面上的发射速度大于11.2km/s时，将脱离地球引力的束缚，嫦娥七号在地月转移轨道上运行时，依然没有脱离地球的束缚，故其的最大速度小于11.2km/s，A错误；
B．嫦娥七号在地月转移轨道上经过A点时需要点火减速才能变轨到轨道Ⅰ，B错误；
C．从B到C过程，万有引力做正功，速率增大，故嫦娥七号在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于经过C点时的速度，C正确；
D．由于轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，可知嫦娥七号在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大，D错误。
故选C。
提升2　卫星的追及与相遇
对于卫星的追及、相遇问题一般存在下列两种情况
(1)卫星对接，最常见的是由低轨道向高轨道运行的卫星对接。
(2)绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
①当两卫星在天体同侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。
例2 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同。在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
答案　D
解析　设地球质量为M，根据G＝mω2r知ω＝，轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，且同步卫星的轨道半径约为6.6R，人造地球卫星的轨道半径r<5R，故该人造地球卫星运行的角速度比地球上建筑物随地球转动的角速度大，因此再次出现在该建筑物正上方时，说明卫星已经比建筑物多转动了一圈，故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，根据“黄金代换”GM＝gR2，联立得t＝＝，故D项正确。
天体追及问题的解题技巧
处理天体追及问题时，首先判断谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍、相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍求解。　　　　
训练1 如图甲所示，A、B两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距Δr随时间t的变化图像，t＝0时刻A、B两颗卫星相距最近。已知卫星A的周期TA＝t0，则A、B两颗卫星运行轨道半径之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶7 D.1∶8
答案　B
解析　0～t0时间内，A、B两卫星转过的角度关系为t0－t0＝2π，又TA＝t0，解得TB＝7t0。根据开普勒第三定律有＝，可得＝，故B正确。
训练2我国北斗卫星导航系统（BDS）已经为全球提供定位、导航、授时、5G传输等服务。如题图所示，A、B为北斗系统中轨道在同一平面内，均沿顺时针方向绕行的两颗工作卫星。某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为、，A、B卫星的运行半径分别为r、2r。则两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为（　　）
A． B． C． D．
答案　B
解析　根据几何关系可知，设地心为，在图示时刻两卫星与地心之间的夹角满足
可得
两卫星均沿顺时针方向绕行，则两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大，A比B多转过的最小角度为
则有
解得两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为
故选B。
提升3　“双星”和“多星”模型
1.“双星”模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，
即G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。
(3)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。
(2)受力特点
圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供做圆周运动所需的向心力。
例3 (2024·天津南开高一期末) “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两星球做圆周运动的半径之比为m1∶m2
B.A、B两星球做圆周运动的角速度之比为m1∶m2
C.A星球的轨道半径r1＝L
D.双星运行的周期T＝2πL
答案　D
解析　设A星球的轨道半径为r1，B星球的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力有G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得A、B两星球做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，解得r1＝L，故A、C错误；A、B两星球做圆周运动的周期相同，角速度之比为1∶1，故B错误；T＝，解得T＝2πL，故D正确。
分析双星问题时注意区分两星的轨道半径和两星之间的距离，万有引力提供向心力，万有引力中的距离为两星间距，向心力中的r为轨道半径。　　　　
训练1(多选) (2024·重庆市杨家坪中学高一期末)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(　　)
A.匀速圆周运动的半径为d
B.每个星球的质量为
C.每个星球表面的重力加速度大小为
D.每个星球的第一宇宙速度大小为
答案　AD
解析　三星均围绕边长为d的等边三角形的中心O做匀速圆周运动，由几何关系可得匀速圆周运动的半径为r＝＝d，A正确；设星球质量为M，则有2Gcos 30°＝Mr，可得M＝，B错误；星球表面的重力近似等于万有引力，有mg＝G，可得g＝，C错误；根据G＝m，可得v＝，D正确。
训练2科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是，两者相距，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，由以上条件可得该双星系统的角速度大小为。科学家通过光学仪器观测计算得到的角速度大小与角速度有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质。其模型简化为：在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为的暗物质，不考虑其他星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的角速度，则为（　　）
