资源简介

2.1.1　等式与不等式
第1课时　等式与不等式
[学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.能用不等式(组)解决实际生活中的简单问题.
一、用不等式(组)表示不等关系
问题1　生活中,我们经常在路上或桥上看到这些标志(如图),你知道它们的意思吗 你能用数学式子表示它们吗
问题2　你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗
(1)某社会团体成员要求,男性成员人数m应不多于50人,女性成员人数n不少于10人;
(2)某款ChatGPT(聊天机器人程序)在人机交互中的识别精确度不低于90%;
(3)若小明的身高为x,小华的身高为y,小明比小华矮;
(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短(如图).
知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过
符号语言
例1　一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来.
反思感悟　用不等式(组)表示不等式关系的步骤
(1)审清题意,明确表示不等式关系的关键词语:至多、至少、大于等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得到不等式.
注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)不能超过4 m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.
二、作差法比较大小
问题3　我们知道由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢
知识梳理
关于实数a与b大小的比较,有以下基本事实
依据 a>b 　　　　　　; a=b 　　　　　　; a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的　　与　　的大小
例2　比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小.
反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2　比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
三、不等式的实际应用
例3　为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出有哪些符合题意的组建方案.
反思感悟　(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
(2)根据实际问题列出不等式(组),应从是否符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
跟踪训练3　下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格.某球迷赛前准备用1 200元预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目 票价(元/场)
足球 100
篮球 80
乒乓球 60
在准备资金允许的范围内和总门票数不变的前提下,该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票,其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用,求可以预订的足球比赛的门票数.
1.知识清单:
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)不等式的实际应用.
2.方法归纳:作差法.
3.常见误区:实际问题中变量的实际意义.
1.高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于50 m，用不等式表示为（　　）
A.v≤120 km/h且d≥50 m
B.v≤120 km/h或d≥50 m
C.v≤120 km/h且d>50 m
D.v<120 km/h或d>50 m
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是(　　)
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.M=N
C.M4.若x答案精析
问题1　①最低限速50 km/h，v≥50；②限制重量10 t，M≤10；③限制高度3.5 m，h≤3.5；④限制宽度3 m，x≤3；⑤通行时间7：30-10：00，7.5≤t≤10.
问题2　(1)
(2)设识别精确度为x，则x≥90%.
(3)x(4)设三角形的三边分别为a，b，c，
则
(5)CD知识梳理
>　<　≥　≤
例1　解　由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的，所以≤z≤，又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以y+z≥55，且球的个数应为自然数，
故满足题意的不等关系为
(x，y，z∈N).
跟踪训练1　解　(1)0(2)a+b≥0.
(3)
问题3　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
a-b>0　a-b=0　a-b<0　差　0
例2　解　(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0，
所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
跟踪训练2　解　(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1
=+.
∵≥0，
∴+≥>0，
∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0，
∴2x2+5x+3>x2+4x+2.
例3　解　设组建中型图书角x个，
则组建小型图书角(30-x)个，
则
解得18≤x≤20，x∈N+.
由于x只能取正整数，
所以x的取值可以是18，19，20.
当x=18时，30-x=12；
当x=19时，30-x=11；
当x=20时，30-x=10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.
跟踪训练3　解　设预定篮球比赛的门票数与乒乓球比赛的门票数都是n(n∈N+)张，则足球比赛的门票预定了(15-2n)张，
由题意，得
解得5≤n≤.
由n∈N+，得n=5，所以15-2n=5，
所以可以预订的足球比赛的门票数为5.
随堂演练
1.A　2.D　3.A　4.M>N(共61张PPT)
第2章
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等式与不等式
第1课时
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会作差法比较两实数的大小.
3.能用不等式(组)解决实际生活中的简单问题.
学习目标
大家知道,相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说:长与短、远与近的比较;比如说:同学们之间高与矮、轻与重的比较;再比如说:国家人口的多少、面积的大小的比较.正所谓:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.
导 语
一、用不等式(组)表示不等关系
二、作差法比较大小
课时对点练
三、不等式的实际应用
随堂演练
内容索引
用不等式(组)表示不等关系
一
生活中,我们经常在路上或桥上看到这些标志(如图),你知道它们的意思吗 你能用数学式子表示它们吗
问题1
提示　①最低限速50 km/h,v≥50;②限制重量10 t,M≤10;③限制高度3.5 m,
h≤3.5;④限制宽度3 m,x≤3;⑤通行时间7:30-10:00,7.5≤t≤10.
