资源简介

5.2.3　诱导公式
第1课时　诱导公式(一)
[学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
一、诱导公式一~四
问题1　终边相同的角的三角函数值有何关系
问题2　观察下图,思考我们是如何定义三角函数的
问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标,你能根据三角函数的定义探究角α与角π+α的三角函数值之间的关系吗 根据探究思路,再思考一下α与π-α,α与-α的关系
知识梳理
诱导公式一~四
终边关系 图示 公式
公式一 角α+2kπ与角α的终边相同 sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)= cos α, tan(α+2kπ)=tan α,其中k∈Z
公式二 角-α与角α的终边关于　　　　轴对称 sin(-α)=　　　　, cos(-α)=　　　　, tan(-α)=　　　
公式三 角π+α与角α的终边关于　　　　对称 sin(π+α)=　　　　, cos(π+α)=　　　　, tan(π+α)=　　　
公式四 角π-α与角α的终边关于　　　轴对称 sin(π-α)=　　　　, cos(π-α)=　　　　, tan(π-α)=　　　
例1　求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°;
(2)cos;
(3)tan(-945°).
反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”:用公式一或二来转化.
(2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”:用公式三或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1　(1)sin 750°=　　　　　;
cos(-2 040°)=　　　　;
(2)计算:sin-cos=　　　　.
二、利用公式进行化简
例2　化简:(1);
(2).
反思感悟　三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的代换:1=sin2α+cos2α=tan .
跟踪训练2　化简:.
三、给值(式)求值
例3　已知cos=,则cos=　　　　.
延伸探究
1.若本例中的条件不变,如何求cos
2.若本例中的条件不变,求cos-sin2的值.
反思感悟　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
跟踪训练3　(1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是 (　　)
A.- B.
C.± D.
(2)已知sin=-,且θ∈,则cos=　　　　.
1.知识清单:
(1)特殊关系角的终边对称性.
(2)诱导公式一~四及其应用.
2.方法归纳:公式法、角的构造.
3.常见误区:符号的确定.
1.sin 780°+tan 240°的值是(　　)
A. B.
C.+ D.-+
2.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(　　)
A. B.-
C.± D.
3.化简:·tan(2π-α)=　　　　.
4.=　　　　.
答案精析
问题1　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z.
问题2　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β=(π+α)+2kπ，k∈Z.
问题3　设P1(x，y)，则P2(-x，-y)，根据三角函数的定义可知，y=sin α，x=cos α，=tan α(x≠0)，sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x，tan(π+α)=.所以sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α.
知识梳理
x　-sin α　cos α　-tan α　原点　-sin α　-cos α　tan α　y　sin α　-cos α　-tan α
例1　解　(1)方法一　sin 1 320°
=sin(240°+3×360°)
=sin 240°=sin(180°+60°)
=-sin 60°=-.
方法二　sin 1 320°=sin(-120°+4×360°)
=sin(-120°)=-sin(180°-60°)
=-sin 60°=-.
(2)方法一　cos=cos=cos
=cos=-cos=-.
方法二　cos=cos
=cos=-cos=-.
(3)tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
跟踪训练1　(1)　-　(2)1
例2　解　(1)原式=
===1.
(2)原式=
===-1.
跟踪训练2　解　原式=
=·=1.
例3　-
解析　cos=cos
=-cos=-.
延伸探究
1.解　cos=cos
=cos
=cos=.
2.解　sin2=sin2
=1-cos2
=1-=，
所以cos-sin2
=--
=-.
跟踪训练3　(1)B
(2)-
解析　cos=cos
=-cos，
∵θ∈，
∴θ-∈，
∴cos>0，
即cos==，
∴cos=-.
随堂演练
1.A　2.B　3.-1　4.-2(共68张PPT)
第5章
<<<
第1课时
诱导公式(一)
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
学习目标
在前面的学习中,我们知道一些特殊的锐角以及特殊的0°~360°角的三角函数值,我们能否把任意角转化为0°~360°或者锐角的三角函数值呢 这是我们今天要学习的内容.
