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专题提升二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(分值:100分)
选择题1~8题,每小题8分,共64分。
对点题组练
题组一　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1.如图所示,在x>0,y>0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力),在x轴上到原点的距离为x0的P点,以平行于y轴的初速度射入此磁场,仅在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场,由这些条件可知
(　　)
带电粒子一定带正电
不能确定粒子速度的大小
不能确定粒子射出此磁场的位置
不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间
2.如图所示,在平面坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子,沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0,a)射入磁场,从x轴上的点P2(2a,0)射出磁场,不计粒子受到的重力,则粒子的比荷为 (　　)
3.如图所示,平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场,电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场,当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场;当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出),v1∶v2等于 (　　)
1∶(2-) (2-)∶1
2∶1 ∶1
题组二　带电粒子在典型边界磁场中的运动
4.如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场方向且与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负是 (　　)
　正电荷 　正电荷
　负电荷 　负电荷
5.如图所示,空间有一圆柱形匀强磁场区域,该区域的横截面的半径为R,磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场,离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力,该磁场的磁感应强度大小为 (　　)
6.如图所示为测量磁感应强度的装置,粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中,粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场,经磁场偏转后,垂直打在底片MN上的A点,测出OA距离,从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM=MN=L,不计重力,则此装置能测量的磁感应强度范围是 (　　)
7.(多选)如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场,分别从AC边上的P、Q两点射出,不计粒子重力,则 (　　)
从P射出的粒子速度大
从Q射出的粒子速度大
从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
两粒子在磁场中运动的时间一样长
综合提升练
8.(2024·福建福州延安中学月考)如图所示,圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场,比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中,分别从圆弧上的P、Q两点射出,下列说法正确的是 (　　)
两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1
粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
粒子在磁场中速率之比为1∶3
粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
9.(12分)如图所示,一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP=a。
(1)(4分)判断粒子带电的正负并作图求出粒子运动轨迹半径;
(2)(4分)求磁感应强度的大小;
(3)(4分)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
10.(10分)在xOy直角坐标系第一象限中有垂直纸面向外,大小为B的匀强磁场,第四象限有垂直纸面向外,大小未知的匀强磁场。电荷量为+q(q>0),质量为m的带电粒子从P点开始以垂直于y轴的速度沿x轴正方向射入第一象限,经过第一象限后垂直x轴从Q点(图中未标出)进入第四象限,经过第四象限后从M点离开磁场,此时速度方向与y轴负方向的夹角θ=60°。已知P点到O点的距离为a,不计带电粒子的重力。求:
(1)(5分)带电粒子在P点时的入射速度大小;
(2)(5分)带电粒子在第四象限中从Q点运动到M点的时间。
培优加强练
11.(14分)一个重力不计的带电粒子,以大小为v的速度从坐标(0,L)的a点,平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域,并从x轴上b点射出磁场,射出速度方向与x轴正方向的夹角为60°,如图所示,求:
(1)(4分)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径;
(2)(5分)带电粒子的比荷及粒子从a点运动到b点的时间;
(3)(5分)其他条件不变,要使该粒子恰从O点射出磁场,求粒子的入射速度大小。
专题提升二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.A　[由题意知，粒子向左偏转，由左手定则可知，粒子带正电，由几何关系知轨迹半径r＝x0，故粒子射出磁场时的位置在y轴上距原点x0处，由qvB＝m可得速度v＝，运动时间t＝＝，故选项A正确。]
2.B　[粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，
如图所示，设轨迹的半径为r，由几何关系有
(r－a)2＋(2a)2＝r2
解得r＝
由牛顿第二定律可得qv0B＝m
解得＝，故B正确。]
3.B　[设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ＝，解得r＝，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝∝r，联立可得v1∶v2＝r1∶r2＝(1－cos 30°)∶(1－cos 60°)＝(2－)∶1，故B正确。]
4.C　[由左手定则可知粒子带负电，作出粒子的运动轨迹示意图如图所示。根据几何关系有r＋rsin 30°＝a，再结合半径表达式r＝，可得＝，C正确。]
5.A　[粒子的运动轨迹如图所示，
粒子做圆周运动的轨道半径
r＝＝R
根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故A正确。]
6.D　[带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，由题意知＝，联立解得B＝。如图所示，当粒子打到M点时，轨迹圆半径r＝，此时测得磁感应强度B＝，当粒子打到N点时，轨迹圆半径r＝L，同理可知，此时测得磁感应强度B＝，则此装置能测量的磁感应强度范围是，D正确。]