你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗
(1)某社会团体成员要求,男性成员人数m应不多于50人,女性成员人数n不少于10人;
问题2
提示　
(2)某款ChatGPT(聊天机器人程序)在人机交互中的识别精确度不低于90%;
提示　设识别精确度为x,则x≥90%.
(3)若小明的身高为x,小华的身高为y,小明比小华矮;
提示　x(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
提示　设三角形的三边分别为a,b,c,
则
(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短(如图).
提示　CD文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过
符号语言 ____ ____ ____ ____
常见的文字语言与符号语言之间的转换
>
<
≥
≤
(1)仔细审题,尤其注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
注 意 点
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　　　一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来.
例 1
由题意黑球个数至少是白球个数的一半,,≤z≤,又因为白球与黑球的个数之和至少为55,所以y＋z≥55,且球的个数应为自然数,
(x,y,z∈N).
(1)审清题意,明确表示不等式关系的关键词语:至多、至少、大于等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得到不等式.
注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
反
思
感
悟
用不等式(组)表示不等式关系的步骤
　　　　　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)不能超过4 m;
跟踪训练 1
0(2)a与b的和是非负实数;
a＋b≥0.
(3)如图,在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.
二
作差法比较大小
提示　设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab.
我们知道由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢
问题3
依据 a>b _________;
a＝b __________;
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的___与___的大小
关于实数a与b大小的比较,有以下基本事实
a-b>0
a-b＝0
a-b<0
差
0
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式;
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小;
(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
注 意 点
<<<
　　　比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小.
例 2
(x＋5)(x＋7)-(x＋6)2＝x2＋12x＋35-(x2＋12x＋36)＝-1<0,
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
反
思
感
悟
作差法比较两个实数大小的基本步骤
　　　　　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
跟踪训练 2
(2x2＋5x＋3)-(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝.
∵≥0,∴>0,
∴(2x2＋5x＋3)-(x2＋4x＋2)>0,
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
不等式的实际应用
三
　　　为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出有哪些符合题意的组建方案.
例 3
设组建中型图书角x个,则组建小型图书角(30-x)个,
则
解得18≤x≤20,x∈N＋.
由于x只能取正整数,
所以x的取值可以是18,19,20.
当x＝18时,30-x＝12;
当x＝19时,30-x＝11;
当x＝20时,30-x＝10.
故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;
方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.
反
思
感
悟
(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
(2)根据实际问题列出不等式(组),应从是否符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
　　　　　下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格.某球迷赛前准备用1 200元预订15张下表中球类比赛的门票.
跟踪训练 3
比赛项目 票价(元/场)
足球 100
篮球 80
乒乓球 60
在准备资金允许的范围内和总门票数不变的前提下,该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票,其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用,求可以预订的足球比赛的门票数.
设预定篮球比赛的门票数与乒乓球比赛的门票数都是n(n∈N＋)张,则足球比赛的门票预定了(15-2n)张,
由题意,
解得5≤n≤.
由n∈N＋,得n＝5,所以15-2n＝5,
所以可以预订的足球比赛的门票数为5.
1.知识清单:
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)不等式的实际应用.
2.方法归纳:作差法.
3.常见误区:实际问题中变量的实际意义.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h,同一车道上的车间距d不得小于50 m,用不等式表示为
A.v≤120 km/h且d≥50 m
B.v≤120 km/h或d≥50 m
C.v≤120 km/h且d>50 m
D.v<120 km/h或d>50 m
√
v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于50 m，
即d≥50 m.
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是
A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200
C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200
1
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3
4
√
依题意,得50x＋40y≤2 000,
即5x＋4y≤200.
3.设M＝x2,N＝-x-1,则M与N的大小关系是
A.M>N B.M＝N
C.M1
2
3
4
√
∵M-N＝x2＋x＋1＝>0,∴M>N.
4.若x1
2
3
4
M>N
M-N＝(x2＋y2)(x-y)-(x2-y2)(x＋y)
＝(x-y)[(x2＋y2)-(x＋y)2]
＝-2xy(x-y),
∵x0,x-y<0,
∴M-N>0,故M>N.