导 语
一、诱导公式一~四
二、利用公式进行化简
课时对点练
三、给值(式)求值
随堂演练
内容索引
一
诱导公式一~四
提示　由三角函数的定义,可以知道,终边相同的角的同一三角函数值相等,即sin(α＋2kπ)=sin α,cos(α＋2kπ)=cos α,tan(α＋2kπ)=tan α,其中k∈Z.
终边相同的角的三角函数值有何关系
问题1
提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标,终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知,点P1与P2关于原点对称,点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数,以OP2为终边的角β可以表示成β=(π＋α)＋2kπ,k∈Z.
观察下图,思考我们是如何定义三角函数的
问题2
提示　设P1(x,y),则P2(-x,-y),根据三角函数的定义可知,y=sin α,x=cos α,
=tan α(x≠0),sin(π＋α)=-y,cos(π＋α)=-x,tan(π＋α)=.所以sin(π＋α)=-sin α,
cos(π＋α)=-cos α,tan(π＋α)=tan α.
知道了终边与单位圆的交点坐标,你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗 根据探究思路,再思考一下α与π-α,α与-α的关系
问题3
诱导公式一~四
终边关系 图示 公式
公式一 角α＋2kπ与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)=sin α,
cos(α＋2kπ)= cos α,
tan(α＋2kπ)=tan α,
其中k∈Z
终边关系 图示 公式
公式二 角-α与角α的终边关于 轴对称 sin(-α)= ,
cos(-α)= ,
tan(-α)=_______
公式三 角π＋α与角α的终边关于 对称 sin(π＋α)= ,
cos(π＋α)= ,
tan(π＋α)=______
-sin α
cos α
-tan α
x
原点
-sin α
-cos α
tan α
终边关系 图示 公式
公式四 角π-α与角α的终边关于 轴对称 sin(π-α)= ,
cos(π-α)= ,
tan(π-α)=_______
y
sin α
-cos α
-tan α
(1)函数名称不变.
(2)运用公式时把α“看作”锐角来确定符号.
(3)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠＋kπ,k∈Z.
注 意 点
<<<
　　　求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°;
例 1
方法一　sin 1 320°=sin(240°＋3×360°)
=sin 240°=sin(180°＋60°)=-sin 60°=-.
方法二　sin 1 320°=sin(-120°＋4×360°)
=sin(-120°)=-sin(180°-60°)
=-sin 60°=-.
(2)cos;
方法一　cos=cos =cos
=cos=-cos =-.
方法二　cos=cos
=cos=-cos =-.
(3)tan(-945°).
tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°＋2×360°)
=-tan 225°=-tan(180°＋45°)
=-tan 45°=-1.
(1)“负化正”:用公式一或二来转化.
(2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”:用公式三或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
反
思
感
悟
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
　　　　　(1)sin 750°=　　;cos(-2 040°)=　　　;
跟踪训练 1
sin 750°=sin(30°＋2×360°)
=sin 30°=.
cos(-2 040°)=cos 2 040°=cos(240°＋5×360°)
=cos 240°=cos(180°＋60°)=-cos 60°=-.
(2)计算:sin-cos=　　.
原式=-sin-cos
=-sin-cos
=sin ＋cos ==1.
二
利用公式进行化简
　　　化简:(1);
例 2
原式=
===1.
(2).
原式=
===-1.
反
思
感
悟
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的代换:1=sin2α＋cos2α=tan .
三角函数式化简的常用方法
　　　　　化简:.
跟踪训练 2
原式=
=·=1.
三
给值(式)求值
　　　已知cos=,则cos=　　　　.
例 3
-
cos=cos
=-cos=-.
1.若本例中的条件不变,如何求cos
延伸探究
cos=cos
=cos
=cos=.
2.若本例中的条件不变,求cos-sin2的值.
sin2=sin2
=1-cos2
=1-=,
所以cos-sin2=-=-.
反
思
感
悟
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
解决条件求值问题的策略
　　　　　(1)已知sin(π＋α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是
A.- B.
