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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题复习闯关卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）
A．36 πcm2 B．24πcm2 C．18πcm2 D．12 πcm2
2．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为r，的周长等于，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，tanA=l，cosB=，则△ABC的形状（　　）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是纯角三角形 D．无法确定
6．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　）
A． B．12m C． D．
7．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．在中，，，，那么下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（　　）
A． B． C． D．
10．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为3cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　 　cm．
12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、三点都在格点上，则　 　．
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，底面半径OB=6米，则圆锥的侧面积是　 　平方米（结果保留；
14．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为　 　．
15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为　 　m（结果保留整数，）．
16．如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是☉O的直径，点C是半圆AB的中点，点D是☉O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF=DF。
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接BC、BD、AD，若DF=3，求⊙O的半径.
18．已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东方向.（参考数据：，，，，，）
（1）求轮船点B与灯塔点C的距离（结果精确到0.1m）；
（2）轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向.发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？
19．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离是，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度；
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为，求甲乙两楼之间的距离．（结果带根号）（．．）
20．如图，为的直径，切于E，于C，交于D．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
22．宁波市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα=2， MC= 50米．
（1）求无人机的飞行高度AM； （结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ADB =∠BDC =，过点A作交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE 是⊙O 的切线．
24．如图，已知在 中， ．
（1）请用圆规和直尺作出 ，使圆心P在 边上，且与 ， 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
（2）若 ， ，求 的面积．
25．如图，在菱形中，，，以点为圆心的与相切于点，与相交于点
（1）求证：与也相切；
（2）求劣弧的长结果保留.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题复习闯关卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）
A．36 πcm2 B．24πcm2 C．18πcm2 D．12 πcm2
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，
所以这个圆锥的侧面积＝ ×6×2π×3＝18π（cm2）.
故答案为：C.
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.
2．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
【答案】D
【解析】【解答】∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故答案为：D.
【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案.
3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，
∴∠DEH=∠EHA=∠AFE=90°，AF∥BC，
∴四边形EFAH是矩形，∠BAF=∠ABC=60°，
∴EF=AH，∠DAF=∠DAB-∠BAF=30°，
∵AD=20cm，AB=160cm，
∴AH=ABsin∠ABC=160×=（cm），DF=AD=10（cm），
∴EF=AH=（cm），
∴DE=EF+DF=cm
故答案为：D.
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，证明四边形EFAH是矩形，同时得到∠BAF=∠ABC=60°，求得AH，DF的值即可.
4．如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为r，的周长等于，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长AO与PB的延长线相交于点F，
设OF=x，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，DE切⊙O于点C
∴PA=PB，DC=DA，EC=EB，∠PAO=∠OBF=90°，
∵△PED的周长=5r，
∴PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=5r，
∴PA=r=PB，
∵∠PAO=∠OBF=90°，∠F=∠F，
∴△OBF∽△PAF ，
∴，
∴PF=OF = x，AF=BF，
而BF=PF-PB=x-r=(x-r)，
∴AF=×(x-r)=(x-r)，
在Rt△OBF中，OB2+BF2=OF2，即r2+[(x-r)]2=x2，
解得：x=，
∴AF=，
∵DE⊥PA，OA⊥PA，
∴DE∥AF，
∴△PDE∽△PAF ，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长AO与PB的延长线相交于点F，设OF=x，由切线长定理和切线的性质可得PA=PB，DC=DA，EC=EB，∠PAO=∠OBF=90°，结合三角形PED的周长可将PA和PB用含r的代数式表示出来；根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBF∽△PAF ，由相似三角形的性质可得比例式，则BF和AF可用含x、r的代数式表示出来，在Rt△OBF中，用勾股定理可将x用含r的代数式表示出来，则AF也用含r的代数式表示出来；然后由“平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△PDE∽△PAF ，进而再根据相似三角形对应边成比例可得比例式求解.
5．在△ABC中，tanA=l，cosB=，则△ABC的形状（　　）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是纯角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：，，
，，
，
则的形状是锐角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据特殊锐角三角函数值求得∠A，∠B的度数后进行判断即可．
6．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　）
A． B．12m C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD=6m，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴（m），
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴（m），
∴（m），
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD=6m，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可求解.