A．1∶1 B． C． D．1∶5
答案　C
解析　当两星球之间的万有引力提供向心力，有
当空间充满了暗物质时，暗物质也会对天体有万有引力的作用，暗物质的万用引力可以等效为质量集中在球心的质点对星球的引力，可得
联立可得
故选C。
基础练习
1.(卫星的发射与变轨)(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥三号”的说法正确的是(　　)
A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)
C.在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大
D.“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
答案　CD
解析　卫星在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力大于需要的向心力而做近心运动，选项B错误；根据开普勒第二定律知，在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据牛顿第二定律得G＝man可知，卫星在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等，选项D正确。
2.(卫星的对接)如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案　C
解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。
3.(双星模型)(多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则(　　)
A.A的质量一定小于B的质量
B.A的线速度一定小于B的线速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
答案　AC
解析　黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量为mA和mB，轨道半径为RA和RB，角速度为ω，则由万有引力提供向心力可知G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，联立可得＝，由题意可知RA>RB，则mARB，根据v＝ωr可知vA>vB，B错误；根据万有引力提供向心力有G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，又T＝，整理可得T＝2π，由此可知，当L一定时，m越大，T越小；当m一定时，L越大，T越大，C正确，D错误。
4.2024年4月21日7时45分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若遥感四十二号02星发射过程示意图如图所示，先进入近地圆形轨道I（可认为轨道半径等于地球半径）上做匀速圆周运动，到P点时实施瞬间点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，沿轨道Ⅱ运动到Q时再次实施变轨，进入轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，轨道Ⅲ的半径为3R，卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点，机械能逐渐增大
B．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点的最短时间为
C．卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ，需在Q处点火减速
D．地球的平均密度为
答案　B
解析　A．卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点，只有万有引力做功，机械能保持不变，故A错误；
B．根据开普勒第三定律可得
卫星在轨道Ⅱ上，从P点到Q点的最短时间为
联立解得
故B正确；
C．卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ，做离心运动，需在Q处点火加速，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力
联立可得
故D错误。
故选B。
5．我国太空探索走向深空。假设发射的一颗卫星在地球赤道上方距地面高处绕地球做圆周运动，卫星的环绕方向与地球自转方向相反，如图所示。已知地球的半径，地球表面重力加速度取，则在赤道上的某观测站不能直接接收到卫星信号的时间间隔约为（ ）
A．1.1小时 B．2.3小时 C．4小时 D．12小时
答案　B
解析　根据
和在地球表面附近有
解得
如图所示
由几何关系可知，若地球保持静止，观测站能直接接收到卫星信号的时间段内，卫星相对地球转过的角度为，设观测站不能直接接收到卫星信号的时间间隔为，则卫星相对于地球转动角度接收不到信号，有
解得
故选B。
6．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是（　　）
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为
答案　B
解析　A．根据对称性可知四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，如图所示
故A正确；
B．由图可知轨道半径
故B错误；
C．在星体表面，根据万有引力等于重力，可得
得四颗星表面的重力加速度均为
故C正确；
D．由万有引力提供向心力可知
解得四颗星的周期均为
故D正确。
本题选说法错误的，故选B。
对点题组练
题组一　卫星的发射、变轨和对接
1.嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.嫦娥五号的发射速度大于11.2 km/s
B.沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
C.沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
D.探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
答案　B