C.± D.
跟踪训练 3
√
由sin(π＋α)=,得sin α=-,
因为α是第四象限角,
所以cos(α-2π)=cos α==.
(2)已知sin=-,且θ∈,则cos=　　　　.
-
cos=cos
=-cos,
∵θ∈,∴θ-∈,
∴cos>0,
即cos==,
∴cos=-.
1.知识清单:
(1)特殊关系角的终边对称性.
(2)诱导公式一~四及其应用.
2.方法归纳:公式法、角的构造.
3.常见误区:符号的确定.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.sin 780°＋tan 240°的值是
A. B.
C. D.-
√
sin 780°＋tan 240°=sin 60°＋tan(180°＋60°)
=＋tan 60°==.
2.已知sin(π＋α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是
A. B.-
C.± D.
1
2
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4
√
1
2
3
4
因为sin(π＋α)=-sin α=,
所以sin α=-.又α是第四象限角,
所以cos α=,
所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.
3.化简:·tan(2π-α)=　　　　.
1
2
3
4
原式=·tan(-α)
=·(-tan α)=-·tan α=-1.
-1
4.=　　　　.
1
2
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4
原式=
=
===-2.
-2
课时对点练
五
1.sin 585°的值是
A.- B.
C. D.-
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基础巩固
√
sin 585°=sin(360°＋225°)=sin 225°
=sin(180°＋45°)=-sin 45°=-.
2.在△ABC中,cos(A＋B)的值等于
A.cos C B.-cos C
C.sin C D.-sin C
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√
由于A＋B＋C=π,
所以A＋B=π-C.
所以cos(A＋B)=cos(π-C)=-cos C.
3.(多选)已知sin(π-α)=,则cos(α-2 024π)的值为
A. B.-
C. D.-
√
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∵sin(π-α)=,∴sin α=,
∴cos(α-2 024π)=cos α=±=±.
√
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4.(多选)已知tan θ=3sin(θ-π),则cos θ等于
A.-1 B.-
C. D.1
√
√
√
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16
∵tan θ=3sin(θ-π),
∴=-3sin θ,
若sin θ=0,则cos θ=1或-1,
若sin θ≠0,则cos θ=-.
5.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于
A. B.-
C. D.-
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∵sin(-110°)=-sin 110°
=-sin(180°-70°)
=-sin 70°=a,
∴sin 70°=-a,
∴cos 70°==,
∴tan 70°==-.
6.已知sin(-π-α)=,且α为第二象限角,则等于
A.- B.
C. D.-
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∵sin(-π-α)=,
∴-sin(π＋α)=,∴sin α=,
∵α为第二象限角,∴cos α=-,
∴==cos α=-.
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7.计算:sincos =　　　　.
原式=-sin
=-sin ·=sin ·cos =.
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8.已知sin=,则sin=　　,cos·cos=　　　.
-
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sin=sin
=-sin=-,
cos·cos
=cos·cos
=cos2
=1-sin2=.
9.化简:(1);
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=
==-cos2α.
(2).
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==-cos α.
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10.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
f(α)==-cos α.
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(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值;
∵sin(α-π)=-sin α=,
∴sin α=-.又α是第三象限角,
∴cos α=-.∴f(α)=.
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(3)若α=-,求f(α)的值.
∵α=-=-6×2π＋,
∴f(α)=f=-cos
=-cos =-cos =-.
11.(多选)已知A=(k∈Z),则A的值是
A.-1 B.-2
C.1 D.2
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16
√
综合运用
√
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16
当k=2n,n∈Z时,
A=
==2,
当k=2n＋1,n∈Z时,
A=
==-2.
12.已知sin=,且α∈,则cos的值为
A. B.-
C. D.-
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√
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16
∵sin=sin
=sin=,
且α∈,
∴-α∈,
∴cos==.
13.已知角α的终边与单位圆交于点P,则=
　　　.
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=
===tan α,
因为角α的终边与单位圆交于点P,
所以tan α=-,
所以=-.
