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1.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
[学习目标]　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
一、等差数列的前n项和公式
问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花，　　　　　　 花．
深浅，　　　　　 芬葩．
凝为雪，　　　　 错为霞．
莺和蝶到，　　　 苑占宫遮．
已迷金谷路，　　 频驻玉人车．
芳草欲陵芳树，　 东家半落西家．
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯．
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
问题2　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
知识梳理
等差数列前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
例1　在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20，求S10；
(2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点
(1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好．
(2)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq”的运用．
(3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1　在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，S4＝20，求S6；
(2)已知a14＝10，求S27.
二、等差数列前n项和的实际应用
例2　老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天比前一天多跑的距离相同．若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为(　　)
A．8 B．9 C．13 D．14
反思感悟　(1)建立等差数列前n项和的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
(2)在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，这是数学建模的核心素养．
跟踪训练2　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织______尺布(不作近似计算)．
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？
(2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？
(3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？
知识梳理
数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
例3　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列．
跟踪训练3　已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r.
(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；
(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式．
(2)等差数列在实际问题中的应用．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
3．据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是__________分钟．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝________.
第1课时　等差数列的前n项和公式
问题1　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案．
问题2　倒序相加法

两式的两边分别相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
例1　解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
所以S10＝10×20＋
＝200－90＝110.
(2)因为Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝＋(12－1)×
＝－4.
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，
即a1＋an＝30.
又因为Sn＝＝210，
所以n＝＝14.
跟踪训练1　解　(1)∵S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3.
故S6＝6a1＋d
＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
(2)∵a14＝10，a1＋a27＝2a14，
∴S27＝＝27a14＝270.
例2　B　[由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，
设其公差为d，前n项和为Sn，
且a1＝3，
则S20＝20a1＋×d，
即20×3＋×d＝98，
解得d＝，
所以an＝a1＋(n－1)d
＝3＋(n－1)·＝＋，
由an>5，得＋>5，
解得n>11，
所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20－11＝9.]
跟踪训练2　
解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.
故该女子织布每天增加 尺．
问题3　(1)能．
(2)不是．
(3)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
例3　解　当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]
＝4n＋1，
又a1＝5适合上式，
∴an＝4n＋1，n∈N＋.
故数列{an}是等差数列，
它的首项a1＝5，公差d＝4.
(1)证明　当r＝0时，Sn＝25n－2n2，令n＝1，a1＝S1＝25－2＝23，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此时a1＝27－4＝23，适合上式，
所以an＝27－4n，
所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4，
可得数列{an}是公差为－4，首项为23的等差数列．
(2)解　Sn＝25n－2n2＋r，
令n＝1，得a1＝S1＝25－2＋r＝23＋r，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4，
可得当n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列，
所以若数列{an}是等差数列，
则a1＝27－4＝23＝23＋r，
所以r＝0.
随堂演练
1．A　2.B　3.15　4.2n(共62张PPT)
第1课时
第1章
<<<
等差数列的前n项和公式
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.
3.能用an与Sn的关系求an.
学习目标
高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人之一，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他
同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速
计算出来的吗？
导 语
一、等差数列的前n项和公式
二、等差数列前n项和的实际应用
课时对点练
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
随堂演练
内容索引
等差数列的前n项和公式
一
请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
　　　　花，　　　　　　 花.
　 　　深浅，　　　　　 芬葩.
　　 凝为雪，　　　　 错为霞.
　 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮.
已迷金谷路，　　 频驻玉人车.
　 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家.
愿得春风相伴去，一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
问题1
提示　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.
对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
问题2
提示　倒序相加法
等差数列前n项和公式
(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式二知当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
注 意 点
<<<
　　　在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20，求S10；
例 1
设等差数列{an}的公差为d，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
等差数列前n项和公式应用的关注点
反
思
感
悟
(3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
　　　　　在等差数列{an}中，
跟踪训练 1
∵a14＝10，a1＋a27＝2a14，
(2)已知a14＝10，求S27.
二
等差数列前n项和的实际应用
　老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天比前一天多跑的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为
A.8 B.9
C.13 D.14
例 2
√
由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，
设其公差为d，前n项和为Sn，且a1＝3，
解得n>11，
所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20－11＝9.
反
思
感
悟
(1)建立等差数列前n项和的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
(2)在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，这是数学建模的核心素养.
　　　　　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一个
月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织_____尺布(不作近似计算).
跟踪训练 2
利用等差数列前n项和公式判断等差数列
三
(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？
问题3
提示　能.
(2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？
提示　不是.
(3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？
提示　an＝Sn－Sn－1(n≥2).
数列中an与Sn的关系
(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式表示.
注 意 点
<<<
　　　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
例 3
当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，
又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋.
故数列{an}是等差数列，
它的首项a1＝5，公差d＝4.
