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1-1 集合与常用逻辑用语
一、集合
(一)元素与集合
1.集合的含义
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．
构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2.集合元素的特征
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3.元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
4.集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
5.常用数集的表示
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
(二)集合间的基本关系
1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
2.真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A(或B)．
3.相等：若A B，且B A，则A＝B.
4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(三)集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
(四)集合的运算性质
(1)交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；
(2)结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
(3)分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)；
(五)常用结论
1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；
其真子集个数为2n－1；
其非空子集个数为2n－1；
其非空真子集个数为2n－2.
2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3. U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
4.A∪B＝A B A；A∩B＝B B A.
5.集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.
二、充分条件、必要条件与充要条件
(一)充分条件、必要条件与充要条件的概念
1.若，则是的充分条件，是的必要条件；
2.若且，则是的充分不必要条件；
3.若且，则是的必要不充分条件；
4.若，则是的充要条件；
5.若且，则是的既不充分也不必要条件.
(二)等价转化法判断充分条件、必要条件
1.若是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
2.若是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
3.若是的充要条件是的充要条件；
4.若是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(三)集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
1.若，则是的充分条件；
2.若，则是的必要条件；
3.若，则是的充分不必要条件；
4.若，则是的必要不充分条件；
5.若，则是的充要条件；
6.若且，则是的既不充分也不必要条件.
(四)注意区别两种结构
1.若是的充分不必要条件且(标志性词：“是”，此时与正常顺序)
2.若的充分不必要条件是且(标志性词：“的”，此时与倒装顺序)
三、全称量词与存在量词
(一)概念：
1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
(二)全称量词命题、存在量词命题及其否定
1.全称量词命题及其否定
(1)全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：命题p： x∈M，p(x).
(2)全称量词命题的否定：p： x0∈M，p(x0).
2.存在量词命题及其否定
(1)存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：命题p： x0∈M，p(x0).
(2)存在量词命题的否定：p： x∈M，p(x).
(三)常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于() 大于() 小于() 是
否定词语 不等于() 不大于() 不小于() 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有1-1 集合与常用逻辑用语
一、集合
(一)元素与集合
1.集合的含义
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．
构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2.集合元素的特征
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3.元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作 a A )和不属于(记作 a A )两种．
4.集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
5.常用数集的表示
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
(二)集合间的基本关系
1.子集：集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素，就称集合 A为集合 B的子集，记作 A B(或 B A)．
2.真子集：如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且 x A，就称集合 A是集合 B的真子集，记作 A ≠ (或 B ≠ )．
3.相等：若 A B，且 B A，则 A＝B.
4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(三)集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A ∪ B ={x|x∈A，或 A ∩ B ={x|x∈A，且 UA ={x|x∈U，且 x A}
(四)集合的运算性质
(1)交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；
(2)结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
(3)分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)；
(五)常用结论
1.子集个数：含有 n个元素的有限集合 M，其子集个数为 2n；
其真子集个数为 2n－1；
其非空子集个数为 2n－1；
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其非空真子集个数为 2n－2.
2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3. U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
4.A∪B＝A B A；A∩B＝B B A.
5.集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
若已知的集合是抽象集合，用 Venn图求解.
二、充分条件、必要条件与充要条件
(一)充分条件、必要条件与充要条件的概念
1.若 p q，则 p是q的充分条件， q是 p的必要条件；
2.若 p q且q p，则 p是 q的充分不必要条件；
3.若 p q且 q p，则 p是 q的必要不充分条件；
4.若 p q，则 p是 q的充要条件；
5.若 p q且 q p，则 p是 q的既不充分也不必要条件.
(二)等价转化法判断充分条件、必要条件
1.若 p是 q的充分不必要条件 q是 p的充分不必要条件；
2.若 p是 q的必要不充分条件 q是 p的必要不充分条件；
3.若 p是 q的充要条件 q是 p的充要条件；
4.若 p是 q的既不充分也不必要条件 q是 p的既不充分也不必要条件.
(三)集合判断法判断充分条件、必要条件
若 p以集合 A的形式出现， q以集合 B的形式出现，即 p： A {x | p(x)}， q： B {x | q(x)}，则
1.若 A B，则 p是 q的充分条件；
2.若B A，则 p是 q的必要条件；
3.若 A B，则 p是 q的充分不必要条件；
4.若B A，则 p是 q的必要不充分条件；
5.若 A B，则 p是q的充要条件；
6.若 A B且 B A，则 p是 q的既不充分也不必要条件.
(四)注意区别两种结构
1.若 p是 q的充分不必要条件 p q且 q p (标志性词：“是”，此时 p与 q正常顺序)
2.若 p的充分不必要条件是 q q p且 p q (标志性词：“的”，此时 p与 q倒装顺序)
三、全称量词与存在量词
(一)概念：
1.全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
2.存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
(二)全称量词命题、存在量词命题及其否定
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1.全称量词命题及其否定
(1)全称量词命题：对M 中的任意一个 x，有 p(x)成立；数学语言：命题 p： x∈M，p(x).
(2)全称量词命题的否定： p： x0∈M， p(x0).
2.存在量词命题及其否定
(1)存在量词命题：存在M 中的元素 x，有 p(x)成立；数学语言：命题 p： x0∈M，p(x0).
(2)存在量词命题的否定： p： x∈M， p(x).
(三)常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于( ) 大于( ) 小于( ) 是
否定词语 不等于( ) 不大于( ) 不小于( ) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
第 3 页 共 3 页1-2 不等式
一、等式与不等式性质
(一)、两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)．
(二)、等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么
(三)、不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
(四)、不等式的两类常用性质
1.倒数性质：(1)a>b，ab>0 ；
(2)a(3)a>b>0,0(4)02.糖水不等式(有关分数的不等式性质)：若a>b>0，m>0，则
(1)糖水不等式：(b－m>0)；(2)糖水不等式的倒数形式：(b－m>0)．
二、基本不等式
(一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
拓展常用不等式链：
1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
2.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
(二)、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b同号)；(3)ab≤ (a，b∈R)；(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
(三)、利用基本不等式求最值
基本不等式与最值：已知x，y都是正数，
1.已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
2.已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.
3.利用基本不等式求最值的注意点：
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式．
(3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法．
三、一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式
1.“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的联系
判别式
两不等实根: 两相等实根 无实数根
R

