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专题提升三　带电粒子在有界匀　强磁场中运动的临界和多解问题
(分值:100分)
选择题1~8题,每小题11分,共88分。
　　　　　　　　　　　　　　　　对点题组练
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
1.如图所示,宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发,与边界成60°角进入匀强磁场,要使质子从左边界飞出磁场,则质子速度的最大值为 (　　)
2.如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值范围为 (　　)
B> B<
B> B<
3.(多选)(2024·广东汕头市潮阳区期中)如图,质子以一定初速度从ad边的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd-a'b'c'd',立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场,质子可能从哪条边界射出立方体 (　　)
ad边 b'c'边
cd边 a'd'边
题组二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
4.(多选)(2024·山东滨州市期末)如图所示,等腰直角三角形BAC区域内(不包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,顶角A为90°。大量质量为m、电荷量为+q的粒子,以不同的速率从BC边中点O沿OA方向射入该磁场区域,不计粒子重力。则从AB边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为 (　　)
5.如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射速率不同、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速度可能是 (　　)
综合提升练
6.直线OM和直线ON之间的夹角为30°,如图所示,直线OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,且从OM上另一点射出磁场,不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为 (　　)
7.一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,其边界如图中虚线所示,为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量均为m、带电荷量均为-q(q>0)、速率不同的粒子流,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场。不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最短时间为 (　　)
8.(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 (　　)
kBL,0° kBL,0°
kBL,60° BL,60°
培优加强练
9.(12分)在如图所示的平面直角坐标系xOy中,有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出),磁场方向垂直于xOy平面,O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子(重力不计)从O点开始以初速度v沿+x方向进入磁场,粒子经过y轴上P点时速度方向与+y方向夹角为θ=30°,已知OP=L,求:
(1)(6分)磁感应强度的大小和粒子从O点到P点的运动时间;
(2)(6分)该圆形区域的最小面积。
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
1.A　[质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示
由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有evB＝，解得v＝，故A正确。]
2.D　[由题意可知，电子恰好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径r＝＝a，要想使电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径公式r＝，有a<，即B<，D项正确。]
3.AC　[根据qvB＝m可知r＝，令立方体边长为L，当半径r≤，即当v≤时，根据左手定则可知，质子从ad边飞出，A正确；若增大速度，半径增大，质子将可能从cd边飞出，C正确；根据左手定则，质子始终在abcd平面内偏转，不可能从b′c′边与a′d′边飞出，B、D错误。]
4.BCD　[粒子进入磁场之后洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m，解得r＝，周期T＝＝，可知粒子在磁场中的运动周期相同，但在磁场中运动轨迹对应的圆心角不同，则运动时间不同，当运动轨迹正好与AB边相切时如图所示，此时粒子在磁场中运动时间为t＝·＝，若速度增大，则粒子运动轨迹半径增大，粒子从AB边射出，轨迹对应的圆心角小于135°，运动时间小于t，因此B、C、D正确，A错误。]
5.B　[由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，
由几何知识知所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1，2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1，2，3，…)，故选项B正确。]
6.D　[带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r＝。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识知CO′D为一直线段，＝＝2＝4r＝，故D正确。]
7.B　[根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆弧相切时对应的圆心角θ最小，如图所示，
根据几何关系可知θ＝120°，粒子在磁场中运动的时间为t＝T，其中T＝，解得t＝，故B正确。]
8.BC　[符合条件的粒子有两种情况：如图所示
奇数次回旋后从P点射出，由几何关系可得
(2n＋1)r＝L(n＝0，1，2，3，…)
由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
联立解得v＝kBL(n＝0，1，2，3，…)
