资源简介

2.2.3　直线的一般式方程
2．2.4　直线的方向向量与法向量
[学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
一、直线的一般式方程
问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？
问题2　每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
知识梳理
1．二元一次方程与直线的关系
平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示；反之，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
2．方程________________________________称为直线的一般式方程，简称一般式．
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
反思感悟　求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1　根据下列条件分别写出直线的一般式方程．
(1)经过两点A(5,7)，B(1,3)；
(2)经过点(－4,3)，斜率为－3；
(3)经过点(2,1)，平行于y轴；
(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.
二、直线一般式方程的应用
例2　在△ABC中，A(4,2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求：
(1)直线AB，AC的方程；
(2)△ABC的面积S.
反思感悟　含参数的直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得直线在y轴上的截距．令y＝0可得直线在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率为1.
三、直线的方向向量与法向量
问题3　什么叫作直线PQ的方向？
问题4　直线QP与PQ表示同一条直线，那么两个相反向量，的方向都代表直线PQ的方向吗？
知识梳理
1．方向向量：把与直线l________的非零向量v都称为l的方向向量，直线l的方向向量v并不唯一，v的所有非零实数倍λv都是方向向量．
2．斜率为k的直线的方向向量为__________的非零实数倍．
3．直线的法向量：与直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)________的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量．
例3　(1)求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量．
(2)求下列直线的方程：
①经过点(2,1)，且垂直于n＝(2，－3)；
②经过点(2，－3)，且平行于v＝(2,4)．
反思感悟　已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思想
(1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C.
(2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量．
跟踪训练3　(1)若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是(　　)
A．(1，－1) B．(1,1)
C．(－1,1) D．(2，－)
(2)写出满足下列条件的直线的方程．
①经过点A(1,1)和B(3,2)；
②平行于向量(2,5)，并且经过点A(1,2)．
1．知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线的方向向量和法向量．
(3)直线一般式方程的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
2．若直线l的一个方向向量为a＝(－2,6)，则直线l的斜率是(　　)
A. B．－ C．3 D．－3
3．(多选)过点(2,1)，且斜率k＝－2的直线方程为(　　)
A．x－1＝－2(y－2)
B．2x＋y－1＝0
C．y－1＝－2(x－2)
D．2x＋y－5＝0
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
22.3　直线的一般式方程
2.2.4　直线的方向向量与法向量
问题1　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程．
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程．
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示．
问题2　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成
y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．
当B＝0时，由于A，B不同时为0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线．
因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线．
知识梳理
2．Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
例1　解　(1)由点斜式，得直线的方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式，得直线的方程为
＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程，得直线的方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
跟踪训练1　解　(1)由两点式，得直线的方程为＝，
即x－y＋2＝0.
(2)由点斜式，得直线的方程为
y－3＝－3(x＋4)，
即3x＋y＋9＝0.
(3)由题意知，直线的方程为x＝2，
即x－2＝0.
(4)由点斜式，得直线的方程为
y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
例2　解　(1)因为直线AB在y轴上的截距为1，所以其过点D(0,1)，
所以直线AB的方程为＝，
化简得y＝x＋1，故直线AB的方程为x－4y＋4＝0.
由题意知直线AC的斜率为
k＝tan 45°＝1，
所以直线AC的方程为y－2＝x－4，
化简得x－y－2＝0.
(2)由(1)知，直线AB的方程为x－4y＋4＝0，
令y＝0，得x＝－4，故B(－4,0)，
直线AC的方程为x－y－2＝0，
令x＝0，得y＝－2，故C(0，－2)．
所以S＝S△ACD＋S△BCD＝|CD|×4＋|CD|×4＝4|CD|＝12.
跟踪训练2　解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝，
∴＝－3，
解得m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，
即m≠且m≠－1.
将直线l的方程化为斜截式方程，
得y＝x＋，
则＝1，
解得m＝－2.
问题3　直线上两个不同点P，Q之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量来表示．
问题4　向量，的方向都代表直线PQ的方向．
知识梳理
1．平行
2．(1，k)
3．垂直
例3　(1)解　将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5，其斜率k＝4，
因此，该直线的全体方向向量为λ(1,4)，其中λ为任意非零实数．
(2)解　①由题意知，
直线的一个法向量为n＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
②方法一　由题意知，直线的一个方向向量为v＝(2,4)，∴k＝＝2，
故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二　由题意知，
直线的一个方向向量为v＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为n＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)，
得8＋6＋C＝0，
解得C＝－14，
∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0，
即2x－y－7＝0.
跟踪训练3　(1)B　[∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k＝－1，∴直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的一个法向量为(1,1)．]
(2)解　①由已知条件可知直线的一个方向向量＝(2,1)，
∴直线的一个法向量n＝(1，－2)．
因此可设直线的一般式方程为x－2y＋C＝0，
代入A(1,1)，得C＝1，
∴所求直线的方程为x－2y＋1＝0.
