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5.2.2　同角三角函数的基本关系
[学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
一、利用同角三角函数的基本关系求值
问题1　观察下表,你能发现什么
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
问题2　若P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,则角α的三个三角函数值之间有什么联系
知识梳理
同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α=　　;
商数关系:=　　　　　 .
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
角度1　直接利用基本关系式求值
例1　已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
反思感悟　(1)已知sin α(或cos α)求tan α常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.
角度2　利用弦切互化求值
例2　已知tan α=2.
(1)求的值;
(2)求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值.
反思感悟　已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法
(1)已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同除以cos α或cos2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的.
(2)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值.
跟踪训练1　(1)已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.
(2)已知tan α=-4,求.
二、sin θ±cos θ型求值问题
例3　已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),求sin θ-cos θ的值.
反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ,
利用该公式,已知其中一个,能求另外二个,即“知一求二”.
(2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值,要注意判断它们的符号.
跟踪训练2　已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　　.
三、利用同角三角函数的基本关系化简与证明
角度1　化简三角函数式
例4　化简:
(1);
(2)sin2αtan α++2sin αcos α.
反思感悟　利用同角三角函数基本关系化简的常用方法
(1)化切为弦,减少函数名称.
(2)对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,再去掉根号.
(3)对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以降幂化简.
角度2　三角恒等式的证明
例5　求证:=.
反思感悟　证明三角恒等式的常用方法
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异.
(4)变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等.
(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
跟踪训练3　(1)化简:+(1+tan2α)cos2α.
(2)求证:=.
1.知识清单:
(1)利用同角三角函数的基本关系求值.
(2)sin θ±cos θ型求值问题.
(3)利用同角三角函数的基本关系化简与证明.
2.方法归纳:由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区:忽视对角所在的象限进行分类讨论.
1.若α是第四象限角,tan α=-,则sin α等于(　　)
A. B.-
C. D.-
2.若tan α=2,则的值为(　　)
A.0 B.
C.1 D.
3.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于(　　)
A. B.-
C.- D.
4.若在△ABC中,sin A=,则A=　　　　.
答案精析
问题1　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，
即sin2α+cos2α=1.
知识梳理
1　tan α　
例1　解　∵cos α=-<0，
∴α是第二或第三象限角.
①当α是第二象限角时，则
sin α=
==，
tan α===-；
②当α是第三象限角时，则
sin α=-=-，tan α=.
例2　解　(1)方法一　(代入法)
∵tan α=2，∴=2，
∴sin α=2cos α.
∴=
=-.
方法二　(弦化切)
∵tan α=2.
∴=
===-.
(2)2sin2α-sin αcos α+cos2α
=
===.
跟踪训练1　(1)解　由tan α==，得sin α=cos α. ①
又sin2α+cos2α=1， ②
由①②得cos2α+cos2α=1，
即cos2α=.
又α是第三象限角，
则cos α=-，sin α=cos α=-.
(2)解　=
==.
例3　解　方法一　由sin θ+cos θ=，
得cos θ=-sin θ.
又sin2θ+cos2θ=1，
代入得sin2θ+=1，
整理得sin2θ-sin θ-=0，
即=0，
解得sin θ=-或sin θ=.
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ=.
所以cos θ=-sin θ=-=-，
sin θ-cos θ=-=.
方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ+cos θ=，两边平方，
整理得sin θcos θ=-<0，
所以cos θ<0，
所以sin θ-cos θ>0，
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=，
所以sin θ-cos θ=.
跟踪训练2　-
解析　∵sin α+cos α=， ①
∴(sin α+cos α)2=，
即2sin αcos α=-<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
∴α∈，
故sin α-cos α
=
=， ②
由①②可得sin α=，cos α=-，tan α=-.
例4　解　(1)原式=
==1.
(2)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α
=
==.
例5　证明　方法一　左边
=
=
=
=
==右边.
所以原等式成立.
方法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α
=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)
=cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)
=(1+sin α)(cos α-1+sin α)
=(1+sin α)(sin α+cos α-1)，
且sin α+cos α-1≠0，cos α≠0，
所以=.
跟踪训练3　(1)解　原式=+
cos2α
=+·cos2α
=1+1=2.
(2)证明　方法一　左边=
==
==右边.
所以原等式成立.
随堂演练
1.D　2.B　3.C　4.(共74张PPT)
第5章
<<<
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
学习目标
“一支竹篙啊,难渡汪洋海,众人划桨哟,开动大帆船,一棵小树呀,弱不禁风雨,百里森林哟,并肩耐岁寒,耐岁寒,一加十,十加百,百加千千万,你加我,我加你,大家心相连,同舟嘛共济海让路,号子嘛一喊浪靠边,百舸嘛争流千帆进,波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深,歌词中每一句都流露出了“团结就是力量,团结就是胜利”,就像是我们数学中的每一个知识点一样,彼此紧密联系,比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数,它们之间到底有什么样的联系呢,让我们一起去发现.