7.BD　[作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径rP8.D　[作出带电粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为120°，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为60°，而粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，则可得tP＝T＝，tQ＝＝，可得tP∶tQ＝1∶2，故A、B错误；设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得＝tan 30°，＝tan 30°，解得rP∶rQ＝3∶1，而根据v＝可得vP∶vQ＝3∶1，故C错误，D正确。]
9.(1)粒子带负电　见解析图　a　(2)　(3)
解析　(1)由左手定则可知粒子带负电，
轨迹如图所示
由几何关系有rsin 60°＝a
解得r＝a。
(2)由洛伦兹力提供向心力有
qvB＝m
解得B＝。
(3)粒子的周期为T＝，带电粒子穿过第一象限所用的时间为t＝T＝T＝。
10.(1)　(2)
解析　带点粒子的运动轨迹如图所示。
(1)粒子在第一象限内，根据几何关系知r＝a，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝。
(2)在第四象限，根据几何关系知
r′sin 30°＋a＝r′
解得r′＝2a
周期T＝＝＝
根据几何知识知，粒子在第四象限内转过的圆心角为60°，则粒子运动时间
t＝T
解得t＝。
11.(1)2L　(2)　　(3)v
解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识有rcos 60°＋L＝r
解得r＝2L。
(2)由洛伦兹力提供向心力得
qvB＝
所以＝＝
粒子运动的周期T＝＝
则粒子从a点运动到b点的时间
t＝T＝。
(3)该粒子恰从O点射出磁场，
则r′＝
由qv′B＝可得v′＝v。专题提升二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
学习目标　1.熟练掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律。2.掌握分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的基本方法。3.会分析带电粒子在典型边界磁场中的运动问题。
提升1　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1.圆心的确定
(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和弦的中垂线一定过圆心。
(2)两种常见情形
Ⅰ.已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。
Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)。
2.半径的计算方法
(1)由物理方法求：半径r＝。
(2)由几何方法求：一般由数学公式(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
3.运动时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α(速度偏转角与圆心角相等)时，其运动时间由下式表示：
t＝T(或t＝T)。
(2)用弧长与线速度的比t＝。
4.圆心角与偏向角、弦切角的关系
(1)带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
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(2)圆弧所对应圆心角α等于弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
例1 如图所示的狭长区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，区域的左、右两边界均沿竖直方向，磁场左、右两边界之间的距离为d，磁场磁感应强度的大小为B，某一质量为m、电荷量q的带负电粒子从左边界M点以水平向右的初速度进入磁场区域，该粒子从磁场的右边界N点飞出，飞出时速度方向与初速度方向的夹角θ＝60°，重力不计。求：
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(1)该粒子的运动速率；
(2)该粒子在磁场中运动的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　带电粒子在典型边界磁场中的运动
角度1　直线边界磁场
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，射入和射出速度与直线边界的夹角相等，如图所示。
例2 (多选)(2024·湖北黄冈市高二统考期中)如图所示，虚线 MN上方有垂直纸面向外足够大的匀强磁场，纸面内有两个相同的正点电荷A、B同时从 MN上的O点射入磁场，两电荷的速度方向相互垂直(不计两电荷间的相互作用)，大小分别为 v1和 v2，其中 v1与MN间的夹角为θ＝30°，则下列说法正确的是(　　)
A.两电荷在磁场中运动的周期一定相等
B.两电荷在磁场中运动的轨道半径一定相等
C.A、B在磁场中运动的时间之比为 1∶4
D.A、B射出磁场时的速度方向一定相互垂直
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　平行边界磁场
例3 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q(q>0)的粒子沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求：
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(1)粒子射入磁场的速度大小范围；
(2)粒子在磁场中运动的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　三角形边界磁场
如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例4 如图所示，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为AB边的中点，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场，粒子的速度大小为v0，结果刚好垂直BC边射出磁场，不计粒子的重力，求：
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(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，粒子的速度大小为多少？粒子在磁场中运动的时间为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度4　圆形边界磁场
1.粒子沿径向对准磁场圆心射入
粒子一定沿径向射出，如图甲所示。磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆圆心O射入，由几何知识很容易证明粒子从Q点射出的速度方向的反向延长线必过磁场圆圆心O点。
2.粒子不沿径向射入
如图乙所示，处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和匀强磁场圆的边界的圆心。粒子进出磁场时速度与对应点所在磁场圆的半径的夹角相等。
例5 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　)