课时对点练
五
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为
A.a＋b<0 B.a＋b>0
C.a＋b≤0 D.a＋b≥0
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基础巩固
√
a与b的和是非正数,即a＋b≤0.
2.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是
A.30x-60≥400 B.30x＋60≥400
C.30x-60≤400 D.30x＋40≤400
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√
3.(多选)下列说法正确的是
A.某人月收入x(单位:元)不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的体重为x kg,小华的体重为y kg,则小明比小华重表示为“x>y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
√
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对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;
BCD正确.
√
√
A. B.
C. D.
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“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,
∴x≥95,y>380,z>45.
4.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是
√
5.若x∈R,y∈R,则
A.x2＋y2>2xy-1 B.x2＋y2＝2xy-1
C.x2＋y2<2xy-1 D.x2＋y2≤2xy-1
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√
因为x2＋y2-(2xy-1)＝x2-2xy＋y2＋1
＝(x-y)2＋1>0,
所以x2＋y2>2xy-1.
6.已知0A.MN
C.M＝N D.M≥N
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M-N＝a1a2-(a1＋a2-1)
＝a1a2-a1-a2＋1
＝a1(a2-1)-(a2-1)＝(a1-1)(a2-1),
∵0∴-1∴M-N>0,∴M>N.
7.某商品包装上标有重量500±1克,若用x(单位:克)表示商品的重量,则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为　　　　　.
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|x-500|≤1
∵某商品包装上标有重量500±1克,
若用x表示商品的重量,则-1≤x-500≤1,
∴|x-500|≤1.
8.若x＝(a＋3)(a-5),y＝(a＋2)(a-4),则x与y的大小关系是　　　.
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因为x-y＝(a＋3)(a-5)-(a＋2)(a-4)
＝(a2-2a-15)-(a2-2a-8)＝-7<0,
所以xx9.《铁路旅客运输规程》规定：
一、未实行车票实名制的，身高1.2米且不足1.5米的儿童应当购买儿童优惠票；达到1.5米的应买全价票.每一名持票成人旅客可免费带一名身高不足1.2米且不单独占用席位的儿童；超过一名时，超过的人数应买儿童优惠票.
…
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…
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设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
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文字表述 身高1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
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文字表述 身高1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示 1.2≤h<1.5 h≥1.5 h<1.2 P≤160
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10.已知a＋b>0,试比较与的大小.
-＝(a-b),
因为a＋b>0,(a-b)2≥0,≥0,.
11.足球赛期间,某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A,B两个出租车队,A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车,每辆车坐5人,车不够,每辆车坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满.则A队有出租车
A.11辆 B.10辆
C.9辆 D.8辆
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设A队有出租车x辆,
则B队有出租车(x＋3)辆,由题意,得
x＝10.
12.(多选)下列不等式成立的是
A.a2＋2>2a B.a2＋b2≥2(a-b-1)
C.a2＋b2≥ab D.＋1<
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因为a2＋2-2a＝(a-1)2＋1>0,
所以a2＋2>2a,所以选项A正确;
因为a2＋b2-2(a-b-1)＝a2-2a＋1＋b2＋2b＋1＝(a-1)2＋(b＋1)2≥0,所以选项B正确;
因为a2＋b2-ab＝a2-ab＋
＝≥0,所以选项C正确;
＋1->0,所以选项D错误.
13.如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关
系用含字母a,b的不等式表示出来为　　 　　.
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16
由题图可知,图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2),图②广告牌的面积S2＝ab,观察题图得S1>S2,>ab.
>ab
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14.设P＝,Q＝-,R＝-,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列为　　　　.
P>R>Q
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16
∵P-R＝-(-)＝2->0,
∴P>R.
R-Q＝--(-)
＝()-(),
∵()2＝9＋2,()2＝9＋2,
∴>,∴R>Q,
∴P>R>Q.
15.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数,加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数,加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和,若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为
A.9 B.12
C.15 D.18
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拓广探究
√
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16
设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c,
a,b,c∈N＋,若c＝1,则a＋b≥3＋2＝5,不满足3c>a＋b;
若c＝2,则a＋b≥4＋3＝7,不满足3c>a＋b;若c＝3,则a＋b≥5＋4＝9,不满足3c>a＋b;若c＝4,则a＋b≥6＋5＝11,可能满足3c>a＋b;则cmin＝4,
amin＝6,bmin＝5,则(a＋b＋c)min＝15.
