资源简介

4.4.1　二项式定理
[学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
一、二项式定理
问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(1)这个公式称为二项式定理．
(2)展开式：右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有________项．
(3)二项式系数：各项的系数C(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数．
(4)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫作二项展开式的通项，记作Tr＋1＝________________.
二、二项式定理的正用与逆用
例1　(1)求4的展开式；
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
延伸探究　若将例1(2)的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果．
反思感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪训练1　(1)求5的展开式；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.
三、二项展开式的通项的应用
角度1　二项式系数与项的系数
例2　在二项式9的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)x3的系数．
角度2　展开式中的特定项
例3　在二项式12的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项．
反思感悟　(1)正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．
(2)求二项展开式特定项的步骤
跟踪训练2　(1)在6的展开式中，x6的系数是________．
(2)二项式6的展开式中的常数项是(　　)
A．160 B．－160 C．20 D．－20
1．知识清单：
(1)二项式定理．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与项的系数的区别，Can－rbr是展开式的第r＋1项．
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
2.9的展开式中的第4项是(　　)
A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4
3.4的展开式中的常数项为________．
4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
4.4.1　二项式定理
问题　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C·C＝22项，而且每一项都是a2－r·br(r＝0,1,2)的形式．而且a2－rbr相当于从2个(a＋b)中取r个b的组合数C.
知识梳理
Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn　
(2)n＋1　(4)r＋1　Can－rbr
例1　解　(1)方法一　4
＝C(3)4＋C(3)3＋
C(3)22＋C·33＋C4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]
＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)
＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0
＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
延伸探究　解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
跟踪训练1　解　(1)方法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋
C(2x)23＋C(2x)·4＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二　5＝
＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3·(－3)2＋C(4x3)2·(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]
＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1·(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
例2　解　(1)由已知得，二项式通项为
Tr＋1＝Cx9－rr
＝(－1)rCx9－2r，
∴T6＝(－1)5Cx9－2×5＝－126x－1.
∴第6项的二项式系数为C＝126，
第6项的系数为－126.
(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则由(1)得9－2r＝3，即r＝3，
∴展开式中第4项含x3，
其系数为(－1)3·C＝－84.
例3　解　12的展开式的通项为
Tr＋1＝Cx12－r·r＝(－1)rC .
(1)令r＝3，则T4＝(－1)3C＝－220x8.
(2)令12－r＝0，得r＝9，
所以常数项为(－1)9C＝－220.
(3)当r＝0,3,6,9,12时，Tr＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝.
跟踪训练2　(1)160
解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x3)6－rr
＝26－rCx18－4r，
令18－4r＝6，得r＝3，
所以x6的系数是23C＝160.
(2)B　[6的展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－rr＝(－2)rCx6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，
所以展开式的常数项为(－2)3C＝－160.]
随堂演练
1．B　[展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.]
2．B　[T4＝Cx63＝84x3.]
3．－4
解析　4的展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)4－rr＝(－1)rCx12－4r，令12－4r＝0，得r＝3，则常数项为T4＝(－1)3C＝－4.
4．x4
解析　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1
＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4
＝[(x＋1)－1]4＝x4.(共60张PPT)
4.4.1
第4章
<<<
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
学习目标
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡
导 语
下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理
二、二项式定理的正用与逆用
课时对点练
三、二项展开式的通项的应用
随堂演练
内容索引
一
二项式定理
在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
问题
二项式定理
(a＋b)n＝______________________________________.
(1)这个公式称为二项式定理.
(2)展开式：右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有 项.
(3)二项式系数：各项的系数 (其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数.
(4)通项：(a＋b)n展开式的第 项叫作二项展开式的通项，记作Tr＋1＝___________.
n＋1
r＋1
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
(3)a与b的位置不能交换.
注 意 点
<<<
二
二项式定理的正用与逆用
例 1
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
延伸探究
逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
反
思
感
悟
跟踪训练 1
二项展开式的通项的应用
三
例 2
角度1　二项式系数与项的系数
由已知得，二项式通项为
第6项的系数为－126.
(2)x3的系数.
设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则
由(1)得9－2r＝3，即r＝3，
∴展开式中第4项含x3，
角度2　展开式中的特定项
例 3
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项.
反
思
感
悟
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
(2)求二项展开式特定项的步骤
(1)正确区分二项式系数与项的系数
跟踪训练 2
160
令18－4r＝6，得r＝3，
√
1.知识清单：
(1)二项式定理.
(2)二项式定理的正用与逆用.
(3)二项展开式的通项的应用.
2.方法归纳：转化化归.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是
A.2n B.2n＋1 C.2n－1 D.2(n＋1)
√
展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
－4
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为______.
