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第4章《因式分解》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式分解因式结果不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．无论、取何值，多项式的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
5．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A． B．5 C．1 D．
7．若多项式，则是（　　）
A． B． C． D．
8．已知在中，a、b、c是三边的长，且，那么的值是（ ）．
A． B． C． D．1
9．若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
10．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解： ．
12．若，则n的值是 ．
13．已知实数a，b，c满足：，且，则 ．
14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
15．已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ．
16．关于的方程的正整数解的个数 个．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）将下列多项式分解因式
(1) (2)
18．（6分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
19．（8分）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求式子的值；
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
20．（8分）阅读以下文字并解决问题：
对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即： ，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
(1)利用“配方法”因式分解：．
(2)若，，求：
①，
②的值．
(3)如果，求的值．
21．（8分）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”．
(1)小华说“”是“3倍数”，川川说“，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由；
(2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由．
22．（8分）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
根据以上方法，把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
23．（8分）【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：　　　　　　　　　　；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个 试通过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．
答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
2．C
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，含因式，不符合题意；
、，含因式，不符合题意；
、，不含因式，符合题意；
、，含因式，不符合题意；
故选：．
3．D
【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故选D．
4．A
【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．
【详解】解：∵≥1＞0，
∴多项式的值总是正数．
故选：A．
5．B
【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．
【详解】解：原式=
=
=
=．
故选：B．
6．D
【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．
【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相减的差为：；
故选：D
7．C
【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值．
【详解】解：
，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出，得出，求出，再代入求值即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．C
【分析】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，进而可得结果．
【详解】解：
∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），
∴x﹣2y＝2，
∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x），
∴x＋2y＝﹣2m，
∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy
＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy）
＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy）
＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2
＝4m﹣4m2
＝﹣（2m﹣1）2＋1，
∵0＜m＜1，
∴0＜2m＜2，
∴﹣1＜2m﹣1＜1，
∴0＜（2m﹣1）2＜1，
∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1．
故选：C．
10．D
【分析】根据定义分别判断即可．
【详解】解： ，且1，2是最小的正整数，故①正确；
设整数
则
当不是质数时，拆分方式不止一种，
如：=，故②正确；
当时，，是一个质数，故不能拆解为形式，
故为“不可拆分”整数．
而，为“可拆分”整数，
，为“可拆分”整数，
，为“可拆分”整数，
故最大的“不可拆分”的两位整数是96．③正确
故选D
二．填空题
11．/
【分析】
此题考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式进行分解即可，关键是掌握完全平方公式：．
【详解】
解：原式，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练的把已知条件进行变形是解本题的关键．由，进而得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查因式分解的实际应用，非负性．将，转化为，得到，结合，求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
故答案为：6．
14．273024或272430
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法和公式法分解因式，再把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】解：或，
当，时，，，，
产生的密码是：273024或272430，
故答案为：273024或272430．
15．
【分析】依据转换得到，，将变形为整理得即，结合得求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．1
【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案．
【详解】解：
，
由题意可知，
列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种），
，
，
，
∵因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，则有，
又∵，，，
∴根据题意可列出方程组为或或，
解第一个方程组，可得，
解第二个方程组，可得，
解第三个方程组，可得，
只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个．
故答案为：1．
三．解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
18．（1）解：由题意得，第二步到第三步运用了完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设，
∴原式
．
19．（1）解
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴原式；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
20.（1）解：
；
（2）解： ，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
．
21．（1）解：∵，
∴“”不是“3倍数”，
∴小华的说法不正确；
∵，
∴是“3倍数”，
∴川川的说法正确；
（2）解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，
由题意得：．
∴，
∴，
∴，
∵的整数，的整数，的整数，
∴b的可能值为3，6，9，
∴或或（不合题意，舍去）．
当时，
∵，
∴．
当时，
∵，
∴（不合题意，舍去）．
∴，
∵这个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，“3倍数”的各个数位上的数字之和为3的倍数，
∴满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349．
22．（1）原式
；
（2）原式
.
23．（1）根据题意可知：，
故答案为：；
（2）号长方体需要个，号长方体需要个，
；
（3）由题意得：，
由上可知：，
∴，整理得：，
∵且与两个大小不同正方体的棱长，
∴，
∴，则，
∵为整数，则为平方数，
∴，
∴．

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