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19.3课堂学习选择方案之一次函数应用题培优练习人教版2024—2025学年八年级级下册
1．某快递公司为提高效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台．请报据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
2．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟，
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）如果该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，求他本月的通话时间？
（3）若该用户这个月的通话时间为160分钟，使用哪种套餐更划算？
3．为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种）
方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折；
方案二：甲、乙种器材每件均打八折；
设购买甲种器材x件，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
4．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
5．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
6．“双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间．某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示．
进价 售价
乒乓球拍（元/套） 35 a
羽毛球拍（元/套） 40 b
某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元．
（1）求出a，b的值；
（2）根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？
7．某企业生产A、B两种型号的设备共500台，销往甲、乙两个地区，在两地销售可获得的利润情况如下表：
A型设备（万元/台） B型设备（万元/台）
甲地区销售可获得的利润 1.8 1.3
乙地区销售可获得的利润 1.6 1.2
该企业如果将生产的A、B两种型号的设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元，．
（1）求A、B两种型号设备各生产了多少台？
（2）若销往甲地区x台A型设备，余下的所有设备销往乙地区，写出销售这500台设备可获得的利润y（万元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值．
8．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨．用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且每辆车都满载货物．根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元．请选出最省钱的租车方案并求出最少的租车费．
9．为了弘扬爱国主义精神，某中学组织八年级学生到郑州市二七纪念塔展览，现有A、B两种车型可供选择．已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100名；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人，该学校八年级共有320名学生，根据题目提供的信息，解决下列问题：
（1）A，B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，租一辆B型车需要1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
10．某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式．
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
11．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为y元，
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调a（0＜a＜150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润．
12．汤山酥梨是安徽特产，以果实硕大、黄亮美色、皮薄多汁、肉多核小、甘甜酥脆等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年酥梨的产量分别为100吨和150吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存120吨，B仓库可储存130吨．甲，乙两果园运送酥梨到A，B两仓库的费用如下表：
甲果园 乙果园
A仓库 150元/吨 140元/吨
B仓库 200元/吨 180元/吨
（1）设甲果园运往A仓库的酥梨x吨，则运往B仓库的酥梨吨；乙果园运往A仓库的酥梨吨，则运往B仓库的酥梨吨．
（2）求总运费y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（3）当甲果园运往A仓库多少吨酥梨时，总运费最少？总运费最少是多少元？
13．某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
14．深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
种类 A种配件 B种配件
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
15．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
16．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
参考答案
1．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：，
解得：，
答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），根据题意得：m≥10；
w＝3m+2.5（20﹣m）＝0.5m+50，
∵0.5＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，最小值为＝0.5×10+50＝55．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
2．【解答】解：（1）∵A套餐：月租费15元，通话费每分钟0.1元，
∴y1＝0.1x+15，
∵B套餐：月租费0元，通话费每分钟0.15元，
∴y2＝0.15x；
（2）∵该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，
∴y1＝0.1x+15＝50，
解得：x＝350，
∴他本月的通话时间为350分钟；
（3）∵当x＝160时，y1＝0.1×160+15＝31，y2＝0.15×160＝24，
∴y1＞y2，
即通话时间为160分钟，使用B套餐更划算．
3．【解答】解：（1）由题意得：
y1＝20x×0.9+15（300﹣x）×0.6＝9x+2700，
y2＝20x×0.8+15（300﹣x）×0.8＝4x+3600；
（2）当y1＝y2时，9x+2700＝4x+3600，解得x＝180；
当y1＞y2时，9x+2700＞4x+3600，解得x＞180；
当y1＜y2时，9x+2700＜4x+3600，解得x＜180；
∵0≤x≤300，0≤300﹣x≤300，
∴0≤x≤300，
∴当x＝180时，两种方案费用一样；当时180＜x≤300时，方案二支付的费用较少；当时0≤x＜180时，方案一支付的费用较少．
4．【解答】解：（1）由题意得：
y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，
y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720，
（2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，
当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元），
y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），
∵925＜1057.5，
∴方案甲更省钱；
（3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，
当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50，
当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48，
∵50＞48，
∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
5．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（80﹣60）x+（120﹣90）（100﹣x）＝﹣10x+3000；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+3000；