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A.v1 B.v1
C.v1 D.v1
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“三步法”分析有界磁场问题
　　　　
随堂对点自测
1.(矩形边界磁场)(2024·贵州贵阳期末)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE"W106.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\课件\\同步\\2025（春）物理 选择性必修 第二册 鲁科版\\学生word文档\\W106.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
2.(相交边界磁场)如图所示，在第Ⅳ象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，一对比荷之比为2∶1的正、负带电粒子在坐标平面内以相同的速率沿与x轴成30°角的方向从坐标原点射入磁场。不计粒子受到的重力及粒子间的作用力。正、负带电粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
INCLUDEPICTURE"P26B.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\课件\\同步\\2025（春）物理 选择性必修 第二册 鲁科版\\学生word文档\\P26B.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.1∶1
专题提升二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
提升1
例1 (1)　(2)
解析　(1)作出粒子运动的轨迹如图所示，O为轨迹的圆心。
设粒子的轨道半径为r，根据几何关系可知
r＝＝d
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
解得该粒子的运动速率为v＝。
(2)该粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝T
又T＝＝
联立解得t＝。
提升2
例2 ACD　[根据粒子在磁场中做圆周运动的规律有T＝，由于两正点电荷相同，可知两电荷在磁场中运动的周期一定相等，故A正确；电荷在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv1B＝meq \f(v,r1)，qv2B＝meq \f(v,r2)，解得r1＝，r2＝，由于两电荷速度大小关系不确定，则两电荷半径大小关系也不确定，故B错误；根据几何关系可知，电荷A对应轨迹的圆心角为60°，电荷B对应轨迹的圆心角为240°，由于两电荷周期相等，则A、B在磁场中运动的时间之比等于轨迹对应圆心角之比，则有＝＝，故C正确；根据单边有界磁场的对称性可知，A、B射出磁场时的速度方向一定相互垂直，故D正确。]
例3 (1)v≤　(2)
解析　(1)粒子刚好没能从PQ边界射出磁场，即轨迹与PQ相切，如图所示
设轨迹半径为r，则l＝r＋rcos θ
解得轨迹半径
r＝＝
由洛伦兹力提供向心力有
qvB＝m
解得v＝
故粒子不能从PQ边界射出磁场时的速度大小范围为
v≤。
(2)粒子的速度大小不同，轨迹不同，但圆心角相同，即在磁场中的运动时间相同，由几何知识可看出，轨迹所对圆心角为300°，则运动时间t＝T＝T，周期公式T＝，所以t＝。
例4 (1)　(2)　
解析　(1)根据题意知，
粒子在磁场中的运动轨迹如图中的轨迹①所示。
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
r1＝cos 30°＝L
根据牛顿第二定律有
qv0B＝meq \f(v,r1)
解得B＝。
(2)设粒子的速度为v时，粒子的运动轨迹与BC相切，轨迹如图中的轨迹②所示，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
r2＝r1＝L
由牛顿第二定律有qvB＝m
求得v＝＝v0
由几何关系可知，粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为240°，此粒子在磁场中运动的时间
t＝T＝×＝。
例5 C　[两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意知，同一粒子在磁场中偏转时间同为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设磁场圆的半径为R，由几何关系可知带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab方向射入时，
v2＝v1，A、B、D错误，C正确。]
随堂对点自测
1.D　[根据T＝可知两种粒子的周期相同，入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，且都从左边飞出，虽然轨迹不一样，但圆心角却相同，时间相同，故A、C错误；入射速度相同的粒子，半径r＝相同，则运动轨迹一定相同，故B错误；由于它们的周期相同，根据t＝T可知，在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角也一定越大，故D正确。]
2.D　[运动轨迹如图所示，由图可知，
正电荷运动所对应的圆心角为120°，负电荷运动所对应的圆心角为60°，正、负带电粒子圆心角之比为2∶1；由洛伦兹力提供向心力qvB＝，得r＝m，又T＝，解得T＝，故正、负带电粒子周期之比为1∶2，粒子在磁场中运动的时间t＝T，故正、负带电粒子在磁场中运动的时间之比为＝，故D正确。](共56张PPT)
专题提升二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
第1章 安培力与洛伦兹力
1.熟练掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律。2.掌握分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的基本方法。
3.会分析带电粒子在典型边界磁场中的运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　带电粒子在典型边界磁场中的运动
提升1　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
提升1　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1.圆心的确定
(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和弦的中垂线一定过圆心。
(2)两种常见情形
Ⅰ.已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。
Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)。
2.半径的计算方法
3.运动时间的确定
4.圆心角与偏向角、弦切角的关系
例1 如图所示的狭长区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，区域的左、右两边界均沿竖直方向，磁场左、右两边界之间的距离为d，磁场磁感应强度的大小为B，某一质量为m、电荷量q的带负电粒子从左边界M点以水平向右的初速度进入磁场区域，该粒子从磁场的右边界N点飞出，飞出时速度方向与初速度方向的夹角θ＝60°，重力不计。求：
解析　(1)作出粒子运动的轨迹如图所示，O为轨迹的圆心。
提升2　带电粒子在典型边界磁场中的运动
角度1　直线边界磁场
