资源简介

猪蹄模型—人教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(　　)
A． B． C． D．
2．（2024·潜江模拟）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（　　）
A．18° B．20° C．28° D．30°
3．（2023七上·丹江口期末）将一块直角三角尺如图放置，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
4．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
5．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2024七下·成都期中）如图，已知，和分别平分和，若，则　 　度．（用含m的代数式表示）
7．（2025八上·成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系：①　 　．②　 　．③　 　．④　 　．
8． 如图， 已知 ， 记 ， 则 　 　
三、解答题
9．（2024七下·广丰期中） 如图，∠AEC＝∠A＋∠C，试证明AB∥CD.
10．（2024七下·乐平期中）
（1）如图（1），，点在、外部，若，，则　 　.
（2）如图（2），，点在、内部，则，，之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，，直接写出的度数.
11．（2024八上·龙马潭开学考）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数．
（3）如图2，已知，平分，平分，．当点P、M在直线AC同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点P、M在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
12．（2023七下·文山期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
（1）导入：如图①，已知，如果，，则　 　；
（2）发现：如图②，直线，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）运用：如图③，已知在射线上运动（点与点三点不重合），，请用含的代数式表示，并说明理由．
13．（2022七下·桐城期末）同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
14．（2024七上·长春期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与．
（1）如图1，当点在直线，之间，且时，则　 　
（2）如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．
15．（2024七下·江夏月考）问题背景：如图1，已知AB∥CD，李老师说∠B，∠D，∠BED存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论，
（1）请直接写出∠B，∠D，∠BED存在的数量关系.
（2）问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图2七巧板，小芳同学发现∠A，∠P，∠B，∠C存在某种确定的数量关系，请写出你发现的∠A，∠P，∠B，∠C存在的数量关系，并写出证明过程.
（3）拓展应用：如图3，若∠PAQ=2∠CAQ，∠PBQ=2∠CBQ，∠C=α，∠Q=β，请直接写出∠P度数（用α，β表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：∵，∴
∵，
由M模型得：
故答案为：A．
【分析】根据“猪蹄”模型：已知AB//CD，得出∠B+∠D=∠E，可得，代数求解即可.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】本题考查的是角的和差运算，以及平行线的性质，先求得，在根据，利用两直线平行同旁内角互补，得到，进而求得的大小，得到答案.
4．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
6．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，
，
，
，，，，
设，，
，，
和分别平分和，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】过作，过作，由平行公理的推论可得，设，，根据平行线的性质可得，，代入 整理计算即可解答．
7．【答案】；；；
【知识点】三角形的外角性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：①过点作的平行线
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
②过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
③延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
④设直线和直线的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；．
【分析】①过点C作AB的平行线FG，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥FG∥ED，根据两直线平行，内错角相等，进行解答，即可；
②过点C作CF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CF∥ED，根据两直线平行，同旁内角互补，进行解答，即可；
③延长BC交ED于点F，根据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答；
④设直线BC和直线DE的交点为点F，根据两直线平行，同位角相等得∠B=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答即可.
8．【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
9．【答案】证明：如图，过点E作FE//AB，
所以∠A＝∠1，
又∵∠AEC＝∠A＋∠C，而∠AEC＝∠1＋∠2，
∴∠2＝∠C(等式性质)，
∴EF∥CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线平行) .
【知识点】猪蹄模型；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】如图：过点E作EF∥AB，由平行线的性质得到∠1=∠A，而∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，进而得到∠2=∠C，EF∥CD，最后得到AB∥CD.
