资源简介

2-1 函数的概念与表示
一、函数的有关概念：
1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2.函数的三要素：定义域、解析式、值域.
(1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
(2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的对应关系(解析式)：.
3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
二、函数的定义域
1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，常见的初等函数定义域的要求为：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：
(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零；
(5)三角函数中的正切的定义域是且；
(6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2.区间：
(1)一般区间
集合 区间名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间
集合 区间名称 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
3.复合函数的定义域
如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x)的定义域为B, 值域为C,
则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数，
其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；
(2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域.
(3)函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
三、函数的解析式
1.求函数解析式的常用方法如下：
(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；
(2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法；
若易将含的式子配成，用配凑法。若易换元后求出，用换元法。
(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法；
(4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求；
(5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解；
(6)若已知成对出现与或，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。
2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．
四、函数值域：求函数值域的常用方法：
(1)分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：，
再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
(2)换元法：如：，可令，得到，从而函数可以化为
，即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
(3)基本不等式法和对勾函数
(4)单调性法
(5)求导法
【常用结论】
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．2-1 函数的概念与表示
一、函数的有关概念：
1.函数定义：一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一
个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数，记作
y＝f(x)，x∈A．
2.函数的三要素：定义域、解析式、值域.
(1)在函数 y f (x), x A中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做函数的定义域；
(2)与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
显然，值域是集合 B的子集．
(3)函数的对应关系(解析式)： y f (x), x A .
3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
二、函数的定义域
1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，常见的初等函数定义域的要求为：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：
(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1；
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零；
(5)三角函数中的正切 y tan x的定义域是 x x R,且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ；2
(6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2.区间：
(1)一般区间
集合 区间名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间
集合 区间名称 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
3.复合函数的定义域
如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x)的定义域为B, 值域为C,
则当C A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数，
第 1 页 共 2 页
其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
(1)若已知 f(x )的定义域为[a，b]，则 f(g(x))的定义域为不等式 a≤g(x)≤b的解集；
(2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈ , )的值域.
(3)函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
三、函数的解析式
1.求函数解析式的常用方法如下：
(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；
(2)当已知表达式为 f g x 时，可考虑配凑法或换元法；
若易将含 x的式子配成 g x ，用配凑法。若易换元后求出 x，用换元法。
(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法；
(4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求；
(5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解；
(6)若已知成对出现 f (x) f( 1与 )或 f (x)， f ( x)类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消
x
元的方法求出 f (x)。
2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．
四、函数值域：求函数值域的常用方法：
(1)分离常数法：
cx+d c bc bc
将形如 y = (
x+b a 0 )的函数分离常数，变形过程为：
cx+d ( + )+d c d = = + ，
x+b + +
x d
bc
再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定函数的值域.
+
2
(2)换元法：如：f(x) = + + + ( ≠ 0)，可令 t = cx + d(t ≥ 0)，得到 x = t d，从而函数可以化为
c
2
f(x) = g(t) = ( )+ t + b(t ≥ 0)，即关于 t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意 t的取值范围的限制．
c
(3)基本不等式法和对勾函数
(4)单调性法
(5)求导法
【常用结论】
1.直线 x＝a与函数 y＝f(x)的图象至多有 1个交点．
2.在函数的定义中，非空实数集 A，B，A即为函数的定义域，值域为 B的子集．
第 2 页 共 2 页2-2函数的性质(1)单调性与最值
一、单调性与最值有关概念
(一).增函数、减函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，称函数f(x)在区间D上是减函数
图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(二).单调性、单调区间的定义
1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，
2.区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
3.单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．
6.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(三).增函数与减函数形式的等价变形
y＝f(x)在区间D上是增函数 对 x10 >0；
y＝f(x)在区间D上是减函数 对 x1f(x2) (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0．
(四).函数的最值(值域)
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
(2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，
然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3.换元法求最值：
(1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
(2)换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
4.分离常数法求最值：形如或（，至少有一个不为零）的函数，可用此法.
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
5.判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：的函数，可用此法.
