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2024-2025学年河北省承德市承德县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．3.14159 B． C． D．
2．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）用四舍五入法将数7.83695精确到千分位的结果是（　　）
A．7.8 B．7.84 C．7.836 D．7.837
4．（3分）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
6．（3分）下列各图中，a，b，c为三角形边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
7．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　）
A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．21 C．25 D．30
9．（3分）如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点．现量得AB＝10cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是（　　）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
11．（3分）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红：
下列判断正确的是（　　）
A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度
B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间
C．高铁列车的平均速度是100km/h
D．特快列车从甲地到乙地的时间是14h
12．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　）
A．7 B．10 C．13 D．15
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）比较大小：3　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．（3分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为 　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，点D是AB的中点，连接CD，则∠ACD＝ 　 　°．
16．（3分）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A，B，C，D，E在同一平面内．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为 　 　cm．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（2）×（2）．
18．（8分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，且CE＝DE．
（1）求∠A的度数；
（2）若CB＝1，求CE的长．
20．（8分）问题：“解分式方程．”由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）若“？”表示的数是5，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
21．（9分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
22．（9分）有一块长方形木板ABCD，采用如图的方式，将木板的长AD增加，宽AB增加，得到一个面积为192cm2的正方形AEFG．
（1）求长方形木板ABCD的面积．
（2）若从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长．
（3）若从长方形木板ABCD中裁出长为2cm、宽为1.5cm的长方形木条，最多能裁出多少根这样的木条？
23．（10分）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当点P在A→B运动时，BP＝ 　 　；（用含t的代数式表示）
（2）求证：AB＝ED；
（3）当P，Q，C三点共线时，求t的值．
24．（12分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
2024-2025学年河北省承德市承德县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D D A C B A C A A D
题号 12
答案 D
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．3.14159 B． C． D．
【解答】解：由有理数及无理数的概念知，3.14159、、，是有理数，是无理数．
故选：D．
2．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意
故选：D．
3．（3分）用四舍五入法将数7.83695精确到千分位的结果是（　　）
A．7.8 B．7.84 C．7.836 D．7.837
【解答】解：用四舍五入法将数7.83695精确到千分位的结果是7.837．
故选：D．
4．（3分）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．无论x取何值，2x2+1＞0，分式都有意义，故本选项符合题意；
B．x时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C．x时，3x﹣1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D．x＝0时，2x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
【解答】解：13，则A不符合题意；
±±3，则B不符合题意；
3，则C符合题意；
2，则D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列各图中，a，b，c为三角形边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：ASA，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
7．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　）
A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5
【解答】解：原方程两边同乘2（1﹣3x）得2（1﹣3x）+2＝﹣5，
即2﹣6x+2＝﹣5
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．21 C．25 D．30
【解答】解：由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝8，
∵△AEC的周长为17，
∴AC+CE+EA＝17，
∴AC+CE+EB＝17，即AC+BC＝17，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17+8＝25，
故选：C．
9．（3分）如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点．现量得AB＝10cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是（　　）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【解答】解：过点B作BF⊥DF，垂足为F，
∵顶端C恰好是托板AB的中点，
∴BCAB＝5（cm），
∵射线DB恰好是∠CDE的平分线，BC⊥DC，BF⊥DF，
∴BC＝BF＝5cm，
∴点B到直线DE的距离是5cm，
故选：A．
10．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
11．（3分）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红：
下列判断正确的是（　　）
A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度
B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间
C．高铁列车的平均速度是100km/h
D．特快列车从甲地到乙地的时间是14h
【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为x km/h，由题意得：
．
解得：x＝100，
经检验x＝100是原分式方程的解，