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，射入和射出速度与直线边界的夹角相等，如图所示。
例2 (多选)(2024·湖北黄冈市高二统考期中)如图所示，虚线 MN上方有垂直纸面向外足够大的匀强磁场，纸面内有两个相同的正点电荷A、B同时从 MN上的O点射入磁场，两电荷的速度方向相互垂直(不计两电荷间的相互作用)，大小分别为 v1和 v2，其中 v1与MN间的夹角为θ＝30°，则下列说法正确的是(　 　)
ACD
A.两电荷在磁场中运动的周期一定相等
B.两电荷在磁场中运动的轨道半径一定相等
C.A、B在磁场中运动的时间之比为 1∶4
D.A、B射出磁场时的速度方向一定相互垂直
角度2　平行边界磁场
例3 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q(q>0)的粒子沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求：
(1)粒子射入磁场的速度大小范围；
(2)粒子在磁场中运动的时间。
解析　(1)粒子刚好没能从PQ边界射出磁场，即轨迹与PQ相切，如图所示
设轨迹半径为r，则l＝r＋rcos θ
解得轨迹半径
角度3　三角形边界磁场
如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例4 如图所示，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为AB边的中点，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场，粒子的速度大小为v0，结果刚好垂直BC边射出磁场，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，粒子的速度大小为多少？粒子在磁场中运动的时间为多少？
解析　(1)根据题意知，
粒子在磁场中的运动轨迹如图中的轨迹①所示。
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
角度4　圆形边界磁场
1.粒子沿径向对准磁场圆心射入
粒子一定沿径向射出，如图甲所示。磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆圆心O射入，由几何知识很容易证明粒子从Q点射出的速度方向的反向延长线必过磁场圆圆心O点。
2.粒子不沿径向射入
如图乙所示，处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和匀强磁场圆的边界的圆心。粒子进出磁场时速度与对应点所在磁场圆的半径的夹角相等。
例5 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　)
C
“三步法”分析有界磁场问题
随堂对点自测
2
D
1.(矩形边界磁场)(2024·贵州贵阳期末)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力。下列说法正确的是(　　)
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
D
2.(相交边界磁场)如图所示，在第Ⅳ象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，一对比荷之比为2∶1的正、负带电粒子在坐标平面内以相同的速率沿与x轴成30°角的方向从坐标原点射入磁场。不计粒子受到的重力及粒子间的作用力。正、负带电粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.1∶1
课后巩固训练
3
题组一　带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1.如图所示，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，仅在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，由这些条件可知(　　)
对点题组练
A.带电粒子一定带正电
B.不能确定粒子速度的大小
C.不能确定粒子射出此磁场的位置
D.不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间
B
2.如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a，0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为(　　)
解析　粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，
如图所示，设轨迹的半径为r，由几何关系有(r－a)2＋(2a)2＝r2
B
3.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于(　　)
C
题组二　带电粒子在典型边界磁场中的运动
4.如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场方向且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是(　　)
A
5.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)
D
6.如图所示为测量磁感应强度的装置，粒子源O能够稳定地发射出速度为v、比荷为k的带正电粒子。将装置放置在被测磁场中，粒子从O点垂直ON和磁场方向进入磁场，经磁场偏转后，垂直打在底片MN上的A点，测出OA距离，从而确定被测磁场的磁感应强度B。已知OM＝MN＝L，不计重力，则此装置能测量的磁感应强度范围是(　　)
BD
7.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
D
综合提升练
8.(2024·福建福州延安中学月考)如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是(　　)
A.两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1
B.粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C.粒子在磁场中速率之比为1∶3
D.粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
9.如图所示，一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a。
(1)判断粒子带电的正负并作图求出粒子运动轨迹半径；
(2)求磁感应强度的大小；
(3)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
10.在xOy直角坐标系第一象限中有垂直纸面向外，大小为B的匀强磁场，第四象限有垂直纸面向外，大小未知的匀强磁场。电荷量为＋q(q>0)，质量为m的带电粒子从P点开始以垂直于y轴的速度沿x轴正方向射入第一象限，经过第一象限后垂直x轴从Q点(图中未标出)进入第四象限，经过第四象限后从M点离开磁场，此时速度方向与y轴负方向的夹角θ＝60°。已知P点到O点的距离为a，不计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子在P点时的入射速度大小；
(2)带电粒子在第四象限中从Q点运动到M点的时间。
培优加强练
11.一个重力不计的带电粒子，以大小为v的速度从坐标(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上b点射出磁场，射出速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示，求：

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