导 语
一、利用同角三角函数的基本关系求值
二、sin θ±cos θ型求值问题
课时对点练
三、利用同角三角函数的基本关系化简与证明
随堂演练
内容索引
一
利用同角三角函数的基本关系求值
观察下表,你能发现什么
问题1
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示　对于表格中的几个角,同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α
≠0),正弦与余弦的平方和等于1.
若P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,则角α的三个三角函数值之间有什么联系
问题2
提示　若余弦不为0,则正切等于正弦比余弦,即tan α=;因为点P在单位圆上,则由勾股定理得x2＋y2=1,即sin2α＋cos2α=1.
同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α＋cos2α= ;
商数关系:= .
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
1
tan α
(1)“同角”的含义,一是角相同,二是对任意一个角关系式都成立.
(2)对于sin2α＋cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈成立.
(3)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
注 意 点
<<<
　　　已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
例 1
角度1　直接利用基本关系式求值
∵cos α=-<0,
∴α是第二或第三象限角.
①当α是第二象限角时,则
sin α===,
tan α===-;
②当α是第三象限角时,则
sin α=-=-,tan α=.
(1)已知sin α(或cos α)求tan α常用以下方式求解
反
思
感
悟
(2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.
　　　已知tan α=2.
(1)求的值;
例 2
角度2　利用弦切互化求值
方法一　(代入法)
∵tan α=2,∴=2,
∴sin α=2cos α.
∴==-.
方法二　(弦化切)
∵tan α=2.
∴====-.
(2)求2sin2α-sin αcos α＋cos2α的值.
2sin2α-sin αcos α＋cos2α
=
===.
(1)已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同除以cos α或cos2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的.
(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值.
反
思
感
悟
已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法
　　　　　(1)已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.
跟踪训练 1
由tan α==,得sin α=cos α. ①
又sin2α＋cos2α=1, ②
由①②得cos2α＋cos2α=1,即cos2α=.
又α是第三象限角,
则cos α=-,sin α=cos α=-.
(2)已知tan α=-4,求.
=
==.
二
sin θ±cos θ型求值问题
　　　已知sin θ＋cos θ=,θ∈(0,π),求sin θ-cos θ的值.
例 3
方法一　由sin θ＋cos θ=,
得cos θ=-sin θ.
又sin2θ＋cos2θ=1,
代入得sin2θ＋=1,
整理得sin2θ-sin θ-=0,
即=0,
解得sin θ=-或sin θ=.
又θ∈(0,π),所以sin θ>0,故sin θ=.
所以cos θ=-sin θ==-,
sin θ-cos θ==.
方法二　因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,
又sin θ＋cos θ=,两边平方,
整理得sin θcos θ=-<0,所以cos θ<0,
所以sin θ-cos θ>0,
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1＋=,
所以sin θ-cos θ=.
反
思
感
悟
(1)(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ,
利用该公式,已知其中一个,能求另外二个,即“知一求二”.
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ-cos θ的值,要注意判断它们的符号.
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
　　　　　已知sin α＋cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　　.
跟踪训练 2
-
∵sin α＋cos α=, ①
∴(sin α＋cos α)2=,
即2sin αcos α=-<0,
又α∈(0,π),则sin α>0,cos α<0,∴α∈,
故sin α-cos α==, ②
由①②可得sin α=,cos α=-,tan α=-.
三
利用同角三角函数的基本关系化简与证明
　　　化简:
(1);
例 4
原式=
==1.
角度1　化简三角函数式
(2)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
原式=sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
=
==.
反
思
感
悟
(1)化切为弦,减少函数名称.
(2)对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,再去掉根号.
(3)对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以降幂化简.
利用同角三角函数基本关系化简的常用方法
　　　求证:=.
例 5
角度2　三角恒等式的证明
方法一　左边
=
=
==
==右边.
所以原等式成立.
方法二　因为(sin α-cos α＋1)cos α=sin αcos α-cos2α＋cos α
=sin αcos α＋cos α-(1-sin2α)
=cos α(sin α＋1)-(1＋sin α)(1-sin α)
=(1＋sin α)(cos α-1＋sin α)
=(1＋sin α)(sin α＋cos α-1),
且sin α＋cos α-1≠0,cos α≠0,
所以=.
反
思
感
悟
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异.
(4)变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等.
(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
证明三角恒等式的常用方法
　　　　　(1)化简:＋(1＋tan2α)cos2α.
跟踪训练 3
原式=cos2α
=·cos2α
=1＋1=2.