10．【答案】（1）25
（2）解：。
证明：如图（2），过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠BPQ=∠B，∠DPQ=∠D，
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D；
（3）解：
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；猪蹄模型
【解析】【解答】解：（1）如图（1），过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠BPQ=∠B=40°，∠DPQ=∠D=15°，
∴∠BPD=25°；
故答案为：25；
（3）∠B+∠D=50°。
如图（3），连接BD ，
∵∠BMD+∠MBD+∠MDB=180°，
∴∠MBP+∠MDP=180°-(∠BMD+∠PBD+∠PDB)，
∵∠BPD=90°，
∴∠PBD+∠PDB=90°，
∵，
∴∠MBP+∠MDP=180°-（40°+90°）=50°。
【分析】（1）如图（1），过点P作PQ∥AB，首先根据平行线的性质可得出∠BPQ=∠B=40°，∠DPQ=∠D=15°，再根据两角之差，即可得出∠BPD=25°；
（2）如图（2），过点P作PQ∥AB，首先根据平行线的性质得出∠BPQ=∠B，∠DPQ=∠D，进而得出∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D；
（3）如图（3），连接BD ，根据三角形内角和定理，即可求得∠MBP+∠MDP=180°-（40°+90°）=50°。
11．【答案】解：（1）如图1，过P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴∠1=∠BAP=40°，∠2=∠PCD=30°，
∴∠APC=∠1+∠2=40°+30°=70°；
（2）如图2，延长交于点Q，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠AQC，
∴∠APC=∠DCP+∠PQC=∠DCP+∠BAP，
∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，
∴∠BAM=∠MAQ=∠BAP，∠PCM=∠DCM=∠PCD，
∴∠APC=2∠MAB+2∠DCM，
连接并延长到点R，
∠APR=∠PAM+∠AMP，∠RPC=∠MCP+∠PMC，
∴∠APC=∠APR+∠RPC=∠PAM+∠AMP+∠MCP+∠PMC
=∠BAP+∠PCD+（∠AMP+∠PMC）
=∠APC+∠AMC，
∴∠AMC=∠APC=×70°=35°.
【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
12．【答案】（1）105
（2）解：，
理由：过点作，
，
，
，
（3）解：（Ⅰ）当P在之间时，
，
由（2）的结论可得
，
，
，
（Ⅱ）当P在之间时，
过P作，
，
，
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题属于平行线知识点中典型的“猪蹄模型”，其它的还有“铅笔模型、臭脚模型和骨折模型”这几种几何模型，共同点都是过点构造辅助线，利用平行线的性质得出角的数量关系.
13．【答案】（1）70°D
（2）解：利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）解：∵，
∴∠CDF＝180°-∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°-∠CDG-∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】 (1)AB∥CD， 过点E做EF∥AB，则EF∥CD.EF将 ∠AEC 分为∠1和∠2上下两部分，∠A=∠1 （两直线平行，内错角相等），同理∠C=∠2，因此，∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C=42°+28°=70°(2)∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，AD⊥ BC，因此∠BEF =12∠BED=12 ×90°=45°(3)利用猪蹄模型可以求∠BAE+∠EDH，也可以通过三角形内角和180°来求，无论那种方法，都必须先求出∠BAE即∠EAG。∠BAE=∠EAG=12∠BAG=12 × 12∠CDF=12 × 12(180°-∠BCD)=14 (180°-56°)=31°由此可得∠AED=180°-31°-20°=129°
故答案为： (1)70°(2)∠BEF=45°(3)∠AED=129°
【分析】熟知猪蹄模型又叫M模型和铅笔模型及其结论，提高解题速度。
14．【答案】（1）80
（2）解：，理由如下：如图2，过作，
∵，
，
，，
，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）解：．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图1，过作，
∵，
，
，，
，
故答案为：80；
（3）解：如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）先过作，由，得到，，再根据，进行计算，即可得到答案；
（2）过作，根据，可得，，得到，同理可得，，结合角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解；
（3）过作，根据，可得，，得到，，结合角平分线的定义，得出，得到，即可求解．
（1）解：如图1，过作，
∵，
，
，，
，
故答案为：80；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
∵，
，
，，
，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∴．
15．【答案】（1）解：
（2）解：过点作，过点作
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型
【解析】【解答】（1）解：∠BED=∠B+∠D，理由如下：
如图，过点E作EM∥CD，
∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠D=∠DEM，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠B+∠D；
（3）∵∠PAQ=2∠CAQ，∠PBQ=2∠CBQ，
∴∠PAC=3∠CAQ，∠PBC=3∠CBQ，
∴∠PAC+∠PBC=3（∠CAQ+∠CBQ）
由（2）得∠P=∠PAC+∠PBC+∠C=∠PAC+∠PBC+α，
β=∠QAC+∠QBC+∠C=∠QAC+∠QBC+α，
∴∠P-α=∠PAC+∠PBC，3β-3α=3（∠QAC+∠QBC），
∴∠P-α=3β-3α，
解得：∠P=3β-2α.
故答案为：∠P=3β-2α.
【分析】（1）过点E作EM∥CD，则EM∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠B=∠BEM，∠D=∠DEM，然后由角的构成可得∠BED=∠B+∠D；
（2） 过点作AH∥BC，过点作PG∥BC，由平行线的性质和角的构成可求解；
（3）由题意和角的构成可求解.