（2）∵商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，
∴60x+90（100﹣x）≤8400，
解得x≥20，
在y＝﹣10x+3000中，y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y取最大值﹣10×20+3000＝2800，
∴商场可获得的最大利润是2800元；
（3）根据题意得：
y＝（80﹣60+a）x+（120﹣90）（100﹣x），
即y＝（a﹣10）x+3000，其中20≤x≤60，
①当0＜a＜10时，a﹣10＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y有最大值，
∴20（a﹣10）+3000＝3120，
解得a＝16（不符合题意，舍去），
∴这种情况不存在；
②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意；
③当10＜a＜15时，a﹣10＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y有最大值，
∴60（a﹣10）+3000＝3120，
解得a＝12，
综上所述，a的值为12．
6．【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
答：a、b的值分别是50元、60元；
（2）设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍（300﹣x）套．总利润为y元，
由题意得：x（300﹣x），
解得：x≥100，
∵y＝（50﹣35）x+（60﹣40）（300﹣x）
＝﹣5x+6000，
∵﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝100时，y最大，且最大值为：﹣5×100+6000＝5500（元），
此时300﹣x＝200，
答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元．
7．【解答】解：（1）由题意得：
，
解得，
答：A种型号设备生产了200台，B种型号设备生产了300台；
（2）由题意得：
y＝1.8x+1.6（200﹣x）+300×1.2，
即y＝0.2x+680（0＜x≤200），
∵0.2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝200时，利润的最大值为0.2×200+680＝720（万元）．
答：利润y（万元）与x之间的函数表达式为y＝0.2x+680（0＜x≤200），利润的最大值为720万元．
8．【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝31，
∴a，
∵a、b都是正整数，
∴，或，或，
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：9×100+1×120＝1020（元）；
方案二需租金：5×100+4×120＝980（元）；
方案三需租金：1×100+7×120＝940（元）；
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
9．【解答】解：（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人，
依题意，得：，
解得：，
答：每辆A型车可载学生30人，每辆B型车可载学生40人；
（2）设租A型车m辆，租B型车n辆，
依题意，得：30m+40n＝320，
解得：n＝8m，
∵m，n均为非负整数，
∴或或，
设学校租车费用为y元，
根据题意得：y＝1000m+1200n＝1000m+1200（8m）＝100m+9600，
∵100＞0，
∴当m＝0时，费用最少，最少费用为9600元，
此时租车方案为：不租A型车，租8辆B型车．
10．【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，由题意可得：
，
解得：，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个，
由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴m≥3（500﹣m），
解得：m≥375，
即W关于x的函数关系式是：W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）；
②由①得W＝﹣2m+1500（375≤m≤500），
∵﹣2＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
11．【解答】解；（1）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为y元，
根据题意有：y＝（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x），
整理，得：y＝20000﹣100x．
∴y与x之间的函数关系式为y＝20000﹣100x；
（2）∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得：．
∵总利润不低于16400元，
∴y≥16400，即20000﹣100x≥16400，
解得：x≤36，
∴．
∵x为整数，
∴x的取值可以为34，35，36，
∴购买方案共有3种．
（3）根据题意有：y＝[1600﹣（1500﹣a）]x+（1400﹣1200）（100﹣x），
整理，得：y＝（a﹣100）x+20000．
当0＜a＜100时，a﹣100＜0，
∴此时y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y最大，ymax＝（a﹣100）×34+20000＝34a+16600；
当100＜a＜150时，a﹣100＞0，
∴此时y随x的增大而增大，
∴当x＝36时，y最大，ymax＝（a﹣100）×36+20000＝36a+16400；
当a＝100时，y＝20000．
∴最大利润为（36a+16400）元．
12．【解答】解：（1）设甲果园运往A仓库的酥梨有x吨，则甲果园运往B仓库的酥梨有（100﹣x）吨；乙果园运往A仓库的酥梨有（120﹣x）吨，乙果园运往B仓库的酥梨有（30+x）吨，
故答案为：（100﹣x），（120﹣x），（30+x）；
（2）由题意得y＝150x+200（100﹣x）+140（120﹣x）+180（30+x）
＝﹣10x+42200，
由题意，得，
∴0≤x≤100，
∴总运费y关于x的函数解析式为y＝﹣10x+42200（0≤x≤100）．
（3）解：∵y＝﹣10x+42200（0≤x≤100），﹣10＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝100时，y最小，最小值为41200．
答：甲果园运往A仓库100吨酥梨时，总运费最少，最少的总运费是41200元．
13．【解答】解：（1）由题意可得，
y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，
即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+15000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100﹣x≤3x，
解得x≥25，
∵y＝﹣50x+15000，k＝﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13750，100﹣x＝75，
答：该商店购进A型25台、B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元．
14．【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260，
答：a的值为260；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100，
∴1≤x≤100（x为正整数），
设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
∴w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000，
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值为：20×100+6000＝8000，
此时300﹣x＝300﹣100＝200，
答：当购进A种配件100件，B种配件200件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
15．【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
16．【解答】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
由题意可得，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n＝180且m＞0，n＞0，
解得或或，
∴该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
（3）当m＝2，n＝13时，获得的利润为：8000×2+6000×13＝94000（元），
当m＝4，n＝8时，获得的利润为：8000×4+6000×8＝80000（元），
当m＝6，n＝3时，获得的利润为：8000×6+6000×3＝66000（元），
由上可得，最大利润为94000元，
∴购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大值为94000元．
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