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14.已知a=tan,b=cos ,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　.
(用“>”连接)
b>a>c
因为a=-tan =-,
b=cos =cos =,
c=sin=-sin =-,
所以b>a>c.
15.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形,由此
我们可得sin 198°=　　　　.
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拓广探究
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如图,在△ABC中,A=36°,AB=AC,点D为BC的中点,底与腰之比为黄金分割比,
所以∠BAD=18°,=,
所以sin∠BAD==
=·==sin 18°,
所以sin 198°=-sin 18°=-.
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16.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
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由题意得sin A=sin B,
cos A=cos B,
等式两边分别平方并相加得
2cos2A=1,cos A=±,
又因为A∈(0,π),所以A=.
当A=时,cos B=-<0,所以B∈,
所以A,B均为钝角,不符合题意,舍去.
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所以A=,cos B=,
所以B=,所以C=.
综上所述,A=,B=,C=.第2课时　诱导公式(二)
[学习目标]　1.在诱导公式一~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
一、诱导公式五、六
问题1　若角α的终边OM与单位圆交于点P(x,y),你能得出角-α的终边OM1与单位圆的交点P1的坐标吗
问题2　角-α的三角函数值,能否化为α的三角函数值计算
知识梳理
1.诱导公式五
sin=　　　　　,
cos=　　　　　,
sin=　　　　　,
cos=　　　　　.
2.诱导公式六
tan===　　　,
tan===　　　　　.
例1　(1)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin等于(　　)
A. B.-
C. D.-
(2)已知sin=,且0<α<,则sin等于(　　)
A.- B.
C.- D.
延伸探究
1.将本例(2)的条件改为sin=,求cos的值.
2.将本例(2)中的“0<α<”改为“α是第三象限角”,求sin的值.
反思感悟　利用诱导公式求值的策略
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)常见的互余的角:-α与+α,+α与-α等,常见的互补的角:+α与-α,+α与-α,+α与-α等.
跟踪训练1　(1)已知cos=,则sin等于(　　)
A. B.-
C. D.-
(2)已知sin=,则cos=　　　.
二、利用诱导公式化简
例2　若tan θ=2,求+的值.
反思感悟　用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少;
(2)函数的种类尽可能的少;
(3)分母尽可能不含三角函数的符号;
(4)能求值的一定要求值;
(5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等降次.
跟踪训练2　化简:·sin(α-π)·tan.
三、诱导公式的综合应用
例3　已知在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P,且cos α=-≠0.
(1)求m;
(2)当m<0时,求的值.
反思感悟　诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,利用平方和差、立方和差公式.
跟踪训练3　已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求·tan2(π-α)的值.
1.知识清单:
(1)诱导公式五、六.
(2)利用诱导公式进行化简、求值.
2.方法归纳:公式法、角的构造.
3.常见误区:函数符号的变化,角与角之间的联系与构造.
1.已知cos 78°≈0.20,那么sin 12°约等于(　　)
A.0.20 B.0.80
C.0.88 D.0.95
2.已知sin θ=,则cos(450°+θ)的值是(　　)
A. B.-
C.- D.
3.已知sin=,则cos的值等于(　　)
A. B.-
C. D.-
4.化简:=　　　　.
答案精析
问题1　如图，由于角α与角-α的平均值为=，
因此角α的终边OM与角-α的终边OM1关于∠xON=的终边ON所在直线y=x对称，则点P与P1关于直线y=x对称，可以求得点P1的坐标为(y，x).
问题2　sin=cos α，
cos=sin α，当α的终边不在坐标轴上时，
tan==.
知识梳理
1.cos α　sin α　cos α　-sin α
2.　-
例1　(1)D　[因为角α的终边位于第二象限且sin α=，
则cos α=-=-，
所以sin=cos α=-.]
(2)B　[∵sin=，0<α<，
∴-<-α<，
∴cos==，
∴sin=sin=cos=.]
延伸探究
1.解　cos=cos
=-sin=-.