1 / 1猪蹄模型—人教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
2．（2024·潜江模拟）如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（　　）
A．18° B．20° C．28° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：∵，∴
∵，
由M模型得：
故答案为：A．
【分析】根据“猪蹄”模型：已知AB//CD，得出∠B+∠D=∠E，可得，代数求解即可.
3．（2023七上·丹江口期末）将一块直角三角尺如图放置，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】本题考查的是角的和差运算，以及平行线的性质，先求得，在根据，利用两直线平行同旁内角互补，得到，进而求得的大小，得到答案.
4．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
5．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
二、填空题
6．（2024七下·成都期中）如图，已知，和分别平分和，若，则　 　度．（用含m的代数式表示）
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，
，
，
，，，，
设，，
，，
和分别平分和，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】过作，过作，由平行公理的推论可得，设，，根据平行线的性质可得，，代入 整理计算即可解答．
7．（2025八上·成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系：①　 　．②　 　．③　 　．④　 　．
【答案】；；；
【知识点】三角形的外角性质；猪蹄模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：①过点作的平行线
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
②过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
③延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
④设直线和直线的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；．
【分析】①过点C作AB的平行线FG，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥FG∥ED，根据两直线平行，内错角相等，进行解答，即可；
②过点C作CF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CF∥ED，根据两直线平行，同旁内角互补，进行解答，即可；
③延长BC交ED于点F，根据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答；
④设直线BC和直线DE的交点为点F，根据两直线平行，同位角相等得∠B=∠EFC，再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答即可.
8． 如图， 已知 ， 记 ， 则 　 　
【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
三、解答题
9．（2024七下·广丰期中） 如图，∠AEC＝∠A＋∠C，试证明AB∥CD.
【答案】证明：如图，过点E作FE//AB，
所以∠A＝∠1，
又∵∠AEC＝∠A＋∠C，而∠AEC＝∠1＋∠2，
∴∠2＝∠C(等式性质)，
∴EF∥CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线平行) .
【知识点】猪蹄模型；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】如图：过点E作EF∥AB，由平行线的性质得到∠1=∠A，而∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，进而得到∠2=∠C，EF∥CD，最后得到AB∥CD.
10．（2024七下·乐平期中）
（1）如图（1），，点在、外部，若，，则　 　.
（2）如图（2），，点在、内部，则，，之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，，直接写出的度数.
【答案】（1）25
（2）解：。
证明：如图（2），过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠BPQ=∠B，∠DPQ=∠D，
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D；
（3）解：
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；猪蹄模型
【解析】【解答】解：（1）如图（1），过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠BPQ=∠B=40°，∠DPQ=∠D=15°，
∴∠BPD=25°；
故答案为：25；
（3）∠B+∠D=50°。
如图（3），连接BD ，
∵∠BMD+∠MBD+∠MDB=180°，
∴∠MBP+∠MDP=180°-(∠BMD+∠PBD+∠PDB)，
∵∠BPD=90°，
∴∠PBD+∠PDB=90°，
∵，
∴∠MBP+∠MDP=180°-（40°+90°）=50°。
【分析】（1）如图（1），过点P作PQ∥AB，首先根据平行线的性质可得出∠BPQ=∠B=40°，∠DPQ=∠D=15°，再根据两角之差，即可得出∠BPD=25°；
（2）如图（2），过点P作PQ∥AB，首先根据平行线的性质得出∠BPQ=∠B，∠DPQ=∠D，进而得出∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D；
（3）如图（3），连接BD ，根据三角形内角和定理，即可求得∠MBP+∠MDP=180°-（40°+90°）=50°。
11．（2024八上·龙马潭开学考）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数．
（3）如图2，已知，平分，平分，．当点P、M在直线AC同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点P、M在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】解：（1）如图1，过P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴∠1=∠BAP=40°，∠2=∠PCD=30°，
∴∠APC=∠1+∠2=40°+30°=70°；
（2）如图2，延长交于点Q，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠AQC，
∴∠APC=∠DCP+∠PQC=∠DCP+∠BAP，
∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，
∴∠BAM=∠MAQ=∠BAP，∠PCM=∠DCM=∠PCD，
∴∠APC=2∠MAB+2∠DCM，
连接并延长到点R，
∠APR=∠PAM+∠AMP，∠RPC=∠MCP+∠PMC，
∴∠APC=∠APR+∠RPC=∠PAM+∠AMP+∠MCP+∠PMC
=∠BAP+∠PCD+（∠AMP+∠PMC）
=∠APC+∠AMC，
∴∠AMC=∠APC=×70°=35°.