②∵所求直线平行于向量(2,5)，
∴所求直线的斜率为.
又直线经过点A(1,2)，
∴所求直线的方程为y－2＝(x－1)，
整理得5x－2y－1＝0.
随堂演练
1．D　2.D　3.CD　4.3(共71张PPT)
第2章
<<<
2.2.3　直线的一般式方程　2.2.4　直线的方向向量与法向量
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
学习目标
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
导 语
一、直线的一般式方程
二、直线一般式方程的应用
课时对点练
三、直线的方向向量与法向量
随堂演练
内容索引
直线的一般式方程
一
平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？
问题1
提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程.
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
问题2
提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成
因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.
1.二元一次方程与直线的关系
平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示；反之，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
2.方程_____________________________称为直线的一般式方程，简称一般式.
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程；
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数.
注 意 点
<<<
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
注 意 点
<<<
　　　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
例 1
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
即2x＋y－3＝0.
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
即x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.
y－2＝0.
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
反
思
感
悟
求直线一般式方程的策略
　　　　　根据下列条件分别写出直线的一般式方程.
(1)经过两点A(5,7)，B(1,3)；
跟踪训练 1
(2)经过点(－4,3)，斜率为－3；
由点斜式，得直线的方程为y－3＝－3(x＋4)，
即3x＋y＋9＝0.
(3)经过点(2,1)，平行于y轴；
(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.
由题意知，直线的方程为x＝2，即x－2＝0.
由点斜式，得直线的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
二
直线一般式方程的应用
　　　在△ABC中，A(4,2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求：
(1)直线AB，AC的方程；
例 2
因为直线AB在y轴上的截距为1，所以其过点D(0,1)，
由题意知直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1，
所以直线AC的方程为y－2＝x－4，
化简得x－y－2＝0.
(2)△ABC的面积S.
由(1)知，直线AB的方程为x－4y＋4＝0，
令y＝0，得x＝－4，故B(－4,0)，
直线AC的方程为x－y－2＝0，
令x＝0，得y＝－2，故C(0，－2).
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得直线在y轴上的截距.令y＝0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
反
思
感
悟
含参数的直线方程的研究策略
　　　　　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
跟踪训练 2
(2)直线l的斜率为1.
将直线l的方程化为斜截式方程，
解得m＝－2.
直线的方向向量与法向量
三
什么叫作直线PQ的方向？
问题3
直线QP与PQ表示同一条直线，那么两个相反向量 的方向都代表直线PQ的方向吗？
问题4
1.方向向量：把与直线l_____的非零向量v都称为l的方向向量，直线l的方向向量v并不唯一，v的所有非零实数倍λv都是方向向量.
2.斜率为k的直线的方向向量为_______的非零实数倍.
3.直线的法向量：与直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)_____的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量.
平行
(1，k)
垂直
　　　(1)求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量.
例 3
将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5，
其斜率k＝4，
因此，该直线的全体方向向量为λ(1,4)，其中λ为任意非零实数.
(2)求下列直线的方程：
①经过点(2,1)，且垂直于n＝(2，－3)；
由题意知，
直线的一个法向量为n＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
②经过点(2，－3)，且平行于v＝(2,4).
故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二　由题意知，
直线的一个方向向量为v＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为n＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)，得8＋6＋C＝0，
解得C＝－14，
∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0，
即2x－y－7＝0.
反
思
感
悟
(1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C.
(2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量.
已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思想
　　　　　(1)若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是
A.(1，－1) B.(1,1)
跟踪训练 3
√
∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k＝－1，∴直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的一个法向量为(1,1).
(2)写出满足下列条件的直线的方程.
①经过点A(1,1)和B(3,2)；
∴直线的一个法向量n＝(1，－2).
因此可设直线的一般式方程为x－2y＋C＝0，
代入A(1,1)，得C＝1，
∴所求直线的方程为x－2y＋1＝0.
②平行于向量(2,5)，并且经过点A(1,2).
∵所求直线平行于向量(2,5)，
又直线经过点A(1,2)，
整理得5x－2y－1＝0.
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程.
(2)直线的方向向量和法向量.
(3)直线一般式方程的应用.
2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.
3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
√
2.若直线l的一个方向向量为a＝(－2,6)，则直线l的斜率是
1
2
3
4
√
3.(多选)过点(2,1)，且斜率k＝－2的直线方程为
A.x－1＝－2(y－2)
B.2x＋y－1＝0
C.y－1＝－2(x－2)
D.2x＋y－5＝0
1
2
3
4
由题意知直线方程为y－1＝－2(x－2)，化为一般式为2x＋y－5＝0.