1
2
3
4
(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1
x4
＝[(x＋1)－1]4＝x4.
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于
A.9 B.10 C.11 D.8
√
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，
∴n＝11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由展开式中x3的系数为－160，
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
A.5 B.6 C.7 D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5 B.5 C.－10 D.10
√
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.
7.若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题知，
又正整数n>1,0≤r≤n，
则2n＝5r，
所以不妨令n＝5，则r＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)写出该二项式的展开式中所有的有理项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当且仅当r是6的倍数时，
展开式中的项是有理项，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是
A.60 B.80 C.84 D.120
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为
A.3 B.6 C.9 D.21
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝____，a2＋a3＋a4＝_____.
5
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10
因为第9项为常数项，
解得n＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6
(2)含x的整数次幂的项有____个.
由于r＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
当m＝3，n＝4时，
f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以m＝12－2n.
所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值.第1课时　二项式定理
　[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　)
A．9 B．10 C．11 D．8
2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3.6的展开式中的常数项为(　　)
A．60 B．－60 C．250 D．－250
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)
A．840 B．－840 C．210 D．－210
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7．(5分)若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
8．(5分)写出一个正整数n>1，使得n的展开式中存在常数项的n的值为__________．
9．(10分)已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；(5分)
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．(5分)
10．(12分)已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；(6分)
(2)写出该二项式的展开式中所有的有理项．(6分)
11．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 B．80 C．84 D．120
12．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．21
13．(5分)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______.
14．(5分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．(5分)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a＝______.
16．(13分)已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；(6分)
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？(7分)
作业60　二项式定理
1．C　[∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.]
2．B　[(1－2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C1n－r·(－2x)r＝(－2)rCxr，
由展开式中x3的系数为－160，
得(－2)3C＝－160，
则C＝20，解得n＝6.]
3．A　[6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.]
4．A　[在通项Tr＋1＝Cx10－r(－y)r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.]
5．A　[a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
6．D　[(1－x)5中x3项的系数为－C＝－10，
－(1－x)6中x3项的系数为－C·(－1)3＝20，
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.]
7．8
解析　(1＋2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，由x3的系数等于x2的系数的4倍，得C23＝4C22，解得n＝8.
8．5(答案不唯一)
解析　由题知，
n展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝2r·C，
要使展开式中存在常数项，只需＝0有解，
又正整数n>1,0≤r≤n，
则2n＝5r，
所以不妨令n＝5，则r＝2.
9．解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
(2)由(1)知，n＝9，故二项式9的展开式的通项为
Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rC，
令＝3，得r＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．解　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得，C＋C＝2C，
即＋
＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)由(1)知，n＝14，故二项式(＋)14的展开式的通项
Tr＋1＝C x＝C，
当且仅当r是6的倍数时，
展开式中的项是有理项，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
当r＝0时，T1＝Cx7＝x7；
当r＝6时，T7＝Cx6＝3 003x6；
当r＝12时，T13＝Cx5＝91x5.
11．D　[由二项展开式的通项可知(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C，由组合数的性质C＋C＝C，且C＝C，可得C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝＝120.]
12．B　[∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.]
13．5　10
解析　(x－1)3展开式的通项为
Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5，
a2＝C(－1)1＋C＝3，
a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0.
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
14．(1)10　(2)6
解析　二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·r＝(－1)rn－rC.
(1)因为第9项为常数项，
所以当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－r为整数，需r为偶数，
由于r＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个．
15．2
解析　二项式6(a>0)的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)r· ，
令6－r＝3，得r＝2；令6－r＝0，得r＝4，
∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．解　(1)当m＝3，n＝4时，
f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N＋，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．

展开更多......

收起↑