2.解　因为α是第三象限角，所以-α是第二象限角，又sin=，
所以-α是第二象限角，
所以cos=-，
所以sin=sin
=-sin
=-cos=.
跟踪训练1　(1)A　[由cos=，
得sin=cos=cos=.]
(2)-
例2　解　因为tan θ=2，
所以原式=
+
=+
==
==2+
=2+=.
跟踪训练2　解　原式=·(-sin α)·
=·(-sin α)·
=·(-sin α)·=-sin α.
例3　解　(1)因为角α的终边经过点P，且cos α=-≠0，
所以cos α=-=≠0，
则=3，即m2-m-2=0，解得m=2或-1，经检验，符合题意.
(2)当m<0时，m=-1，
则tan α===2，
所以==-=-.
跟踪训练3　解　方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2，
又α是第三象限角，所以sin α=-.
所以cos α=-，tan α==，
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α
=-tan2α=-.
随堂演练
1.A　2.B　3.D　4.cos α(共69张PPT)
第5章
<<<
第2课时
诱导公式(二)
1.在诱导公式一~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
学习目标
前面的学习中,我们定义了三角函数,并推出了一组神奇的公式,利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,这节课,我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘.
导 语
一、诱导公式五、六
二、利用诱导公式化简
课时对点练
三、诱导公式的综合应用
随堂演练
内容索引
一
诱导公式五、六
提示　如图,由于角α与角-α的平均值为=,因此角α的终边OM与角-α的终边OM1关于∠xON=的终边ON所在直线y=x对称,则点P与P1关于直线y=x对称,可以求得点P1的坐标为(y,x).
若角α的终边OM与单位圆交于点P(x,y),你能得出角-α的终边OM1与单位圆的交点P1的坐标吗
问题1
提示　sin=cos α,cos=sin α,当α的终边不在坐标轴上时,tan==.
角-α的三角函数值,能否化为α的三角函数值计算
问题2
1.诱导公式五
sin= ,cos= ,
sin= ,cos= .
cos α
sin α
cos α
-sin α
2.诱导公式六
tan===_______,
tan===________.
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来记忆.
(2)关于角α与α＋2kπ(k∈Z),-α,π±α,±α的三角函数的关系式,都称为诱导公式.
注 意 点
<<<
　　　(1)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin等于
A. B.-
C. D.-
例 1
√
因为角α的终边位于第二象限且sin α=,
则cos α=-=-,所以sin=cos α=-.
(2)已知sin=,且0<α<,则sin等于
A.- B.
C.- D.
√
∵sin=,0<α<,
∴-<-α<,
∴cos==,
∴sin=sin=cos=.
1.将本例(2)的条件改为sin=,求cos的值.
延伸探究
cos=cos
=-sin=-.
2.将本例(2)中的“0<α<”改为“α是第三象限角”,求sin的值.
因为α是第三象限角,所以-α是第二象限角,又sin=,
所以-α是第二象限角,
所以cos=-,
所以sin=sin
=-sin=-cos=.
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)常见的互余的角:-α与＋α,＋α与-α等,常见的互补的角:＋α与-α,＋α与-α,＋α与-α等.
反
思
感
悟
利用诱导公式求值的策略
　　　　　(1)已知cos=,则sin等于
A. B.-
C. D.-
跟踪训练 1
√
由cos=,
得sin=cos=cos=.
(2)已知sin=,则cos=　　　.
因为sin=cos α=,
所以cos=-cos α=-.
-
二
利用诱导公式化简
　　　若tan θ=2,求＋的值.
例 2
因为tan θ=2,所以
原式=
===
==2＋=2＋=.
反
思
感
悟
(1)化简后项数尽可能的少;
(2)函数的种类尽可能的少;
(3)分母尽可能不含三角函数的符号;
(4)能求值的一定要求值;
(5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等降次.
用诱导公式进行化简时的注意点
　　　　　化简:·sin(α-π)·tan.
跟踪训练 2
原式=·(-sin α)·
=·(-sin α)·
=·(-sin α)·=-sin α.