【知识点】平行公理及推论；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
12．（2023七下·文山期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
（1）导入：如图①，已知，如果，，则　 　；
（2）发现：如图②，直线，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）运用：如图③，已知在射线上运动（点与点三点不重合），，请用含的代数式表示，并说明理由．
【答案】（1）105
（2）解：，
理由：过点作，
，
，
，
（3）解：（Ⅰ）当P在之间时，
，
由（2）的结论可得
，
，
，
（Ⅱ）当P在之间时，
过P作，
，
，
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题属于平行线知识点中典型的“猪蹄模型”，其它的还有“铅笔模型、臭脚模型和骨折模型”这几种几何模型，共同点都是过点构造辅助线，利用平行线的性质得出角的数量关系.
13．（2022七下·桐城期末）同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【答案】（1）70°D
（2）解：利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）解：∵，
∴∠CDF＝180°-∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°-∠CDG-∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】 (1)AB∥CD， 过点E做EF∥AB，则EF∥CD.EF将 ∠AEC 分为∠1和∠2上下两部分，∠A=∠1 （两直线平行，内错角相等），同理∠C=∠2，因此，∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C=42°+28°=70°(2)∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，AD⊥ BC，因此∠BEF =12∠BED=12 ×90°=45°(3)利用猪蹄模型可以求∠BAE+∠EDH，也可以通过三角形内角和180°来求，无论那种方法，都必须先求出∠BAE即∠EAG。∠BAE=∠EAG=12∠BAG=12 × 12∠CDF=12 × 12(180°-∠BCD)=14 (180°-56°)=31°由此可得∠AED=180°-31°-20°=129°
故答案为： (1)70°(2)∠BEF=45°(3)∠AED=129°
【分析】熟知猪蹄模型又叫M模型和铅笔模型及其结论，提高解题速度。
14．（2024七上·长春期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与．
（1）如图1，当点在直线，之间，且时，则　 　
（2）如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．
【答案】（1）80
（2）解：，理由如下：如图2，过作，
∵，
，
，，
，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）解：．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图1，过作，
∵，
，
，，
，
故答案为：80；
（3）解：如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）先过作，由，得到，，再根据，进行计算，即可得到答案；
（2）过作，根据，可得，，得到，同理可得，，结合角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解；
（3）过作，根据，可得，，得到，，结合角平分线的定义，得出，得到，即可求解．
（1）解：如图1，过作，
∵，
，
，，
，
故答案为：80；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
∵，
，
，，
，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∴．
15．（2024七下·江夏月考）问题背景：如图1，已知AB∥CD，李老师说∠B，∠D，∠BED存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论，
（1）请直接写出∠B，∠D，∠BED存在的数量关系.
（2）问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图2七巧板，小芳同学发现∠A，∠P，∠B，∠C存在某种确定的数量关系，请写出你发现的∠A，∠P，∠B，∠C存在的数量关系，并写出证明过程.
（3）拓展应用：如图3，若∠PAQ=2∠CAQ，∠PBQ=2∠CBQ，∠C=α，∠Q=β，请直接写出∠P度数（用α，β表示）.
【答案】（1）解：
（2）解：过点作，过点作
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型
【解析】【解答】（1）解：∠BED=∠B+∠D，理由如下：
如图，过点E作EM∥CD，
∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠D=∠DEM，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠B+∠D；
（3）∵∠PAQ=2∠CAQ，∠PBQ=2∠CBQ，
∴∠PAC=3∠CAQ，∠PBC=3∠CBQ，
∴∠PAC+∠PBC=3（∠CAQ+∠CBQ）
由（2）得∠P=∠PAC+∠PBC+∠C=∠PAC+∠PBC+α，
β=∠QAC+∠QBC+∠C=∠QAC+∠QBC+α，
∴∠P-α=∠PAC+∠PBC，3β-3α=3（∠QAC+∠QBC），
∴∠P-α=3β-3α，
解得：∠P=3β-2α.
故答案为：∠P=3β-2α.
【分析】（1）过点E作EM∥CD，则EM∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠B=∠BEM，∠D=∠DEM，然后由角的构成可得∠BED=∠B+∠D；
（2） 过点作AH∥BC，过点作PG∥BC，由平行线的性质和角的构成可求解；
（3）由题意和角的构成可求解.
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