(2)求证:=.
方法一　左边=
==
==右边.
所以原等式成立.
1.知识清单:
(1)利用同角三角函数的基本关系求值.
(2)sin θ±cos θ型求值问题.
(3)利用同角三角函数的基本关系化简与证明.
2.方法归纳:由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区:忽视对角所在的象限进行分类讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若α是第四象限角,tan α=-,则sin α等于
A. B.-
C. D.-
√
1
2
3
4
因为tan α==-,
sin2α＋cos2α=1,
所以sin α=±.
因为α是第四象限角,
所以sin α=-.
2.若tan α=2,则的值为
A.0 B.
C.1 D.
1
2
3
4
√
==.
3.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于
A. B.-
C.- D.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
由题意得(sin α-cos α)2=,
即sin2α＋cos2α-2sin αcos α=,
又sin2α＋cos2α=1,
∴1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=-.
4.若在△ABC中,sin A=,则A=　　　　.
1
2
3
4
∵sin A=,
∴2sin2A=3cos A,
即2(1-cos2A)=3cos A,
解得cos A=或cos A=-2(舍去).
∵A为△ABC的内角,∴A=.
课时对点练
五
1.已知sin φ=-,且|φ|<,则tan φ等于
A.- B.
C.- D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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16
基础巩固
√
1
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3
4
5
6
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9
10
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13
14
15
16
∵sin φ=-,
∴cos2φ=1-sin2φ=1-=,
又|φ|<,即-<φ<,∴cos φ>0,
∴cos φ=,
∴tan φ===-.
2.(多选)已知sin θ=,cos θ=,则m的值可以为
A.0 B.4
C.6 D.8
1
2
3
4
5
6
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11
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15
16
√
根据同角三角函数的基本关系式sin2θ＋cos2θ=1,
将sin θ=,cos θ=代入,
解得m=0或m=8.
√
3.若tan α=2,则2sin αcos α等于
A.± B.-
C. D.
√
1
2
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4
5
6
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8
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16
2sin αcos α=
==.
1
2
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13
14
15
16
原式=sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
=sin2α＋cos2α=1.
4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是
A. B.
C.1 D.
√
5.已知=2,则sin θcos θ的值是
A. B.±
C. D.-
1
2
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14
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16
√
由 =2,得=2,
解得tan θ=3.
则sin θcos θ===.
6.(多选)下列计算或化简结果正确的有
A.若sin θcos θ=,则tan θ＋=2
B.若tan x=,则=1
C.若sin α=,则tan α=2
D.若α为第一象限角,则=2
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16
√
√
1
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12
13
14
15
16
A正确,tan θ＋===2;
B不正确,===2;
C不正确,∵α的范围不确定,
∴tan α的符号不确定;
D正确,∵α为第一象限角,
∴原式==2.
1
2
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16
7.若α是第三象限角且cos α=-,则sin α=　　　　,tan α=　　　　.
∵α是第三象限角且cos α=-,
∴sin α=-=-,
∴tan α==.
-
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16
8.若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ=　　　　.
∵0<θ<π,sin θcos θ=-<0,
∴sin θ>0,cos θ<0.
∴sin θ-cos θ>0.
∴sin θ-cos θ=
====.
9.已知tan α=,求下列各式的值.
(1);
1
2
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16
=
==.
(2).
1
2
3
4
5
6
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11
12
13
14
15
16
=
==.
1
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3
4
5
6
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8
9
10
11
12
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16
10.(1)化简:tan α(其中α为第二象限角);
因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
tan α =tan α =tan α
=·=·=-1.
1
2
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4
5
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16
(2)求证:·=1.
·
=·
=·===1.
11.化简(1-cos α)的结果是
A.sin α B.cos α
C.1＋sin α D.1＋cos α
1
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16
√
综合运用
原式=(1-cos α)
=(1-cos α)===sin α.
12.若=-,则的值是
A. B.-
C. D.-
1
2
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√
1
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3
4
5
6
7
8
9
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11
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13
14
15
16
由sin2α＋cos2α=1,得1-cos2α=sin2α,
∴=.
∵=-,∴=-,
即=-.
13.(多选)已知α∈R,sin α＋2cos α=,则tan α的值为
A.-3 B.-
C. D.3
1
2
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6
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√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
16
因为sin α＋2cos α=,
又sin2α＋cos2α=1,
联立解得
故tan α==-或3.
1
2
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5
6
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16
14.在△ABC中,若cos A＋sin A=,则cos A-sin A等于
A.± B.±
C.- D.