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16.某单位计划包车前往毛主席纪念堂参观.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
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16
设该单位职工有n人(n∈N＋),全票价为x元,坐甲车队的车需花费y1元,坐乙车队的车需花费y2元.
由题意,得y1＝x＋x·(n-1)＝x＋nx,
y2＝nx.
因为y1-y2＝x＋nx-nx
＝x-nx＝x,
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16
当n＝5时,y1＝y2;
当n>5时,y1当n<5时,y1>y2,
所以,当单位去5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.第2课时　不等式的基本性质
[学习目标]　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
一、不等式的性质
知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容
1 对称性 a>b b　　　　a
2 传递性 a>b,b>c a　　　　c
3 可加性 a>b a+c　　　　b+c; 推论1:a+b>c a>c-b; 推论2:a>b,c>d a+c>b+d
4 可乘性 a>b,c>0 ac　　bc; a>b,c<0 acb>0,c>d>0 ac>bd; 推论4:a>b>0 an　　bn(n∈N,n≥2); 推论5:a>b>0 >
5 取倒数 a>b,ab>0 　 ; a>b,ab<0 >
例1　对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是(　　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则>
C.若a
D.若a>b,>,则a>0,b<0
反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然地随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
跟踪训练1　(多选)若<<0,则下列四个不等式成立的有(　　)
A.|a|>|b| B.aC.a+bb3
二、利用不等式的性质证明不等式
例2　已知c>a>b>0,求证:>.
反思感悟　(1)利用不等式的性质证明不等式其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,同时要注意性质适用的前提条件.
(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样,变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
跟踪训练2　已知a>b>0,c<0,证明:>.
三、利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3　已知-6反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
跟踪训练3　已知-21.知识清单:
(1)不等式的基本性质.
(2)不等式性质的应用.
2.方法归纳:作差法、乘方比较法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
1.下列不等式中,与a>b等价的不等式是(　　)
A.|a|>|b| B.a2>b2
C.>1 D.a3>b3
2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.ac2>bc2 a>b B.> a>b
C. < D. >
3.若1A.-3C.-34.对于实数a,b,“”是“”的　　　　　　条件.(填“充要”“充分而不必要”“必要而不充分”或“既不充分又不必要”)
答案精析
知识梳理
<　>　>　>　>　<
例1　D　[方法一　∵c2≥0，
∴当c=0时，有ac2=bc2，
故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0 > >，故B为假命题；
>，故C为假命题；
ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题.
方法二　特殊值排除法.
取c=0，则ac2=bc2，故A为假命题.
取a=2，b=1，则=，=1.有<，故B为假命题.
取a=-2，b=-1，则=，=2，有<，故C为假命题.]
跟踪训练1　CD
例2　证明　方法一　-=
==，
因为c>a>b>0，
所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以>.
方法二　因为c>a>b>0，
所以0所以>>0，
又因为a>b>0，所以>.
方法三　因为a>b>0，所以<，
因为c>0，所以<，
所以-1<-1，即<，
因为c>a>b>0，
所以c-a>0，c-b>0.
所以>.
跟踪训练2　证明　方法一　-=，
∵a>b>0，c<0，
∴ab>0，b-a<0，c(b-a)>0，
∴->0，∴>.
方法二　∵a>b>0，∴>>0，
∵c<0，∴<.即>.
例3　解　因为-6所以-12<2a<16，
所以-10<2a+b<19.
又因为-3<-b<-2，
所以-9①当0≤a<8时，0≤<4；
②当-6所以0<-<3，所以-3<<0.
由①②得-3<<4.
跟踪训练3　(-6，6)
随堂演练
1.D　2.A　3.C　4.充要(共58张PPT)
第2章
<<<
不等式的基本性质
第2课时
1.了解等式的性质.