反
思
感
悟
等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列.
　　　　　已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r.
(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；
跟踪训练 3
当r＝0时，Sn＝25n－2n2，令n＝1，a1＝S1＝25－2＝23，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
此时a1＝27－4＝23，适合上式，
所以an＝27－4n，
所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4，
可得数列{an}是公差为－4，首项为23的等差数列.
(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件.
Sn＝25n－2n2＋r，
令n＝1，得a1＝S1＝25－2＋r＝23＋r，
当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，
所以d＝an－an－1＝27－4n－27＋4(n－1)＝－4，
可得当n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列，
所以若数列{an}是等差数列，
则a1＝27－4＝23＝23＋r，
所以r＝0.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式.
(2)等差数列在实际问题中的应用.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想.
3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于
√
∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12 B.13
C.14 D.15
1
2
3
4
√
∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
3.据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是____分钟.
1
2
3
4
15
由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为an，则a1＝2，公差d＝2，所以an＝2n，Sn＝
＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去).
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____.
1
2
3
4
2n
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，当n＝1时，a1＝2也适合an＝2n，
综上，an＝2n(n∈N＋).
课时对点练
五
1
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基础巩固
√
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√
设公差为d，由题意得
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
3.一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么经过________秒落到地面
A.18 　　　　B.19 　　　　C.20 　　　　D.21
√
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2
3
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5
6
7
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设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
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∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
4.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A.765 　　　　B.665 　　　　C.763 　　　　D.663
√
5.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则
A.an＝2n－5 　　B.an＝3n－10
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16
√
√
设首项为a1，公差为d.
6.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为
A.24 　　　　B.26 　　　　C.25 　　　　D.28
1
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√
设该等差数列为{an}，
由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝_____.
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0
设公差为d，由题意知a2＝a1＋d＝－3，
解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0.
8.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是_____.
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等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，
∴λ＝－1.
－1
9.在等差数列{an}中.
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解得n＝15.
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(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
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10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
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2
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16
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
11.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为
A.65 B.176
C.183 D.184
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
12.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为
A.7 　　　　B.8 　　　　C.9 　　　　D.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3a8的最大值为___.
16
∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设等差数列{an}的公差为d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
3n2－2n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　(观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
＝3n2－2n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　(引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
下同方法一.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以n2＋n－1 200≥0，记 (n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根.
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层.
故最下面一层放35根，共堆了28层.第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
一、等差数列前n项和的最值问题
问题1　根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
知识梳理
1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数得Sn＝n2＋n.
2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
例1　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
延伸探究　把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
反思感悟　求等差数列前n项和Sn的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求Sn的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
跟踪训练1　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
二、等差数列前n项和的性质
问题2　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
问题3　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
问题4　已知两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，你能用Sn，Tn表示吗？
知识梳理
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
4．项的个数的“奇偶”性质：
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
例2　(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　)
A．130 B．170 C．210 D．260
(2)已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则等于(　　)
A. B. C．1 D．2
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大．
(2) 如果等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中运用得当，可以做到化繁为简、化难为易．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练2　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　)
A．9 B．12 C．16 D．17
(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的最值问题．
(2)等差数列前n项和的性质及应用．
2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想．
3．常见误区：
(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误．
(2)不注意运用性质导致解题烦琐．
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　)
A．12 B．24 C．36 D．48
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
问题1　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
知识梳理
例1　解　(1)设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，
S5＝－15，
所以
解得
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝
＝(3n2－21n)
＝2－，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
延伸探究　解　S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，
故a3＝25，又a10＝18，a10－a3＝7d，
所以d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n，n∈N＋.
设Sn最大，则
解得27≤n≤28，即S27和S28最大，
又a1＝27，故S27＝S28＝378.
跟踪训练1　解　(1)由a1＝9，
a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n，n∈N＋.
(2)方法一　由(1)知a1＝9，d＝－2，
∴Sn＝9n＋×(－2)
＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
问题2　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d是一个公差为n2d的等差数列．
问题3　(1)若数列共有2n项，则
S2n＝＝
＝n(an＋an＋1)，
S奇＝＝＝nan，
S偶＝＝＝nan＋1.
(2)若数列共有(2n＋1)项，则
S2n＋1＝
＝
＝(2n＋1)an＋1，
S奇＝＝
＝(n＋1)an＋1，
S偶＝＝＝nan＋1.
问题4　＝＝
＝＝.
例2　(1)C　[利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.]
(2)A　[S11＝＝11a6，同理可得T11＝11b6，因此，＝＝＝＝.]
跟踪训练2　(1)A　[由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.]
(2)2
解析　由
得
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
随堂演练
1．B　2.B　3.3　4.5或6(共61张PPT)
第2课时
第1章
<<<
等差数列前n项和的性质及应用
1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.