解析　发射速度大于11.2 km/s的卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，嫦娥五号的发射速度应大于7.9 km/s小于11.2 km/s，A错误；沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2，B正确；由开普勒第三定律可知，沿轨道1运行的周期大于沿轨道2运行的周期，C错误；探测器在轨道2上经过P点和在轨道1上经过P点的加速度都由万有引力产生，即探测器在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D错误。
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
答案　D
解析　天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P处减速，故C错误；在轨道Ⅰ上向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。
3.(多选)“嫦娥四号”月球探测器首次在月球背面软着陆，如图所示，“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入环月椭圆形轨道Ⅱ，由近月点Q落月，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(　　)
A.沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度
D.若已知“嫦娥四号”绕轨道Ⅰ的半径、运动周期和引力常量，可算出月球的密度
答案　BC
解析　“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的P点实施变轨，需做近心运动，在P点应该制动减速，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故B正确；“嫦娥四号”只受万有引力作用，沿轨道Ⅱ运行经P点时的万有引力等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的万有引力，由牛顿第二定律可知，沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度，故C正确；月球的半径未知，所以无法算出月球的密度，故D错误。
题组二　卫星的追及与相遇
4.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为(　　)
A.2021年8月 B.2022年7月
C.2023年8月 D.2024年7月
答案　A
解析　根据开普勒第三定律有＝，解得T土＝T地＝年≈29.28年，设两次土星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有t－t＝2π，解得t＝≈1.04年，故2020年7月21日土星冲日，下一次冲日大约为2021年8月，故A正确。
5.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0，某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远时所经历的最短时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，t＝π，又TA＝T0，＝k，联立解得t＝，故C正确。
题组三　“双星”和“多星”模型
6.双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是(　　)
A.质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
B.质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大
C.质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
D.质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小
答案　D
解析　两颗天体在两者之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第三定律可知，两天体受到的万有引力大小相等，则它们做匀速圆周运动的向心力大小相等，故A错误；两天体绕同一圆心转动，角速度相等，周期相等，根据万有引力提供向心力可得G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，则质量大的天体轨道半径较小，根据a1＝ω2r1和a2＝ω2r2可知，质量大的天体的向心加速度较小；根据v1＝ωr1和v2＝ωr2可知，质量大的天体的线速度较小，故D正确，B、C错误。
7.中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　)
A.向心力大小之比为16∶1
B.周期之比为16∶1
C.角速度大小之比为1∶1
D.加速度大小之比为1∶1
答案　C
解析　黑洞和恒星组成双星系统，根据双星系统的特点可知，黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力，转动的角速度相等，周期相等，故A、B错误，C正确；根据a＝可知黑洞与恒星的加速度大小之比为＝，故D错误。
综合提升练
8.(多选)(2024·山师大附中高一月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是(　　)
A.C加速可追上同一轨道上的A
B.经过时间，A、B首次相距最远
C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D.在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
答案　BC
解析　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星A，A错误；A、B卫星由相距最近至相距最远时，两卫星转的圈数差半圈，设经历时间为t，有－＝，解得t＝，B正确；由a＝及rA＝rC>rB，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，C正确；轨道半径为r的卫星，其周期T＝2π，则该卫星在单位时间内扫过的面积S0＝＝，由于rC>rB，所以在相同时间内，C与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，D错误。
9.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期为4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D.三角形三星系统的线速度大小为
答案　B
