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二次函数中平行四边形的存在性问题—中考数学复习专项
一、综合题
1．（2024九上·南康期中）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．
2．（2024九上·天心月考）如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．
（l）求抛物线的函数表达式；
（2）当的面积与的面积和为时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024九下·桃源期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'.
(1)若抛物线过点C、A、A'，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
4．（2024九上·南昌月考）如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024九下·平遥模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大．求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024九下·永昌模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
7．（2024九上·攸县期末）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为
（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
8．（2023九上·旌阳期中）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
10．（2024九下·金乡县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023九下·苍溪模拟）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024九上·三台期中）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接 BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，将直线 BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM//y轴交DE 于点M，求 PM的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0°＜a＜90°）得到CB'，使点B'恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线 ED上是否存在一点Q，使得以点C、 B'、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
二、实践探究题
13．（2023九下·承德月考）已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？
14．（2024九上·广州期中）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
15．（2024九下·郯城模拟）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为；设水池2的边的长为，面积为．上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C和点D．
（1）分别求出与x，与x的函数关系式；
【问题解决】
（2）求水池2面积的最大值：
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在，E的坐标为（﹣1﹣2 ， 2）或（﹣1+2 ， 2）；（3）存在，F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
2．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
3．【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA'的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
【知识点】矩形的判定；二次函数-特殊四边形存在性问题
4．【答案】（1）；；（2）的最大值为；此时，；（3）或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
5．【答案】（1）；（2）；（3）或或
【知识点】平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
6．【答案】解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得： ，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令y=0可得， ，
解 ，，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为，
把B、C坐标代入可得： ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴，
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；
3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有，
∴m2﹣3m=3，
解得m= 或m=．
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式可得抛物线解析式为，根据x轴上点的坐标特征可得B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，根据两点间距离可得MN=﹣（m﹣）2+，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据直线平行判定定理可得MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，分情况讨论：当点P在线段OB上时，当点P不在线段OB上时，结合两点间距离即可求出答案.
7．【答案】(1) y=x2＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形
【知识点】二次函数-特殊四边形存在性问题
8．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
9．【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，
解得：，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝MD OA＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．
（3）点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【分析】（1）设此抛物线的函数解析式，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）根据题意，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），由A、B坐标可求出直线AB的解析式，得到点D的坐标为（m，﹣m﹣2），得出MD的长度，进而求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标.
10．【答案】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣）2＋，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴，解得，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意将点A和点C的坐标代入函数解析式，进而即可求解；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，根据二次线函数与坐标轴的交点得到点B的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到∠CBO＝45°，PH＝，再运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），根据坐标系中两点间的距离结合题意求出二次函数的最值即可；
（3）根据二次函数的图象结合题意设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），进而分类讨论：①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，再根据平行四边形的性质结合题意列出方程组即可求解。
11．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
12．【答案】（1）；（2）最大值为，；（3）存在，或或或（12，﹣1）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
13．【答案】发现：，直线的解析式为；拓展：；探究：当时，四边形为平行四边形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
14．【答案】解：（1）抛物线经过点A(-2，0)，B(4，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，如图所示：
∵点A的坐标为(-2，0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)点M的坐标为：.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】(3)存在，如下图所示，
以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入，求出a、b的值即可；
（2）作直线DE⊥轴、于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，再求出，再利用三角形的面积公式及割补法可得S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得，再求解即可；
（3）分类讨论：①以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，②以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；③以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，从而得解.
15．【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）存在，，，
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
1 / 1二次函数中平行四边形的存在性问题—中考数学复习专项
一、综合题
1．（2024九上·南康期中）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．
【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在，E的坐标为（﹣1﹣2 ， 2）或（﹣1+2 ， 2）；（3）存在，F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
2．（2024九上·天心月考）如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．
（l）求抛物线的函数表达式；
（2）当的面积与的面积和为时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
3．（2024九下·桃源期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'.
(1)若抛物线过点C、A、A'，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA'的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
【知识点】矩形的判定；二次函数-特殊四边形存在性问题
4．（2024九上·南昌月考）如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）的最大值为；此时，；（3）或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
5．（2024九下·平遥模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大．求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【知识点】平行四边形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
6．（2024九下·永昌模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
【答案】解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得： ，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令y=0可得， ，
解 ，，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为，
把B、C坐标代入可得： ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴，
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；
3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有，
∴m2﹣3m=3，
解得m= 或m=．
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式可得抛物线解析式为，根据x轴上点的坐标特征可得B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，根据两点间距离可得MN=﹣（m﹣）2+，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据直线平行判定定理可得MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，分情况讨论：当点P在线段OB上时，当点P不在线段OB上时，结合两点间距离即可求出答案.
7．（2024九上·攸县期末）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为
（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1) y=x2＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形
【知识点】二次函数-特殊四边形存在性问题
8．（2023九上·旌阳期中）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
9．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，
解得：，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝MD OA＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．
（3）点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【分析】（1）设此抛物线的函数解析式，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）根据题意，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），由A、B坐标可求出直线AB的解析式，得到点D的坐标为（m，﹣m﹣2），得出MD的长度，进而求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标.
10．（2024九下·金乡县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣）2＋，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴，解得，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意将点A和点C的坐标代入函数解析式，进而即可求解；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，根据二次线函数与坐标轴的交点得到点B的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到∠CBO＝45°，PH＝，再运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），根据坐标系中两点间的距离结合题意求出二次函数的最值即可；
（3）根据二次函数的图象结合题意设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），进而分类讨论：①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，再根据平行四边形的性质结合题意列出方程组即可求解。
11．（2023九下·苍溪模拟）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
12．（2024九上·三台期中）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接 BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，将直线 BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM//y轴交DE 于点M，求 PM的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0°＜a＜90°）得到CB'，使点B'恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线 ED上是否存在一点Q，使得以点C、 B'、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）最大值为，；（3）存在，或或或（12，﹣1）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
二、实践探究题
13．（2023九下·承德月考）已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？
【答案】发现：，直线的解析式为；拓展：；探究：当时，四边形为平行四边形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
14．（2024九上·广州期中）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）抛物线经过点A(-2，0)，B(4，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，如图所示：
∵点A的坐标为(-2，0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)点M的坐标为：.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】(3)存在，如下图所示，
以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入，求出a、b的值即可；
（2）作直线DE⊥轴、于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，再求出，再利用三角形的面积公式及割补法可得S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得，再求解即可；
（3）分类讨论：①以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，②以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；③以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，从而得解.
15．（2024九下·郯城模拟）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为；设水池2的边的长为，面积为．上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C和点D．
（1）分别求出与x，与x的函数关系式；
【问题解决】
（2）求水池2面积的最大值：
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）存在，，，
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
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