三
诱导公式的综合应用
　　　已知在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P,且cos α
=-≠0.
(1)求m;
例 3
因为角α的终边经过点P,且cos α=-≠0,
所以cos α=-=≠0,
则=3,即m2-m-2=0,解得m=2或-1,经检验,符合题意.
(2)当m<0时,求的值.
当m<0时,m=-1,则tan α===2,
所以==-=-.
反
思
感
悟
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,利用平方和差、立方和差公式.
诱导公式综合应用要“三看”
　　　　　已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求·tan2(π-α)的值.
跟踪训练 3
方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,
又α是第三象限角,所以sin α=-.
所以cos α=-,tan α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α=-.
1.知识清单:
(1)诱导公式五、六.
(2)利用诱导公式进行化简、求值.
2.方法归纳:公式法、角的构造.
3.常见误区:函数符号的变化,角与角之间的联系与构造.
随堂演练
四
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1.已知cos 78°≈0.20,那么sin 12°约等于
A.0.20 B.0.80
C.0.88 D.0.95
√
sin 12°=sin(90°-78°)=cos 78°≈0.20.
2.已知sin θ=,则cos(450°＋θ)的值是
A. B.-
C.- D.
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√
cos(450°＋θ)=cos(90°＋θ)=-sin θ=-.
3.已知sin=,则cos的值等于
A. B.-
C. D.-
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√
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∵sin=-sin
=-sin=-cos=,
∴cos=-.
4.化简:=　　　　.
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==cos α.
cos α
课时对点练
五
1.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于
A.a B.-a
C.a2 D.
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基础巩固
√
cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
2.已知sin=-,则cos α的值为
A. B.
C.- D.-
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√
∵sin=sin
=-sin=-cos α=-,
∴cos α=.
3.(多选)下列与cos的值相等的是
A.sin(π-θ) B.sin(π＋θ)
C.cos D.cos
√
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因为cos=-cos=-sin θ,
sin(π-θ)=sin θ,sin(π＋θ)=-sin θ,
cos=sin θ,
cos=-sin θ,
所以B,D项与cos的值相等.
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4.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-,则cos(270°-α)＋2sin(360°-α)的值为
A.- B.-
C. D.
√
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由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-2sin α=-,
得sin α=,
cos(270°-α)＋2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-.
5.化简sin·cos·tan的结果是
A.1 B.sin2α
C.-cos2α D.-1
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因为sin=cos α,
cos=cos=-sin α,
tan==,
所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α.
6.(多选)下列结论正确的有
A.sin=cos
B.cos＋sin=0
C.sin2＋cos2=1
D.sin2＋sin2=1
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对于A项,sin=sin
=cos=cos,A正确;
对于B项,因为cos=cos
=-sin
=-sin=-sin,
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所以cos＋sin=0,B正确;
对于C项,因为sin=sin[90°-(75°＋α)]
=cos,
所以sin2＋cos2
=2cos2≠1,C错误;
对于D项,sin2＋sin2
=cos2＋sin2=1,D正确.
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7.已知cos=,则sin=　　　　.
sin=sin
=cos=.
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8.若cos α=,且α是第四象限角,则tan=　　　　.
由题意得sin α=-=-,
所以tan=tan=-
=-=-=.
9.已知sin=.
(1)求cos的值;
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cos=cos
=sin=.
(2)若-<α<,求cos的值.
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sin=sin
=sin=,
若-<α<,则0<α＋<,
所以cos===.
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10.已知角α的终边经过点P(m,2),sin α=且α为第二象限角.
(1)求m的值;
由三角函数的定义可知
sin α==,解得m=±1.
∵α为第二象限角,
∴m=-1.
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(2)若tan β=,求的值.
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由(1)知tan α=-2,
又tan β=,
∴
=-
=-
=-=.
11.(多选)已知角α的顶点为平面直角坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合,则下列结论正确的是
A.sin α= B.tan α=-
C.sin β= D.cos β=-
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综合运用
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依题意,sin α=-,cos α=,tan α=-,A错误,B正确;
又β=＋α,因此sin β=sin=cos α=,cos β=cos=-sin α=,C正确,D错误.