2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
学习目标
同学们,2022年北京冬奥会注定已成为举世瞩目的一届冬奥会,没有之一,其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心,世界都把目光再一次聚焦到北京,反映出中国经济发展的高水平和快速度,使得中国对世界更加开放,世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国,有人说北京冬奥会超过已经举办的任何一届冬奥会!在刚才这一段话中,大家能发现有哪些不等关系吗
导 语
一、不等式的性质
二、利用不等式的性质证明不等式
课时对点练
三、利用不等式的性质求代数式的取值范围
随堂演练
内容索引
不等式的性质
一
不等式的性质
性质 别名 性质内容
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b,b>c a____c
3 可加性 a>b a＋c___b＋c;
推论1:a＋b>c a>c-b;
推论2:a>b,c>d a＋c>b＋d
<
>
>
性质 别名 性质内容
4 可乘性 a>b,c>0 ac____bc;
a>b,c<0 ac推论3:a>b>0,c>d>0 ac>bd;
推论4:a>b>0 an____bn(n∈N,n≥2);
推论5:a>b>0 >
5 取倒数 a>b,ab>0 ;
a>b,ab<0 >
>
>
<
(1)注意不等式的单向性和双向性,性质1和3是双向的,其余在一般情况下是不可逆的.
(2)应用不等式时,要注意它们成立的前提条件.
注 意 点
<<<
　　　对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则>
C.若a
D.若a>b,>,则a>0,b<0
例 1
√
方法一　∵c2≥0,
∴当c＝0时,有ac2＝bc2,故A为假命题;
由a>b>0,有ab>0 > >,故B为假命题;
>,故C为假命题;
ab<0.
∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题.
方法二　特殊值排除法.
取c＝0,则ac2＝bc2,故A为假命题.
取a＝2,b＝1,,＝1.<,故B为假命题.
取a＝-2,b＝-1,,＝2,<,故C为假命题.
(1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然地随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
反
思
感
悟
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
　　　　　(多选)若<<0,则下列四个不等式成立的有
A.|a|>|b| B.aC.a＋bb3
跟踪训练 1
√
√
<<0可得ba＋b<0,ab>0,则a＋ba3>b3,D正确.
二
利用不等式的性质证明不等式
　　　已知c>a>b>0,求证:>.
例 2
方法一　-
＝,
因为c>a>b>0,
所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,
>.
方法二　因为c>a>b>0,
所以0>>0,
又因为a>b>0,>.
方法三　因为a>b>0,<,
因为c>0,<,
-1<-1,<,
因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.
>.
反
思
感
悟
(1)利用不等式的性质证明不等式其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,同时要注意性质适用的前提条件.
(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样,变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
　　　　　已知a>b>0,c<0,证明:>.
跟踪训练 2
方法一　-,
∵a>b>0,c<0,
∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0,
∴->0,∴>.
方法二　∵a>b>0,∴>>0,
∵c<0,∴<.>.
利用不等式的性质求代数式的取值范围
三
　　　已知-6例 3
因为-6所以-12<2a<16,
所以-10<2a＋b<19.
又因为-3<-b<-2,
所以-9①当0≤a<8时,0≤<4;
②当-6所以0<-<3,所以-3<<0.
由①②得-3<<4.
反
思
感
悟
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
利用不等式的性质求取值范围的策略
　　　　　已知-2跟踪训练 3
(-6,6)
因为-2因为0所以-2<-b<0,则-6<2a-b<6.
1.知识清单:
(1)不等式的基本性质.
(2)不等式性质的应用.
2.方法归纳:作差法、乘方比较法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列不等式中,与a>b等价的不等式是
A.|a|>|b| B.a2>b2
C.>1 D.a3>b3
√
可利用赋值法.令a＝1,b＝-2,
满足a>b,但|a|<|b|,a2故A,B,C都不正确.
2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是
A.ac2>bc2 a>b B.> a>b
C. < D. >
1
2
3
4
√
A显然成立;
当c<0时,B不成立;
a>b,ab<0 <,>,C不成立.
同理可证D不成立.
3.若1A.-3C.-31
2
3
4
√
∵-4∴-4<-|b|≤0.
又∵14.对于实数a,b,“”是“”的　　　条件.(填“充要”
“充分而不必要”“必要而不充分”或“既不充分又不必要”)
1
2
3
4
充要
1
2
3
4
,由ab>0可知a与b同号,
再由a＋b>0可知a与b同为正,
,
由不等式的性质可知ab>0且a＋b>0,
.