2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
学习目标
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？
导 语
一、等差数列前n项和的最值问题
二、等差数列前n项和的性质
课时对点练
随堂演练
内容索引
等差数列前n项和的最值问题
一
根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
问题1
(1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1.
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
注 意 点
<<<
　　　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
例 1
设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
　　　　　把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值.
延伸探究
故a3＝25，又a10＝18，a10－a3＝7d，
所以d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n，n∈N＋.
解得27≤n≤28，即S27和S28最大，
又a1＝27，故S27＝S28＝378.
(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求Sn的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
反
思
感
悟
求等差数列前n项和Sn的最值的方法
　　　　　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
跟踪训练 1
由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n，n∈N＋.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
方法一　由(1)知a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列.
∵n∈N＋，∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
二
等差数列前n项和的性质
等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
问题2
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d是一个公差为n2d的等差数列.
公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
问题3
提示　(1)若数列共有2n项，则
(2)若数列共有(2n＋1)项，则
已知两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，你能用Sn，Tn表示 吗？
问题4
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
4.项的个数的“奇偶”性质：
　(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为
A.130 B.170
C.210 D.260
例 2
√
利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
√
反
思
感
悟
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大.
(2) 如果等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中运用得当，可以做到化繁为简、化难为易.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
利用等差数列前n项和的性质简化计算
　　　　　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为
A.9 B.12
C.16 D.17
跟踪训练 2
√
由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
2
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的最值问题.
(2)等差数列前n项和的性质及应用.
2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想.
3.常见误区：
(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误.
(2)不注意运用性质导致解题烦琐.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是
A.12 B.24
C.36 D.48
√
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A.63 B.45
C.36 D.27
1
2
3
4
√
因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为_____.
1
2
3
4
3
由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝ ×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3.
4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______时，Sn取到最大值.
1
2
3
4
5或6
∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，
∴a6＝0.∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或n＝6时，Sn最大.
课时对点练
四
1.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于
A.160 B.180
C.200 D.220
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为
A.30 B.70
C.50 D.60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 016＝S2 021，
Sk＝S2 014，
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 016＝S2 021，Sk＝S2 014，则正整数k为
A.2 020 　　　B.2 021 　　　C.2 022 　　　D.2 023
√
解得k＝2 023.
5.等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于
A.6 　　　B.8 　　　C.10 　　　D.12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝120，
∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，
＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)＝252，解得n＝10.
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是
A.d<0 B.a7＝0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
∵S5S8，∴a6>0，a7＝0，故B正确；
又a8<0，∴d<0，故A正确；
∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S9√
√
7.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
14
15
16
2A
数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A.
1
2
3
4
5
6
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8
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16
所以S2 023＝－2 023.
－2 023
1
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5
6
7
8
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16
∵{an}为等差数列，
1
2
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4
5
6
7
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15
16
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
1
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16
∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列，
设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，
S110＝－120＋S100＝－110.
1
2
3
4
5
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7
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11
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15
16
10.在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值.
1
2
3
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7
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11
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15
16
解得11≤n≤12，
∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
1
2
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5
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7
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11
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13
14
15
16
∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
11.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列说法正确的是
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
1
2
3
4
5
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7
8
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16
√
综合运用
√
1
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3
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7
8
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15
16
∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；
{Sn}中最大项为S6，D不正确.
12.在公差d＝3的等差数列{an}中，a2＋a4＝－2，则数列{|an|}的前10项和为
A.127 B.125
C.89 D.70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
√
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4
5
6
7
8
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10
11
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14
15
16
∵d＝3，a2＋a4＝－2，
∴2a1＋4d＝－2，解得a1＝－7.
∴an＝－7＋3(n－1)＝3n－10.
∴当n＝1,2,3时，an<0；n≥4时，an>0.
＝89.
1
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15
16
设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则当n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
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15
16
14.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝_______.
5 050
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
15.已知等差数列{an}，满足a2 023＋a2 024<0，a2 023·a2 024<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于
A.4 045 B.4 046
C.4 035 D.4 034
1
2
3
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5
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16
拓广探究
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列.
又a2 023＋a2 024<0，a2 023·a2 024<0，
所以a2 023>0>a2 024，
即数列的前2 023项为正数，从第2 024项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 045.
1
2
3
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5
6
7
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15
16
16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围.
由(1)知，an＝2n－17，
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意的n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64).作业6 等差数列的前n项和公式
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　)
A．27 B. C．45 D．－9
2．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　)
A. B．2 C. D．4
3．一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么经过________秒落到地面(　　)
A．18 B．19 C．20 D．21
4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665 C．763 D．663
5．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝n2－4n D．Sn＝n2－2n
6．已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)
A．24 B．26 C．25 D．28
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________.