设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh，由题意得：
，
解得：y＝5，
经检验y＝5是原分式方程的解，
则特快列车从甲地到乙地的时间是5+9＝14（h），
故选项A、B、C错误，
故选：D．
12．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　）
A．7 B．10 C．13 D．15
【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+5+8＝15，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）比较大小：3　＜　（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【解答】解：32＝9，10，
∴3．
14．（3分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为 　如果|a|＝1，那么a＝1　．
【解答】解：“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为：如果|a|＝1，那么a＝1．
故答案为：如果|a|＝1，那么a＝1．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，点D是AB的中点，连接CD，则∠ACD＝ 　65　°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
则CDAB＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝25°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
16．（3分）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A，B，C，D，E在同一平面内．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为 　24　cm．
【解答】解：由题意可知，BC＝AC，∠BDC＝∠CEA＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝∠BCD+∠ACE＝90°，
∴∠CBD＝∠ACE，
∴△BDC≌△CEA（AAS），
∴BD＝CE＝2×2＝4（cm），CD＝AE＝20cm，
∴DE＝CD+CE＝20+4＝24（cm），
故答案为：24．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）（2）×（2）．
【解答】解：（1）原式＝32
；
（2）原式＝3﹣4
＝3﹣4+2
＝1．
18．（8分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
【解答】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
原式
，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，且CE＝DE．
（1）求∠A的度数；
（2）若CB＝1，求CE的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB，CE＝DE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵DE的垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A．
∴∠CBE＝∠ABE＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠CBE+∠ABE+∠A＝90°，
即3∠A＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）∵∠CBE＝∠ABE＝∠A＝30°，∠C＝90°，
∴BE＝2CE，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得CE2+BC2＝BE2，
∵BC＝1，
∴CE2+12＝（2CE）2，
解得CE．
20．（8分）问题：“解分式方程．”由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）若“？”表示的数是5，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
【解答】解：（1）3
去分母，得5+3（x﹣2）＝﹣1，
去括号，得5+3x﹣6＝﹣1，
移项，得3x＝﹣1﹣5+6，
合并，得3x＝0，
系数化为1，得x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣2≠0，则x＝0为原方程的解，
所以原方程的解为x＝0；
（2）设原分式方程中“？”代表的数为a，
3
去分母，得a+3（x﹣2）＝﹣1，
去括号，得a+3x﹣6＝﹣1，
移项，得3x＝﹣1+6﹣a
合并，得3x＝5﹣a，
系数化为1，得x，
∵原分式方程无解，
∴x＝2，
即2，
解得a＝﹣1，
即原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
21．（9分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
22．（9分）有一块长方形木板ABCD，采用如图的方式，将木板的长AD增加，宽AB增加，得到一个面积为192cm2的正方形AEFG．
（1）求长方形木板ABCD的面积．
（2）若从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长．
（3）若从长方形木板ABCD中裁出长为2cm、宽为1.5cm的长方形木条，最多能裁出多少根这样的木条？
【解答】解：（1）由题意得，正方形AEFG的边长为：8，
∴AD＝826（cm），AB＝87（cm），
∴矩形木板ABCD的面积为：618（cm2）；
（2）该矩形木料的长为：12124（cm）；
（3）∵3，
又∵5＜36，
∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．
23．（10分）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当点P在A→B运动时，BP＝ 　（8﹣2t）cm　；（用含t的代数式表示）
（2）求证：AB＝ED；
（3）当P，Q，C三点共线时，求t的值．
【解答】（1）解：点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为t s．根据题意得：
AP＝2t cm，则BP＝（8﹣2t）cm，
故答案为：（8﹣2t）cm；
（2）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（3）解：根据题意得：DQ＝t cm，AP＝2t cm，则EQ＝（8﹣t）cm，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠A＝∠E，DE＝AB＝8cm，
∵P，Q，C三点共线，
∴∠ACP＝∠ECQ，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
∴当0≤t≤4时，2t＝8﹣t，
解得：，
当4＜t≤8时，AP＝（16﹣2t）cm，
∴16﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝8，
∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或．
24．（12分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC，
∴∠BAD60，
∴α＝60°，
故答案为：60°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，
即：∠BAM＝∠EAN，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴AM＝AN；
（3）解：①如图1，
当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，
∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，
∴∠BAD＝∠MOD＝30°，
∴α＝30°，
如图2，
当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM75°，
∴α＝∠DOM＝75°，
如图3，
当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，
∴α＝∠DOM＝120°，
此时AD和AC重合，这种情形不存在．
综上所述：α＝30°或75°．
②如图：
当∠EDP＝90°时，
∵∠ABC＝ADE＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵0°＜α＜100°，
∴旋转角α为60°．

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