这种情况离子从P点出射时，出射方向与入射方向成60°角。偶数次回旋后从P点射出，由几何关系有2nr＝L(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，联立解得v＝kBL(n＝1，2，3，…)
这种情况离子从P点出射时，出射方向与入射方向相同成0°角，故B、C正确。]
9.(1)　(2π＋3)　(2)L2
解析　(1)依题意，粒子运动轨迹如图所示，
设圆心为O1，轨迹半径为r，则由几何关系有r＋＝L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得B＝
设粒子在磁场中和磁场外运动时间分别为t1、t2，
由几何关系知圆心角为，则
t1＝，t2＝
粒子从O到P的时间
t＝t1＋t2＝(2π＋3)。
(2)磁场面积最小时应满足
R＝rsin 60°
S＝πR2
解得S＝L2。专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
学习目标　1.进一步分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动。2.能分析解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。3.能分析解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。
角度1　“放缩圆”法探索临界条件
适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上INCLUDEPICTURE"C43.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\同步\\高二下\\2024（春）物理 选择性必修 第二册 鲁科版（新教材新标准）教师用书(鲁琼闽贵)\\C43.TIF" \* MERGEFORMATINET
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例1 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　)
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A.v> B.v<
C.v> D.v<
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　“旋转圆”法探索临界条件
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为r＝。如图所示INCLUDEPICTURE"C44.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\同步\\高二下\\2024（春）物理 选择性必修 第二册 鲁科版（新教材新标准）教师用书(鲁琼闽贵)\\C44.TIF" \* MERGEFORMATINET
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径为r＝的圆上
界定方法 将一半径为r＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 如图所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM左侧到OM距离为l的P处有一个粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，速率均为，则粒子在磁场中运动的最短时间为(　　)
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A. B.
C. D.
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
1.电性不确定形成双解
在相同的初速度和磁场的条件下，由于粒子的电性不同，在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。
(1)按粒子带正、负电荷分别讨论。
(2)画出粒子的可能轨迹，如图所示。
(3)根据牛顿运动定律建立动力学方程，再结合几何关系，解决有关问题。
2.磁场方向不确定形成双解
题目只指明磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。解决此类问题的关键是审清题目，区别磁场方向，确定临界状态。
3.运动的周期性形成多解
(1)带电粒子在空间运动时往往具有周期性，从而形成多解，通过分析第一周期或前几个周期的运动规律，寻找运动周期的通解。
(2)在有其他条件限制下，通解有可能变为有限个解或单一解。
4.临界状态不唯一形成多解，如图所示，带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况v≤v1或v≥v2。
例3 如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
INCLUDEPICTURE"B79.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\2024\\课件\\同步\\2025（春）物理 选择性必修 第二册 鲁科版\\学生word文档\\B79.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.B＝，垂直纸面向里
B.B＝，垂直纸面向里
C.B＝，垂直纸面向外
D.B＝，垂直纸面向外
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5 (多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
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A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(临界问题)(2024·浙江绍兴期末)如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，竖直边ab、cd的长为L，水平边bc的长为3L。一束质量为m、电荷量为－q的带负电粒子，在纸面内从P点以不同速率垂直边界射入磁场，已知P点与a点之间距离为L。不计粒子之间的相互作用，粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多解问题)(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕固定的正电荷在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷上的电场力恰好是洛伦兹力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)
