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2025年广州市普通高中毕业班综合测试 (一)
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔在答
题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上
要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.若复数 z满足 1+ iz= i，则 z的虚部为 ( )
A. - 1 B. 1 C. - i D. i
2.已知集合A={x ∣ 0≤ x≤ a},B= x∣x2-2x≤0 ，若B A，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 0,2 B. (0,2] C. 2,+∞ D. [2, +∞)

3.在平行四边形 ABCD中，点 E是 BC边上的点，BC = 4EC，点 F是线段DE的中点，若 AF =

λAB+ μAD，则 μ= ( )
A. 54 B. 1 C.
7
8 D.
3
4
4.已知球O的表面积为 4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线
π
与下底面所成角为 3 ，则该圆台的侧面积为 ( )
A. 3 34 π B.
3 3 3
2 π C. 2 π D. 3π
2 y2
5.已知点 P在双曲线 C : x2 - 2 = 1 a>0,b>0 上，且点 P到C的两条渐近线的距离之积等于a b
a2
2 ，则C的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
6.已知实数 a,b满足 3a= 4b，则下列不等式可能成立的是 ( )
A. b< a< 0 B. 2b< a< 0 C. 0< a< b D. 0< 2b< a
7.已知ω> 0，曲线 y= cosωx与 y= cos ωx- π3 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω=
( )
A. 33 π B.
2
2 π C. 2π D. 3π
1
8.定义域为 R 的偶函数 f x 在 (-∞ , 0 ] 上单调递减，且 f 3 = 0，若关于 x 的不等式
mx-2 f x-2 ≥ nx+3 f 2-x 的解集为 [-1, +∞)，则 em-2n+ en+1的最小值为 ( )
A. 2e3 B. 2e2 C. 2e D. 2 e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.某位射击运动员的两组训练数据如下：
第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则 ( )
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 两组数据的极差相等
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
10.已知函数 f x = ln 4-xx + ax在 x= 3处取得极大值，f x 的导函数为 f
x ，则 ( )
A. a= 43
B. 当 0< x< 1时，f x > f x2
C. f 2+x = f 2-x
D. 当 1≤ x 161≤ x2≤ 3且 x1+ x2< 4时，f x1 + f x2 < 3
11.如图，半径为 1的动圆C沿着圆O:x2+ y2= 1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点P a,b 形成的
外旋轮线 Γ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点P与点A 1,0 重合．以下说法正
确的有 ( )
A. 曲线Γ上存在到原点的距离超过 2 3的点
B. 点 1,2 在曲线Γ上
C. 曲线Γ与直线 x+ y- 2 2= 0有两个交点
D. b ≤ 3 32
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知 cosαsin α-β - sinαcos β-α 3 = 5 ，则 sinβ= ．
13.将 1,2,3, ,9这 9个数字填在 3× 3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字
依次变小．若将 4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有 种．
14.在正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC= 3 2 ,AB= 6，点D在△ABC内部运动 (包括边界)，
点D到棱PA,PB,PC的距离分别记为 d1,d2,d3，且 d21+ d2 22+ d3= 20，则点D运动路径的长度为
．
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 c= a 1+2cosB ．
(1)求证：B= 2A；
(2)若 a= 3,b= 2 6，求△ABC的面积．
16. (15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB= 2BC= 2，侧面PCD是等边三角形，三
棱锥A-PBD 3的体积为 3 ，点E是棱CP的中点．
(1)求证：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值．
17. (15分)
n n∈N ,n≥3 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等
可能地将球传给另外的 n- 1个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 k k∈N 次传
球后，球在甲手中的概率记为An k ，球在乙手中的概率记为Bn k ．
(1)求A5 2 ,B5 2 ,A5 3 ,B5 3 ；
(2)求An k ；
(3) n-2比较Bn k+1 与 n-1 An k 的大小，并说明理由．
3
18. (17分)
已知动点P到点F 12 ,0 的距离等于它到直线 x=-
1
2 的距离，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，过点M 2,0 且斜率存在的直线 l与C相交于A,B两点，直线AO与直线 x=
-2相交于点D，过点B且与C相切的直线交 x轴于点E．
(i)证明：直线DE l；
(ii)满足四边形ABDE的面积为 12的直线 l共有多少条？说明理由．
19. (17分)
已知 n ∈ N 且 n ≥ 3，集合 A n = a1,a2, ,an ，其中 0 < a 1 < a 2 < < a n．若存在函数
f x f x ≠x ，其图象在区间 D = a1,an 上是一段连续曲线，且 f ai ∣ai∈An = An，则称
f x
2
是An的T变换函数，集合An是D的T子集．例如，设A5= 3 ,1, 2,2,3 ，此时函数 f x
= 2 是A 的T变换函数，A 是 2 ,3 x 5 5 3 的T子集．
(1)判断集合 {1,2,8,9}是否是 1,9 的T子集？说明理由；
(2)判断 f x = ln 1+ 2x 是否为集合An的T变换函数？说明理由；e
a
(3) j若 ai< a i,j∈N j ,1≤ i< j≤n ，则 a ∈ An，试问是否存在函数 f x ，使得集合 An是D=i
a1,an 的T子集？若存在，求 f x 的解析式；若不存在，说明理由．
4

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