√
√
1
2
3
4
4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____.
3
课时对点练
五
1.过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为
A.4x＋3y＋12＝0 B.4x＋3y－12＝0
C.4x－3y＋12＝0 D.4x－3y－12＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
2.在平面直角坐标系中，直线x＋ y－3＝0的倾斜角是
A.30° B.60°
C.150° D.120°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.直线3x＋4y－1＝0的一个方向向量是
A.(3,4) B.(4,3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则
A.若c>0，则a>0，b>0
B.若c>0，则a<0，b<0
C.若c<0，则a>0，b<0
D.若c<0，则a>0，b>0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
5.直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为
A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　∵直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
方法二　由题意知直线的一个法向量为n＝(3,1)，∴直线的方程可设为3x＋y＋C＝0，将点(0,2)代入得C＝－2，故所求直线的方程为3x＋y－2＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线
在y轴上的截距为_____.
把(3,0)代入已知方程，
得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
8.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6
直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0，得y＝3，
令y＝0，得x＝4，
9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.
(1)求实数m需满足的条件；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，
故m≠2.
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意知，m≠2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(x，1).
又∵点A的坐标为(1,3)，D为AB的中点，
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴点B的坐标为(5,1).
同理可求出点C的坐标是(－3，－1).
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0，x－y＋2＝0.
11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为______________.
2x＋3y＋4＝0
∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)，
所以直线l的方程为x－3y＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
解得k>0；
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意可知k≠0，再由l的方程，
解得k>0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴Smin＝4，此时直线l的方程为
x－2y＋4＝0.作业20 直线的一般式方程、直线的方向向量与法向量
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分
1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　)
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
2．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
3．直线3x＋4y－1＝0的一个方向向量是(　　)
A．(3,4) B．(4,3)
C. D.
4．(多选)已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　)
A．若c>0，则a>0，b>0
B．若c>0，则a<0，b<0
C．若c<0，则a>0，b<0
D．若c<0，则a>0，b>0
5．直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为(　　)
A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0
6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A．－，－1 B.，－1
C．－，1 D.，1
7．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
8．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________________________________________________________________________．
9．(9分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m需满足的条件；(4分)
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．(5分)
10．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
12．(多选)已知直线l：x＋y＋3＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角为
B．直线l的一个法向量为(，－1)
C．直线l的一个方向向量为(1，－)
D．直线l的斜率为－
13．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
14．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．
15．直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)．若角α的终边落在直线l上，则＝________.
16．(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；(3分)
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(4分)
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(5分)
作业20　直线的一般式方程、直线的方向向量与法向量
1．C　[由截距式方程得直线的方程为＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0.]
2．C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°.]
3．C　[由题意，得直线3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，可得直线的一个方向向量为(1，k)＝.]
4．BD　[由直线ax＋by＋c＝0，可得y＝－x－，根据图象可得－<0，－>0，∴若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.]
5．B　[方法一　∵直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
方法二　由题意知直线的一个法向量为n＝(3,1)，∴直线的方程可设为3x＋y＋C＝0，将点(0,2)代入得C＝－2，故所求直线的方程为3x＋y－2＝0.]
6．A　[原方程化为＋＝1，
∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
且x－y－＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－.]
7．－
解析　把(3,0)代入已知方程，
得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
8．6
解析　直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0，得y＝3，
令y＝0，得x＝4，
不妨令A(4,0)，B(0,3)，
则S△AOB＝×4×3＝6.
9．解　(1)由
解得m＝2.
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，
故m≠2.
(2)由题意知，m≠2，
由－＝1，解得m＝0.
10．解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(x,1)．
又∵点A的坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得点D的坐标为.
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴点B的坐标为(5,1)．
同理可求出点C的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0，x－y＋2＝0.
11．D　[∵k＝－，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是.]
12．CD　[由题意可得直线l的斜率k＝－，故D正确；所以直线l的倾斜角为，故A错误；直线l的一个方向向量为(1，－)，故C正确；直线l的一个法向量为(，1)，又(，－1)与(，1)不平行，故B错误．]
13．2x＋3y＋4＝0
解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
14．8
解析　因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，即＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当n＝2m，
即n＝，m＝时，等号成立，
故＋的最小值为8.
15．－
解析　因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)，
所以直线l的方程为x－3y＝0，
当x>0时，取终边上的点(3,1)，可得tan α＝，
当x<0时，取终边上的点(－3，－1)，可得tan α＝＝，
所以若角α的终边落在直线l上，则tan α＝，
＝＝＝－.
16．(1)证明　直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1)．
(2)解　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得
解得k>0.
∵S＝|OA|·|OB|
＝·|1＋2k|
＝·
＝≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当k>0且4k＝，
即k＝时，等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为
x－2y＋4＝0.

展开更多......

收起↑