12.在△ABC中,若cos =,则cos 的值为
A.± B.±
C. D.
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在△ABC中,A＋B＋C=π,
∴=,
∴cos =cos=sin =.
又∈,
∴cos =.
13.已知tan θ=2,则=　　　,tan=　　　　.
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tan=-=-.
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14.sin2＋sin2=　　　.
1
sin2＋sin2
=sin2＋sin2
=sin2＋cos2=1.
15.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ＋φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是
A.sin β= B.cos(π＋β)=
C.tan β= D.tan β=
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拓广探究
√
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∵sin(π＋α)=-sin α=-,
∴sin α=,cos α=±,
∴若α＋β=,则β=-α.
对于A,sin β=sin=cos α可能成立,角β可能与角α“广义互余”,故A符合条件;
对于B,cos(π＋β)=-cos=-sin α=-,故B不符合条件;
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对于C,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β＋cos2β=1,故sin β=±,故C符合条件;
对于D,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β＋cos2β=1,故sin β=±,故D不符合条件.
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16.已知f(α)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
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f(α)=
=
==sin α.
所以f(α)=sin α=-,
因为α∈(0,2π),
所以α=或α=.
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(2)若f(α)-f=,且α∈,求tan α的值.
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由(1)知,f(α)=sin α,
所以f(α)-f=sin α-sin
=sin α＋cos α=,
所以sin α=-cos α,
所以cos2α＋=1,
即(5cos α-4)(5cos α＋3)=0,
可得cos α=或cos α=-.
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因为α∈,
所以cos α=-,
所以sin α=-cos α==.
所以tan α==×=-.作业49　诱导公式(一)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共18分
1.sin 585°的值是(　　)
A.- B.
C. D.-
2.在△ABC中,cos(A+B)的值等于(　　)
A.cos C B.-cos C
C.sin C D.-sin C
3.(多选)已知sin(π-α)=,则cos(α-2 024π)的值为(　　　　)
A. B.-
C. D.-
4.(多选)已知tan θ=3sin(θ-π),则cos θ等于(　　　　)
A.-1 B.-
C. D.1
5.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于(　　)
A. B.-
C. D.-
6.已知sin(-π-α)=,且α为第二象限角,则等于(　　)
A.- B.
C. D.-
7.计算:sincos =　　　　.
8.已知sin=,则sin=　　　　,cos·cos=　　　　.
9.(10分)化简:(1);(5分)
(2).(5分)
10.(10分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);(2分)
(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值;(4分)
(3)若α=-,求f(α)的值.(4分)
11.(多选)已知A=+(k∈Z),则A的值是(　　　　)
A.-1 B.-2
C.1 D.2
12.已知sin=,且α∈,则cos的值为(　　)
A. B.-
C. D.-
13.已知角α的终边与单位圆交于点P,则=　　　　.
14.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　. (用“>”连接)
15.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形,由此我们可得sin 198°=　　　　.
16.(12分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
答案解析
1.A　2.B　3.AB　4.ABD　5.B
6.A　[∵sin(-π-α)=，
∴-sin(π+α)=，∴sin α=，
∵α为第二象限角，∴cos α=-，
∴=
=cos α=-.]
7.　8.-　
9.解　(1)
=
==-cos2α.
(2)
==-cos α.
10.解　(1)f(α)==-cos α.
(2)∵sin(α-π)=-sin α=，
∴sin α=-.又α是第三象限角，
∴cos α=-.∴f(α)=.
(3)∵α=-=-6×2π+，
∴f(α)=f=-cos
=-cos =-cos =-.
11.BD　12.C
13.-
解析　
=
===tan α，
因为角α的终边与单位圆交于点P，
所以tan α=-，
所以=-.
14.b>a>c
解析　因为a=-tan=-，
b=cos=cos=，
c=sin=-sin=-，
所以b>a>c.