所以“”是“”的充要条件.
课时对点练
五
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是
A.< B.<
C.a2|b|
1
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16
基础巩固
√
∵a<0,b>0,∴<0,>0,∴<.
2.设a,b∈R,若a＋|b|<0,则下列不等式中正确的是
A.a-b>0 B.a3＋b3>0
C.a2-b2<0 D.a＋b<0
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√
本题可采用特殊值法,取a＝-2,b＝1,
则a-b<0,a3＋b3<0,a2-b2>0,a＋b＝-1<0.故A,B,C错误,D正确.
3.已知a＋b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小是
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
√
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4.若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
5.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是
A.若a>b,c>d,则a＋b>c＋d
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,c
D.若a2>b2,则-a<-b
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选项A,取a＝1,b＝0,c＝2,d＝1,
则a＋b选项B,因为a>-b,所以-a选项C,不满足倒数不等式的条件,如a>b>0,c<0选项D,当a＝-1,b＝0时,-a>-b,则D错误.
6.(多选)给出下列命题,其中正确的命题是
A.若ac4>bc4,则a>b
B.若a>|b|,则a2>b2
C.若a>b,则a3>b3
D.若|a|>b,则a2>b2
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√
√
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16
A一定成立;
B一定成立;
C中,当a>b时,a3-b3＝(a-b)(a2＋ab＋b2)＝(a-b)·>0成立;
D中,当b<0时,不一定成立.如|2|>-3,
但22<(-3)2.
7.已知1<α<3,-4<β<2,若z＝α-β,则z的取值范围是　　　　　 　　.
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∵1<α<3,∴<α<,
又-4<β<2,∴-2<-β<4.
∴-<α-β<,即-8.若a>b>0,则a＋　　b＋(用“<”“>”或“＝”填空).
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方法一　∵a>b>0,∴0<<,
>>0,∴a＋>b＋.
方法二　a＋-,
>
∵a>b>0,∴a-b>0,ab>0,1＋ab>0,
则a＋>b＋.
9.判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若a1
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∵a0,
∴>,
∴<,∴原命题是假命题.
(2)若ac3b;
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当c>0时,c3>0,∴a∴原命题是假命题.
(3)若a>b,且k∈N＋,则ak>bk;
当a＝1,b＝-2,k＝2时,ak∴原命题是假命题.
(4)若a>b,b>c则a-b>b-c.
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当a＝2,b＝0,c＝-3时,满足a>b,b>c这两个条件,但是a-b＝2∴原命题是假命题.
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10.(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac因为a>b,c>0,可得ac>bc,所以-ac<-bc,
又因为f1
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(2)已知a>b>0,c因为c-d>0,
又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,>>0,
因为a>b>0,根据不等式的性质,>,<.
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(3)已知bc-ad≥0,bd>0,求证:.
因为bd>0,,只需证明d(a＋b)≤b(c＋d),
展开得ad＋bd≤bc＋bd,即ad≤bc,即bc-ad≥0,
又因为bc-ad≥0,.
11.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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综合运用
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a>2且b>1,则由不等式的性质可知a＋b>3且ab>2,则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件,但是当a＝6,b＝0.5时,满足a＋b>3且ab>2,但是b<1,所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分而不必要条件.
12.已知x>y>z,x＋y＋z＝0,则下列不等式中一定成立的是
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
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√
因为x>y>z,x＋y＋z＝0,
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0,z<0.xy>xz.
13.有外表一样、重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
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∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,
∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d),即a>c.
∴b又a＋cb>a>c.
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14.已知三个不等式:①ab>0;②>;③bc>ad.
若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成　　个正确命题.
3
①② ③,③① ②(证明略)
由②>0,又由③得bc-ad>0,
所以ab>0 ①.
所以可以组成3个正确命题.
15.已知1≤a-b≤2,3≤a＋b≤4,则ab的最大值为
A. B.
C.3 D.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4ab＝(a＋b)2-(a-b)2,
由不等式的性质得9≤(a＋b)2≤16,1≤(a-b)2≤4,所以-4≤-(a-b)2≤-1,
所以5≤(a＋b)2-(a-b)2≤15,≤ab≤,
a＋b>0,a-b>0,
,ab.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件:
(1)该函数图象过原点;
(2)当x＝-1时,y的值大于等于1且小于等于2;
(3)当x＝1时,y的值大于等于3且小于等于4,
求当x＝-2时,y的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点,
∴c＝0,∴y＝ax2＋bx.