2.分式不等式
(1) f(x)g(x)>0； (2) f(x)g(x)<0；
(3) f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； (4) f(x)g(x)0且g(x)≠0.
3.简单的绝对值不等式：
|x|>a(a>0)(－∞，－a)∪(a，＋∞)；
|x|0)(－a，a)．
【常用结论】
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．1-2 不等式
一、等式与不等式性质
> 0 > ,
(一)、两个实数比较大小的常用方法：作差法 = 0 = ,(a，b∈R)．
< 0 < ,
(二)、等式的性质
性质 1 对称性：如果 a＝b，那么 b＝a；
性质 2 传递性：如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c；
性质 3 可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；
性质 4 可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc；

性质 5 可除性：如果 a＝b，c≠0，那么 =

(三)、不等式的性质
性质 1 对称性：a>b b性质 2 传递性：a>b，b>c a>c；
性质 3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质 4 可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质 5 同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质 6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质 7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
(四)、不等式的两类常用性质
1.倒数性质：(1)a>b 1 1，ab>0 < ；

(2)a 1；

(3)a>b>0,0 ；

(4)0
2.糖水不等式(有关分数的不等式性质)：若 a>b>0，m>0，则
b m + +
(1)糖水不等式： < < ,(b－m>0)；(2)糖水不等式的倒数形式： < < , (b－m>0)．
m + +
二、基本不等式
(一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 ≤ + (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
2
+
叫做正数 a，b的算术平均数， ab叫做正数 a，b的几何平均数．

≤ ≤ +
+
拓展常用不等式链： ≤
+
1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当 a＝b时，等号成立．
第 1 页 共 2 页
2. + 其中 叫做正数 a，b的算术平均数， ab叫做正数 a，b的几何平均数．
2
(二)、几个重要的不等式
+ 2 2(1)a2 b2 2ab(a b R) (2) + ≥ 2(a b ) (3)ab ( )2 (a b + + ＋ ≥ ， ∈ ； ， 同号 ； ≤ ， ∈R)；(4) ≥( )2(a，b∈R)．
2 2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
(三)、利用基本不等式求最值
基本不等式与最值：已知 x，y都是正数，
1.已知 x，y都是正数，如果积 xy等于定值 P，那么当 x＝y时，和 x＋y有最小值 2 P.
2. 1已知 x，y都是正数，如果和 x＋y等于定值 S，那么当 x＝y时，积 xy有最大值 2.
4
3.利用基本不等式求最值的注意点：
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式．
(3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法．
三、一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式
1.“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的联系
判别式 = b2 4 > 0 = 0 < 0
2 + + = 0( ≠ 0) 两不等实根: 1 ≠ 2 两相等实根 1 = 2 = 无实数根2
f(x) = 2 + + ( ≠ 0)
2 + + > 0( > 0) ( ∞, x1) ∪ (x2, + ∞) ≠

2 R
2 + + < 0( > 0) (x1, x2)
2.分式不等式
(1) ( ) > 0 f(x)g(x)>0 (2) ( )； < 0 f(x)g(x)<0；
( ) ( )
(3) ( ) ≥ 0 f(x)g(x)≥0且 g(x)≠0； (4) ( ) ≤ 0 f(x)g(x)≤0且 g(x)≠0.
( ) ( )
3.简单的绝对值不等式：
|x|>a(a>0) (－∞，－a)∪(a，＋∞)；
|x|0) (－a，a)．
【常用结论】
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R 恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R 恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若 a可以为 0，需要分类讨论，一般优先考虑 a＝0的情形．
2．对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记 a＝0时的情形．
第 2 页 共 2 页

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