15.-
解析　如图，在△ABC中，A=36°，AB=AC，点D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比，
所以∠BAD=18°，=，
所以sin∠BAD==
=·==sin 18°，
所以sin 198°=-sin 18°=-.
16.解　由题意得sin A=sin B，cos A=cos B，
等式两边分别平方并相加得
2cos2A=1，cos A=±，
又因为A∈(0，π)，所以A=或.
当A=时，cos B=-<0，
所以B∈，
所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去.
所以A=，cos B=，
所以B=，所以C=.
综上所述，A=，B=，C=.作业50　诱导公式(二)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共24分
1.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于(　　)
A.a B.-a
C.a2 D.
2.已知sin=-,则cos α的值为(　　)
A. B.
C.- D.-
3.(多选)下列与cos的值相等的是(　　　　)
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)
C.cos D.cos
4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(　　)
A.- B.-
C. D.
5.化简sin·cos·tan的结果是(　　)
A.1 B.sin2α
C.-cos2α D.-1
6.(多选)下列结论正确的有(　　　　)
A.sin=cos
B.cos+sin=0
C.sin2+cos2=1
D.sin2+sin2=1
7.已知cos=,则sin=　　　　.
8.若cos α=,且α是第四象限角,则tan=　　　　.
9.(10分)已知sin=.
(1)求cos的值;(4分)
(2)若-<α<,求cos的值.(6分)
10.(10分)已知角α的终边经过点P(m,2),sin α=且α为第二象限角.
(1)求m的值;(4分)
(2)若tan β=,求的值.(6分)
11.(多选)已知角α的顶点为平面直角坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合,则下列结论正确的是(　　　　)
A.sin α= B.tan α=-
C.sin β= D.cos β=-
12.在△ABC中,若cos =,则cos 的值为(　　)
A.± B.±
C. D.
13.已知tan θ=2,则=　　　,tan=　　　　.
14.sin2+sin2=　　　　.
15.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　　　)
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
16.(11分)已知f(α)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;(5分)
(2)若f(α)-f=,且α∈,求tan α的值.(6分)
答案解析
1.A　2.A　3.BD　4.B　5.C
6.ABD　[对于A项，
sin=sin
=cos=cos，A正确；
对于B项，
因为cos=cos
=-sin
=-sin=-sin，
所以cos+sin=0，
B正确；
对于C项，因为sin
=sin[90°-(75°+α)]
=cos，
所以sin2+cos2
=2cos2≠1，C错误；
对于D项，
sin2+sin2
=cos2+sin2=1，D正确.]
7.　8.
9.解　(1)cos
=cos
=sin=.
(2)sin=sin
=sin=，
若-<α<，则0<α+<，
所以cos===.
10.解　(1)由三角函数的定义可知
sin α==，解得m=±1.
∵α为第二象限角，
∴m=-1.
(2)由(1)知tan α=-2，
又tan β=，
∴
=-
=-
=-=.
11.BC　12.C　13.-2　-
14.1
解析　sin2+sin2
=sin2+
sin2
=sin2+cos2=1.
15.AC　[∵sin(π+α)=-sin α=-，
∴sin α=，cos α=±，
∴若α+β=，则β=-α.
对于A，sin β=sin=cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；
对于B，cos(π+β)=-cos=-sin α=-，故B不符合条件；
对于C，tan β=，即sin β
=cos β，又sin2β+cos2β=1，
故sin β=±，故C符合条件；
对于D，tan β=，即sin β=cos β，又sin2β+cos2β=1，故sin β=±，故D不符合条件.]
16.解　(1)f(α)=
=
==sin α.
所以f(α)=sin α=-，
因为α∈(0，2π)，
所以α=或α=.
(2)由(1)知，f(α)=sin α，
所以f(α)-f
=sin α-sin
=sin α+cos α=，
所以sin α=-cos α，
所以cos2α+=1，
即(5cos α-4)(5cos α+3)=0，
可得cos α=或cos α=-.
因为α∈，
所以cos α=-，
所以sin α=-cos α=-=.
所以tan α==×=-.

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