由题意可得当x＝-1时,1≤a-b≤2.
当x＝1时,3≤a＋b≤4,
当x＝-2时,y＝4a-2b.
设存在实数m,n,
使得4a-2b＝m(a＋b)＋n(a-b),
即4a-2b＝(m＋n)a＋(m-n)b,
①
②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴
∴4a-2b＝(a＋b)＋3(a-b).
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a-b)≤6,
∴3＋3≤4a-2b≤4＋6.
即6≤4a-2b≤10,
故当x＝-2时,y的取值范围是大于等于6且小于等于10.作业9 等式与不等式
(分值:100分)
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为 (　　)
A.a＋b<0 B.a＋b>0
C.a＋b≤0 D.a＋b≥0
2.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 (　　)
A.30x-60≥400 B.30x＋60≥400
C.30x-60≤400 D.30x＋40≤400
3.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.某人月收入x(单位:元)不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的体重为x kg,小华的体重为y kg,则小明比小华重表示为“x>y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
4.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是 (　　)
A. B.
C. D.
5.若x∈R,y∈R,则 (　　)
A.x2＋y2>2xy-1 B.x2＋y2＝2xy-1
C.x2＋y2<2xy-1 D.x2＋y2≤2xy-1
6.已知0A.MN
C.M＝N D.M≥N
7.(5分)某商品包装上标有重量500±1克,若用x(单位:克)表示商品的重量,则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为　　　　　　　　.
8.(5分)若x＝(a＋3)(a-5),y＝(a＋2)(a-4),则x与y的大小关系是　　　　.
9.(10分)《铁路旅客运输规程》规定：
一、未实行车票实名制的，身高1.2米且不足1.5米的儿童应当购买儿童优惠票；达到1.5米的应买全价票.每一名持票成人旅客可免费带一名身高不足1.2米且不单独占用席位的儿童；超过一名时，超过的人数应买儿童优惠票.
…
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
文字 表述 身高1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号 表示
10.(11分)已知a＋b>0,试比较与的大小.
11.足球赛期间,某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A,B两个出租车队,A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车,每辆车坐5人,车不够,每辆车坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满.则A队有出租车 (　　)
A.11辆 B.10辆
C.9辆 D.8辆
12.(多选)下列不等式成立的是 (　　)
A.a2＋2>2a B.a2＋b2≥2(a-b-1)
C.a2＋b2≥ab D.＋1<
13.(5分)如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b的不等式表示出来为　　　　.
14.(5分)设P＝,Q＝-,R＝-,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列为　　　　.
15.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数,加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数,加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和,若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为 (　　)
A.9 B.12
C.15 D.18
16.(12分)某单位计划包车前往毛主席纪念堂参观.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
答案精析
1.C　2.B　3.BCD　4.D　5.A　
6.B　[M-N=a1a2-(a1+a2-1)
=a1a2-a1-a2+1
=a1(a2-1)-(a2-1)
=(a1-1)(a2-1)，
∵0∴-1∴M-N>0，∴M>N.]
7.|x-500|≤1　8.x9.解　
文字表述 身高1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示 1.2≤h<1.5 h≥1.5 h<1.2 P≤160
10.解　由+-=+=(a-b)=，
因为a+b>0，(a-b)2≥0，可得≥0，
所以+≥+.
11.B　12.ABC　13.>ab
14.P>R>Q
解析　∵P-R=-(-)
=2->0，
∴P>R.
R-Q=--(-)
=(+)-(+)，
∵(+)2=9+2，
(+)2=9+2，
∴+>+，∴R>Q，
∴P>R>Q.
15.C　[设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，
则又a，b，c∈N+，若c=1，则a+b≥3+2=5，不满足3c>a+b；若c=2，则a+b≥4+3=7，不满足3c>a+b；若c=3，则a+b≥5+4=9，不满足3c>a+b；若c=4，则a+b≥6+5=11，可能满足3c>a+b；则cmin=4，amin=6，bmin=5，
则(a+b+c)min=15.]