7．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到∠C的度数，进而解直角三角形即可求解。
8．在中，，，，那么下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在Rt中，由勾股定理得出：，
A选项中因为，故此选项不符合题意；
B选项中因为，故此选项不符合题意；
C选项中因为，故此选项符合题意；
D选项中因为，故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦、余弦和正切的定义及计算方法逐项分析判断即可.
9．如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，如图所示：
则，
∵劣弧沿弦翻折恰好经过点O，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且由翻折而成，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故B正确．
故答案为：B．
【分析】连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，先证出为等边三角形，得出， 再利用勾股定理求出，， 最后求出即可.
10．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在正方形中，
∴=CB=CD，=DO=BO，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
如图，作于，于，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
【分析】先证明，得到，，可知，再作于，于，证明，得到，，再证明，得到，用未知数表示出相关线段的长：设，，则，可知，，，，在证明，可知，即，则．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为3cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　 　cm．
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，
∵母线OB=l=3cm，扇形OBC的圆心角θ为120°，
∴扇形的弧长=，
∴底圆的周长为2π，
∴2πr=2π，
∴r=1.
故答案为：1.
【分析】首先利用弧长计算公式求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，接着用圆的周长公式即可求得圆锥的底面圆的半径r.
12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、三点都在格点上，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC交延长线于点E，如图：
∴AE=BE=4，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】构造含∠ABC的直角三角形，然后解直角三角形即可.
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，底面半径OB=6米，则圆锥的侧面积是　 　平方米（结果保留；
【答案】60π
【解析】【解答】解：∵AO=8米，OB=6米，
∴AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π（米），
∴S扇形=×12π×10=60π（平方米），
故答案为：60π.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再求出圆锥的底面周长，根据扇形面积进行计算即可.
14．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点O作于点M，
∴BC=2MC，∠BOC=2∠A=120°，
∵点O到的距离为2，
∴OM=2，
∵，，
∴，
∴在中，
∴即，
解之：，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，过点O作于点M，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2MC，同时求出∠BOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数；再利用解直角三角形求出MC的长，可得到BC的长.
15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为　 　m（结果保留整数，）．
【答案】328
【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，
∴BD=120m.
∵∠CAD=60°，AD=120，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=120+≈328.
故答案为：328.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根据三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
16．如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过作交于，延长、交于点，
∵
∴设，
在Rt△GDF中， ，
∴设，，
∴由勾股定理得：DG==4b，
∵
∴，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：EG==b，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
整理得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，设，过作交于，根据已知条件得，设，，在Rt△GDF中，用勾股定理可将DG用含b的代数式表示出来，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2GF，在Rt△EDF中，由勾股定理可将EG用含b的代数式表示出来，然后由线段的构成ED=DG+EG将ED用含b的代数式表示出来，延长、交于点，由矩形的性质得AD∥BC，由“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”得，求出，，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，于是可得比例式求出AD的值，然后代入计算即可求解．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是☉O的直径，点C是半圆AB的中点，点D是☉O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF=DF。
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接BC、BD、AD，若DF=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵点C是半圆的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∵，
∴，
即，
∴．
∵为⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
∵
∴∠OAD=∠ODA
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
解得：．
∴⊙O的半径为．
【解析】【分析】（1）连接OD、OC，由圆心角、弧、弦的关系、直角三角形两锐角互余、对顶角相等及等边对等角易证得∠EDF+∠ODC=90°，即∠ODF=90°，然后根据圆的切线的判定即可判断DF是⊙O的切线；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠BCD，根据等角的同名三角形函数值相等及锐角三角函数可得，由等角的余角相等及等边对等角可得∠BDF=∠A，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△FBD∽△FDA，所以可得比例式，结合已知可求出FB的值；设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解.
18．已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东方向.（参考数据：，，，，，）
（1）求轮船点B与灯塔点C的距离（结果精确到0.1m）；
（2）轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向.发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？
【答案】（1）解：如图，过点作的垂线，交点为，
由题意得：海里，
设，在中，
，
，
，
在中，
，
，即：，
解得：，
海里.
（2）解：如图，
点D位于点C的正南方向，
三点共线，
，
由（1）得：，
点D位于点B的北偏东54°方向，
，
在中，，
即：，
解得：，
，，
轮船从到的时间为：小时，
2个小时后维修船向点D处行驶，
维修船时间为1.2小时，
维修船路程为海里，
，
维修船能在轮船到达岛屿之前到达点D处.