A. B.
C. D.
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
提升1
例1 A　[由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得
r＋rcos θ＝d
根据洛伦兹力提供向心力，有ev0B＝meq \f(v,r)
联立解得v0＝
当v>v0时，电子能从边界EF射出，故A正确。]
例2 B　[由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，又v＝，所以粒子在磁场中运动的半径为r＝l，粒子在磁场中运动时间最短，对应的弧长最短、弦长最短，由几何关系得，当弦长等于l时最短，此时弦切角为30°，圆心角为60°，运动的最短时间是tmin＝T＝×＝，故B正确。]
提升2
例3 、或、
解析　由洛伦兹力提供向心力，有
qv0B＝meq \f(v,r)＝mr
解得r＝，T＝
当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示，故粒子在磁场中运动的时间t1＝T＝
粒子在C点离开磁场
OC＝2rsin 60°＝
故离开磁场的位置为
当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，故粒子在磁场中的运动时间
t2＝T＝
粒子在E点离开磁场
OE＝2rsin 60°＝
故离开磁场时的位置为。
例4 B　[当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝，故应满足B1′≥；当磁场方向垂直纸面向外时，离子恰好与OP相切的轨迹如图乙所示，由几何关系有s＝＋r2，可得r2＝，由r2＝可得B2＝，故应满足B2′≥，综合上述分析可知，选项B正确，A、C、D错误。]
例5 AB　[如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝＋l2，
又r1＝，
所以v1＝，粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，所以v2＝，综合上述分析可知，选项A、B正确。]
随堂对点自测
1.A　[设带电粒子在匀强磁场中运动轨迹所对应的圆心角为θ，则它在磁场中运动的时间为t＝T＝，则运动时间与速度大小无关，与θ有关，当粒子从P点以不同速率垂直边界射入磁场时，其轨迹圆心必在Pa直线上，将粒子的轨迹半径由0逐渐放大，由几何知识可知当粒子圆心在a点时，恰好从b点飞出，轨迹所对应的圆心角最大，为θ＝270°＝π，故粒子在磁场中运动的最长时间为t＝，故A正确。]
2.AC　[当负电荷所受的洛伦兹力与所受的电场力方向相同时，根据牛顿第二定律有qvB＋3qvB＝m，解得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度应为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与所受的电场力方向相反时，应有3qvB－qvB＝m，可得v＝，此种情况下负电荷运动的角速度应为ω＝＝，故选项A、C正确。](共47张PPT)
专题提升三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
第1章 安培力与洛伦兹力
1.进一步分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
2.能分析解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。3.能分析解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。
角度1　“放缩圆”法探索临界条件
适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例1 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　)
A
解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得 r＋rcos θ＝d
当v>v0时，电子能从边界EF射出，故A正确。
角度2　“旋转圆”法探索临界条件
B
提升2　带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
1.电性不确定形成双解
在相同的初速度和磁场的条件下，由于粒子的电性不同，在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。
(1)按粒子带正、负电荷分别讨论。
(2)画出粒子的可能轨迹，如图所示。
(3)根据牛顿运动定律建立动力学方程，再结合几何关系，解决有关问题。
2.磁场方向不确定形成双解
题目只指明磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。解决此类问题的关键是审清题目，区别磁场方向，确定临界状态。
3.运动的周期性形成多解
(1)带电粒子在空间运动时往往具有周期性，从而形成多解，通过分析第一周期或前几个周期的运动规律，寻找运动周期的通解。
(2)在有其他条件限制下，通解有可能变为有限个解或单一解。
4.临界状态不唯一形成多解，如图所示，带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况v≤v1或v≥v2。
例3 如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
解析　由洛伦兹力提供向心力，有
粒子在E点离开磁场
B
AB
例5 (多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
解析　如图所示，
随堂对点自测
2
A
1.(临界问题)(2024·浙江绍兴期末)如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，竖直边ab、cd的长为L，水平边bc的长为3L。一束质量为m、电荷量为－q的带负电粒子，在纸面内从P点以不同速率垂直边界射入磁场，已知P点与a点之间距离为L。不计粒子之间的相互作用，粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
AC
2.(多解问题)(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕固定的正电荷在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷上的电场力恰好是洛伦兹力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)
课后巩固训练
3
A
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
1.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为(　　)
对点题组练
解析　质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示
D
解析　由题意可知，
AC
3.(多选)(2024·广东汕头市潮阳区期中)如图，质子以一定初速度从ad边的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd－a′b′c′d′，立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场，质子可能从哪条边界射出立方体(　　)
A.ad边 B.b′c′边
C.cd边 D.a′d′边
BCD
题组二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
4.(多选)(2024·山东滨州市期末)如图所示，等腰直角三角形BAC区域内(不包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，顶角A为90°。大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以不同的速率从BC边中点O沿OA方向射入该磁场区域，不计粒子重力。则从AB边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为(　　 )
B
5.如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射速率不同、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　)
D
综合提升练
6.直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，且从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　)
B
BC
8.(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
9.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从O点开始以初速度v沿＋x方向进入磁场，粒子经过y轴上P点时速度方向与＋y方向夹角为θ＝30°，已知OP＝L，求：
培优加强练
(1)磁感应强度的大小和粒子从O点到P点的运动时间；
(2)该圆形区域的最小面积。

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