16.解　设该单位职工有n人(n∈N+)，全票价为x元，坐甲车队的车需花费y1元，坐乙车队的车需花费y2元.
由题意，得y1=x+x·(n-1)=x+nx，
y2=nx.
因为y1-y2=x+nx-nx
=x-nx=x，
当n=5时，y1=y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2，
所以，当单位去5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.作业10 不等式的基本性质
(分值:100分)
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是 (　　)
A.< B.<
C.a2|b|
2.设a,b∈R,若a＋|b|<0,则下列不等式中正确的是 (　　)
A.a-b>0 B.a3＋b3>0
C.a2-b2<0 D.a＋b<0
3.已知a＋b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小是 (　　)
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
4.若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是 (　　)
A.若a>b,c>d,则a＋b>c＋d
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,c
D.若a2>b2,则-a<-b
6.(多选)给出下列命题,其中正确的命题是 (　　)
A.若ac4>bc4,则a>b
B.若a>|b|,则a2>b2
C.若a>b,则a3>b3
D.若|a|>b,则a2>b2
7.(5分)已知1<α<3,-4<β<2,若z＝α-β,则z的取值范围是　　　　　　　　.
8.(5分)若a>b>0,则a＋　　　　b＋(用“<”“>”或“＝”填空).
9.(10分)判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若a(2)若ac3b;(2分)
(3)若a>b,且k∈N＋,则ak>bk;(3分)
(4)若a>b,b>c则a-b>b-c.(3分)
10.(12分)(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac(2)已知a>b>0,c(3)已知bc-ad≥0,bd>0,求证:.(4分)
11.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.已知x>y>z,x＋y＋z＝0,则下列不等式中一定成立的是 (　　)
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
13.有外表一样、重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
14.(5分)已知三个不等式:①ab>0;②>;③bc>ad.
若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成　　　　个正确命题.
15.已知1≤a-b≤2,3≤a＋b≤4,则ab的最大值为 (　　)
A. B.
C.3 D.4
16.(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件:
(1)该函数图象过原点;
(2)当x＝-1时,y的值大于等于1且小于等于2;
(3)当x＝1时,y的值大于等于3且小于等于4,
求当x＝-2时,y的取值范围.
答案精析
1.A　2.D　3.C　4.A　5.B　
6.ABC　[A一定成立；B一定成立；
C中，当a>b时，a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·>0成立；
D中，当b<0时，不一定成立.
如|2|>-3，
但22<(-3)2.]
7.　8.>
9.解　(1)∵a0，
∴>不一定成立，
∴推不出<，∴原命题是假命题.
(2)当c>0时，c3>0，∴a∴原命题是假命题.
(3)当a=1，b=-2，k=2时，ak∴原命题是假命题.
(4)当a=2，b=0，c=-3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a-b=2∴原命题是假命题.
10.证明　(1)因为a>b，c>0，
可得ac>bc，所以-ac<-bc，
又因为f(2)因为c-d>0，
又因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
可得>>0，
因为a>b>0，根据不等式的性质，
可得>，即<.
(3)因为bd>0，要证≤，
只需证明d(a+b)≤b(c+d)，
展开得ad+bd≤bc+bd，
即ad≤bc，即bc-ad≥0，
又因为bc-ad≥0，
所以≤.
11.A　12.C　13.A
14.3
解析　①② ③，③① ②(证明略)
由②得>0，
又由③得bc-ad>0，
所以ab>0 ①.
所以可以组成3个正确命题.
15.A　[4ab=(a+b)2-(a-b)2，
由不等式的性质得9≤(a+b)2≤16，1≤(a-b)2≤4，所以-4≤-(a-b)2≤-1，
所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15，
所以≤ab≤，
当且仅当且a+b>0，a-b>0，
即时，ab取得最大值为.]
16.解　∵二次函数y=ax2+bx+c图象过原点，
∴c=0，∴y=ax2+bx.
由题意可得当x=-1时，1≤a-b≤2. ①
当x=1时，3≤a+b≤4， ②
当x=-2时，y=4a-2b.
设存在实数m，n，
使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b)，
即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b，
∴
解得
∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
由①②可知3≤a+b≤4，3≤3(a-b)≤6，
∴3+3≤4a-2b≤4+6.
即6≤4a-2b≤10，
故当x=-2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.

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