√
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2
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4
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16
因为cos A＋sin A=,
所以(cos A＋sin A)2=,
即sin2A＋2sin Acos A＋cos2A=,
所以1＋2sin Acos A=,
所以2sin Acos A=,
所以(cos A-sin A)2=cos2A-2sin Acos A＋sin2A=1-2sin Acos A=1-=,
1
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16
由2sin Acos A=>0,可得A∈,
当A∈时,cos A≥sin A,
则cos A-sin A=,
当A∈时,cos A则cos A-sin A=-,
综上,cos A-sin A=±.
15.已知关于x的方程2x2-(＋1)x＋m=0的两个根分别为sin θ和cos θ,θ∈
,则的值为　　　　.
1
2
3
4
5
6
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16
拓广探究
1
2
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6
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8
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由题意得
所以=
==sin θ＋cos θ=.
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16.已知方程8x2＋6kx＋2k＋1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;
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由题意得
由sin 2θ＋cos2θ=1及(sin θ＋cos θ)2=,
得1＋2sin θ·cos θ=,
所以1＋2×=,即9k2-8k-20=0,
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解得k=2或k=-.
当k=2时,8x2＋12x＋5=0,Δ<0,不符合题意,故舍去;
当k=-时,符合题意.
所以k=-.
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(2)求sin θ-cos θ的值.
由(1)得sin θ＋cos θ=,sin θ·cos θ=-.
则(sin θ-cos θ)2=sin2θ＋cos2θ-2sin θ·cos θ
=1＋2×=,
所以sin θ-cos θ=±.作业48　同角三角函数的基本关系
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分
　　　　　　　　
1.已知sin φ=-,且|φ|<,则tan φ等于(　　)
A.- B.
C.- D.
2.(多选)已知sin θ=,cos θ=,则m的值可以为(　　　　)
A.0 B.4
C.6 D.8
3.若tan α=2,则2sin αcos α等于 (　　)
A.± B.-
C. D.
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 (　　)
A. B.
C.1 D.
5.已知=2,则sin θcos θ的值是(　　)
A. B.±
C. D.-
6.(多选)下列计算或化简结果正确的有(　　　　)
A.若sin θcos θ=,则tan θ+=2
B.若tan x=,则=1
C.若sin α=,则tan α=2
D.若α为第一象限角,则+=2
7.若α是第三象限角且cos α=-,则sin α=　　　　,tan α=　　　　.
8.若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ=　　　　.
9.(10分)已知tan α=,求下列各式的值.
(1)+;(5分)
(2).(5分)
10.(10分)(1)化简:tan α(其中α为第二象限角);(5分)
(2)求证:·=1.(5分)
11.化简(1-cos α)的结果是(　　)
A.sin α B.cos α
C.1+sin α D.1+cos α
12.若=-,则的值是(　　)
A. B.-
C. D.-
13.(多选)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan α的值为(　　　　)
A.-3 B.-
C. D.3
14.在△ABC中,若cos A+sin A=,则cos A-sin A等于(　　)
A.± B.±
C.- D.
15.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两个根分别为sin θ和cos θ,θ∈,则+的值为　　　　.
16.(12分)已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;(7分)
(2)求sin θ-cos θ的值.(5分)
答案解析
1.C　2.AD　3.D　4.C　5.C
6.AD　[A正确，tan θ+=+
==2；
B不正确，===2；
C不正确，∵α的范围不确定，
∴tan α的符号不确定；
D正确，∵α为第一象限角，
∴原式=+=2.]
7.-　　8.
9.解　(1)+
=+
=+=.
(2)=
==.
10.(1)解　因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
tan α =tan α
=tan α
=·=·=-1.
(2)证明　·
=·
=·===1.
11.A　12.D　13.BD
14.A　[因为cos A+sin A=，
所以(cos A+sin A)2=，
即sin2A+2sin Acos A+cos2A=，
所以1+2sin Acos A=，
所以2sin Acos A=，
所以(cos A-sin A)2=cos2A-2sin Acos A+sin2A=1-2sin Acos A=1-=，
由2sin Acos A=>0，
可得A∈，
当A∈时，cos A≥sin A，
则cos A-sin A=，
当A∈时，cos A则cos A-sin A=-，
综上，cos A-sin A=±.]
15.
解析　由题意得
所以+
=+
==sin θ+cos θ=.
16.解　(1)由题意得
由sin 2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=，
得1+2sin θ·cos θ=，
所以1+2×=，
即9k2-8k-20=0，
解得k=2或k=-.
当k=2时，8x2+12x+5=0，Δ<0，不符合题意，故舍去；
当k=-时，符合题意.
所以k=-.
(2)由(1)得sin θ+cos θ=，
sin θ·cos θ=-.
则(sin θ-cos θ)2
=sin2θ+cos2θ-2sin θ·cos θ
=1+2×=，
所以sin θ-cos θ=±.

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