解析　直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v＝ωR可知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；直线三星系统中万有引力提供向心力，由G＋G＝MR，得T＝4πR，故B正确；两种系统的运动周期相同，根据牛顿第二定律可得，对三角形三星系统中任意星体有2Gcos 30°＝Mr，轨道半径r与边长L的关系为L＝r，解得L＝R，故C错误；三角形三星系统的线速度大小为v＝，得v＝×，故D错误。
10.（多选）“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。假设在太空中有星球A、B组成的双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，如图所示，两星球的间距为，公转周期为。为探索该双星系统，向星球B发射一颗人造卫星C，C绕B运行的周期为，轨道半径为，忽略C的引力对双星系统的影响，万有引力常量为。则以下说法正确的是（　　）
A．星球A、B的质量之和为
B．星球A做圆周运动的半径为
C．星球B做圆周运动的半径为
D．若A也有一颗周期为的卫星，则其轨道半径一定大于
答案　BD
解析　A．根据万有引力提供向心力
其中
得两星球质量之和为
故A错误；
BC．C围绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有
解得
，
故B正确，C错误；
D．若A也有一颗周期为的卫星，则
解得
由于
则
可知其轨道半径一定大于，故D正确；
故选BD。
11．如图所示，卫星a、b沿圆形轨道绕地球运行，a是极地轨道卫星，卫星b轨道平面与地球赤道平面重合，此时两卫星恰好经过地球赤道上P点的正上方。已知地球自转周期为T，卫星a、b绕地心做匀速圆周运动的周期分别为、，则（　　）
A．卫星a、b的线速度之比为
B．卫星a、b的向心加速度之比为
C．同一物体在卫星a、b中对支持物的压力之比为
D．卫星a、b下一次同时经过P点正上方时，卫星b绕地心转过的角度为
答案　D
解析　A．卫星围绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力得
解得
根据题意可知
因此
对于卫星，根据万有引力提供向心力得
解得
因此
故A错误；
B．对于卫星，根据万有引力提供向心力得
解得向心加速度
因此
故B错误；
C．物体在卫星上所受地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，因此物体对于其接触的物体无压力，故C错误；
D．当卫星a、b下一次同时经过P点正上方时，地球自转了一圈，此时卫星b绕地球转动了两圈，即卫星b绕地心转过的角度为，故D正确。
故选D。
培优加强练
12.如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)求A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
(2)求两星球做圆周运动的周期；
(3)如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L，那么组成新的稳定双星后星球A做圆周运动的半径和周期如何变化？
答案　(1)L　L　
(2)2π　(3)半径变大　周期不变
解析　(1)两星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有G＝mArA，G＝mBrB
可得＝
又因为L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
(2)由G＝mArA和
rA＝L两式联立解得
T＝＝2π。
(3)根据rA＝L，且总质量(mA＋mB)不变，知mB变大，rA变大
根据T＝2π，知周期不变。
13.（多选）我国发射的“悟空”探测卫星对暗物质的观测研究已处于世界领先地位，观测发现宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且 ，科学家认为在两星球之间存在暗物质。若对两星球运动有影响的暗物质均匀分布在以两星球连线为直径的球形空间内，已知质量分布均匀的球体对球外质点的作用力可等效为质量集中在球心处对质点的作用力，两星球质量均为m。下列说法正确的是（　　）
A．暗物质对星球的作用力表现为斥力
B．暗物质对星球的作用力表现为引力
C．球形空间内的暗物质的质量为
D．球形空间内的暗物质的质量为
答案　BC
解析　AB．物质间的作用力表现为引力作用，故A错误，B正确；
CD．双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力
解得
设均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量、位于中点O处的质点的作用相同，则
解得
又因为
联立以上解得
故C正确，D错误。
故选BC。
14．（多选）“天问一号”探测器需要通过转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时转移轨道是一个近日点B和远日点C都与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示）。在近日点短暂点火后“天问一号”进入转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知万有引力常量为G，太阳质量为M，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。下列说法中正确的是（　　）
A．两次点火时喷气方向都与运动方向相同
B．两次点火之间的时间间隔为
C．两次点火之间的时间间隔大于6个月
D．如果火星运动到A点，地球恰好在B点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹BC运动到C点时，恰好与火星相遇
答案　BC
解析　A．两次变轨均需要加速，所以两次点火时喷气方向都应与运动方向相反，故A错误；
B．对地球，根据万有引力提供向心力有
求得
设“天问一号”在转移轨道上的运行周期为，根据开普勒第三定律有
联立得
所以，两次点火之间的时间间隔为
故B正确；
C．因“天问一号”在转移轨道上运行的轨道半长轴大于r，所以
年
即
个月
故C正确；
D．因“天问一号”在转移轨道上运行的轨道半长轴小于R，所以设“天问一号”在转移轨道上的运行周期小于火星的运行周期，“天问一号”由B点运动到C点、火星由A点运动到C点所需时间均为各自周期的一半，所以，如果火星运动到A点，地球恰好在B点时发射探测器，那么探测器将沿轨迹BC运动到C点时，不会与火星相遇，故D错误。
故选BC。
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