【解析】【分析】（1）过点C作AE的垂线，交AE于点F，利用已知条件求出AB的长，设CF=x，可表示出BF，AF的长；在Rt△CAF中，利用解直角三角形，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出BC的长.
（2）由点D位于点C的正南方向，可得到点C，D，F三点共线，可推出DF⊥BF，由（1）可知BF的长；由点D位于点B的北偏东54°方向，可求出∠DBF的度数，再利用解直角三角形求出DF的长；再求出CD，DB的长；然后求出维修船时间为1.2小时，即可求出维修船路程，据此可作出判断.
19．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离是，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度；
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为，求甲乙两楼之间的距离．（结果带根号）（．．）
【答案】（1）解：由题意，得：，，
在中，，
∴，
∴，
答：甲楼的高度为；
（2）解：如图，过点F作于点M，
设两楼间的距离为，则，
根据题意得：，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
解得：，
∴两楼间的距离为．
【解析】【分析】（2） 过点F作于点M，设两楼间的距离为，则，由题意可得，，根据等腰直角三角形的性质得 ， 在中，， 即 ，， 根据题意可得 ， 解之即可。
20．如图，为的直径，切于E，于C，交于D．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∴，
∴．
∵切于E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴，
∴，
解得，
∴的半径为2．
【解析】【分析】（1）连接， 根据切线的性质可得 ，可得 ，则 ， 可证平分；
（2） 连接， 根据角平分线的定义可得，可求出，在中，根据 可得。
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
【答案】（1）解： 于点 ， ，
在 中， ，
，
： ： ，
；
（2）解：如图，过A作 ，交 的延长线于G，
， ，
，
在 中， ，
.
【解析】【分析】（1）根据∠DCF的余弦函数可得CD，然后根据CE∶CD=1∶5就可求出DE；
（2）过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，根据已知条件可知DE=BC=AB，结合DE的值可得AC，然后根据∠DCF的正弦函数可求出AG，即h的值.
22．宁波市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα=2， MC= 50米．
（1）求无人机的飞行高度AM； （结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）解：∵AB∥MC，
∴∠ACM= α，
∴AM=MCtanα= 50 ×2
=100 (米).
（2）解：如图，作BH⊥MC于H点，
∵∠HBD=90°-30°=60°，
∴HD=BHtan∠CBD=100 × =300，
∴CD=AH+HC
=AB+HC
=50+300-50
=350-50×1.73=263(米).
故河宽CD长为263米.
【解析】【分析】(1)在Rt△AMC中，根据正切三角函数的定义即可求出AM的长即可；
(2)过点B作BH⊥MD，在Rt△BHD中，利用三角函数求出HD长，再利用线段间的和差关系求CD长即可.
23．如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ADB =∠BDC =，过点A作交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE 是⊙O 的切线．
【答案】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB=∠BDC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）先证明△ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠ABC=60°；
（2）连接AO并延长交BC于F，先证明AF⊥AE，再结合OA是⊙O的半径，即可得到AE是⊙O的切线。
24．如图，已知在 中， ．
（1）请用圆规和直尺作出 ，使圆心P在 边上，且与 ， 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解：如图所示，则 为所求作的图．
（2）解：设 与 相切于点 ，连接 ，则 ．
【解析】【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；（2）首先求得∠ABP=∠PBC=30°，根据三角函数可得BC=2 ，再根据三角形的面积公式即可求解．
25．如图，在菱形中，，，以点为圆心的与相切于点，与相交于点
（1）求证：与也相切；
（2）求劣弧的长结果保留.
【答案】（1）证明：连接，过作于，则，
与相切于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
与也相切；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，是等边三角形，
，，，
，
，
∴劣弧的长为.
【解析】【分析】（1） 连接DE，过D作DM⊥BC于M，则∠CMD=90°， 由切线的性质及垂直的定义得∠AED=∠CMD=90°，由菱形的性质得AD=CD，∠C=∠A=60°，用AAS判断出△ADE≌△CDM，根据全等三角形性质得DE=DM，从而根据切线的判定得出结论；
（2）易得△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠EDB=30°，由角的和差得∠EDC=90°，从而根据弧长计算公式即可算出 劣弧的长 .
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