8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
9．(10分)在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；(5分)
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.(5分)
10．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
11．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为(　　)
A．65 B．176 C．183 D．184
12．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
13．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3a8的最大值为________．
14．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，则数列的前n项和Tn＝________.
15．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
16．(12分)某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
作业6　等差数列的前n项和公式
1．A　2.A　3.C
4．B　[∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
5．AC　[设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2
＝n2－4n.]
6．B　[设该等差数列为{an}，
由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，
∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，
∴n＝26.]
7．0
解析　设公差为d，由题意知a2＝a1＋d＝－3，
S5＝5a1＋d＝－10，
即a1＋2d＝－2，
解得a1＝－4，d＝1，
所以a5＝a1＋4d＝0.
8．－1
解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1.
9．解　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
10．解　当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是
an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列．
11．D　[由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得
8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得
a8＝65＋(8－1)×17＝184.]
12．B　[由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，
得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.]
13．16
解析　∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，
S10＝＝
＝40，
∴
∴a3a8≤2≤2＝16.当且仅当a3＝a8＝4时取等号．
14.n2－n
解析　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.
15．3n2－2n
解析　方法一　(观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝
＝＝3n2－2n.
方法二　(引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，
即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，
则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，
即an＝6n－5.
下同方法一．
16．解　设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600，
所以n2＋n－1 200≥0，记 (n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根．
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．
故最下面一层放35根，共堆了28层．作业7 等差数列前n项和的性质及应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
2．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为(　　)
A．30 B．70 C．50 D．60
3．若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 016＝S2 021，Sk＝S2 014，则正整数k为(　　)
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023
5．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
6．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
8．在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023＝________.
9．(9分)(1)在等差数列{an}中，＝，求的值；(4分)
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.(5分)
10．(12分)在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值．
11．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列说法正确的是(　　)
A．d<0
B．S11>0
C．S12<0
D．数列{Sn}中的最大项为S11
12．在公差d＝3的等差数列{an}中，a2＋a4＝－2，则数列{|an|}的前10项和为(　　)
A．127 B．125 C．89 D．70
13．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
14．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________.
15．已知等差数列{an}，满足a2 023＋a2 024<0，a2 023·a2 024<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　　)
A．4 045 B．4 046 C．4 035 D．4 034
16．(12分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围．(6分)
作业7　等差数列前n项和的性质及应用
1．B　[由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.]
2．C　[∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.]
3．C　[＝＝＝＝＝
＝.]
4．D　[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 016＝S2 021，
Sk＝S2 014，
可得＝，
解得k＝2 023.]
5．C　[∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝132，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝120，
∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，
∴S2n＋1＝S奇＋S偶
＝
＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)＝252，
解得n＝10.]
6．ABD　[∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，故B正确；
又a8<0，∴d<0，故A正确；
∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S97．2A
解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A.
8．－2 023
解析　由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，
设其公差为d，则由－＝2，可得2d＝2，即d＝1.又＝－2 023，
所以＝－2 023＋(2 023－1)×1＝－1，
所以S2 023＝－2 023.
9．解　(1)∵{an}为等差数列，
∴S5＝＝5a3，
S9＝＝9a5，
∴＝＝×＝1.
(2)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列，
设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
即10S10＋d＝S100＝10.
又∵S10＝100，代入上式，
得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)d
＝100＋10×(－22)＝－120，
S110＝－120＋S100＝－110.
10．解　方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
解得∴当
即时，
Sn有最小值，
解得11≤n≤12，
∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
方法二　(配方法)由方法一得
∴Sn＝－22n＋×2＝n2－23n
＝2－，
∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
11．AB　[∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，
∴d<0，A正确；
S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，
B正确；
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；
{Sn}中最大项为S6，D不正确．]
12．C　[∵d＝3，a2＋a4＝－2，
∴2a1＋4d＝－2，解得a1＝－7.
∴an＝－7＋3(n－1)＝3n－10.
∴当n＝1,2,3时，an<0；
n≥4时，an>0.
其前n项和Sn＝＝.
则数列{|an|}的前10项和＝－a1－a2－a3＋…＋a10＝S10－2S3＝－2×
＝89.]
13.
解析　设An＝kn(7n＋45)，
Bn＝kn(n＋3)，则当n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，
bn＝k(2n＋2)，
则＝＝，
＝＝，
所以＋＝＋＝.
14．5 050
解析　当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＋
＝5 050.
15．A　[因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列．
又a2 023＋a2 024<0，a2 023·a2 024<0，
所以a2 023>0>a2 024，
即数列的前2 023项为正数，从第2 024项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
S4 045＝
＝4 045a2 023>0，
S4 046＝
＝<0，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 045.]
16．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
S5＝5·＝5a3＝－55，
∴a3＝－11，
∴d＝＝＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴Sn＝＝
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意的n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64)．

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