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。
应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
6.导数法求最值：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性：
(1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
(2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、单调性的常见运算性质
(一).单调性的运算
1.增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
2.减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
3.为↗，则:为↘，为↘
4.增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
5.减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
6.增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
7.函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
8.若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
9.在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性．
10.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．
11.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x) g(x)也是区间A上的增(减)函数．
(二).复合函数的单调性：
1.函数是由与复合而成(在公共定义域内)；
其中：称为外函数，称为内函数；
2.复合函数单调性判断：“同增异减”．
(1)内函数（↗）外函数（↗），则复合函数（↗）；
(2)内函数（↘）外函数（↘），则复合函数（↗）；
(3)内函数（↗）外函数（↘），则复合函数（↘）；
(4)内函数（↘）外函数（↗），则复合函数（↘）；
三、对勾函数与飘带函数
(一).对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0)
(1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数；
(2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数；
(二).飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0)
(1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；
(2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；2-2 函数的性质(1)单调性与最值
一、单调性与最值有关概念
(一).增函数、减函数的定义
增函数 减函数
定 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2
义 当 x1f(x2)，称函数 f(x)在区间 D上是减函数
图
象
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(二).单调性、单调区间的定义
1.若函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，
2.区间 D叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
3.单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．
6.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(三).增函数与减函数形式的等价变形
y f(x) D x 0 ( 1) ( )＝ 在区间 上是增函数 对 1 2，都有 1 2 1－ 22 1 － 2 >0； 1 2
y＝f(x)在区间 D ( ) ( )上是减函数 对 x1f(x2) (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0． 1 2
(四).函数的最值(值域)
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
条件
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
(1)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则 ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则 ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
(3)若函数 y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的
最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的
分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
第 1 页 共 3 页
(2) f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，
然后确定靠下(或靠上)的部分为该 f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3.换元法求最值：
(1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
(2)换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”
根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
+ 2+ +
4.分离常数法求最值：形如 y = 或 y = （ a， c至少有一个不为零）的函数，可用此法.
cx+d cx+d
以 y = + 为例，解题步骤如下：
cx+d
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成 y = + t 的形式，
c cx+d
t +
第二步，求出函数 y = 在定义域范围内的值域，进而求出 y = 的值域。
cx+d cx+d
2+ +
5.判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y = 2 的函数，可用此法.dx +ex+f
将函数式化成关于 x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数 y的取值范围，即得函数的值域。
应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
6.导数法求最值：对可导函数 f (x)求导，令 f (x) 0，求出极值点，判断函数的单调性：
(1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
(2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、单调性的常见运算性质
(一).单调性的运算
1.增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗
2.减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
3. f (x)为↗，则: f (x) 1为↘， 为↘
( )
4.增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
5.减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘
6.增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
7.函数 y＝f(x)与函数 y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
8.若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反．
9.在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)＞0)与 y f n (x)和 y n f (x)具有相同的单调性．
10.若 f(x)，g(x)均为区间 A上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A上的增(减)函数．
11.若 f(x)，g(x)均为区间 A上的增(减)函数，且 f(x)＞0，g(x)＞0，则 f(x) g(x)也是区间 A上的增(减)函数．
(二).复合函数的单调性：
1.函数 ( ) = ( ) 是由 = ( )与 = ( )复合而成(在公共定义域内)；
其中： = ( )称为外函数， = ( )称为内函数；
第 2 页 共 3 页
2.复合函数单调性判断：“同增异减”．
(1)内函数（↗）外函数（↗），则复合函数（↗）；
(2)内函数（↘）外函数（↘），则复合函数（↗）；
(3)内函数（↗）外函数（↘），则复合函数（↘）；
(4)内函数（↘）外函数（↗），则复合函数（↘）；
三、对勾函数与飘带函数
( b一).对勾函数：f(x)＝ax＋ (ab＞0)
x
(1)当 a＞0，b＞0时，f(x) 在(－∞，－ ]，[ ，＋∞)上是增函数，在[－ ，0)，(0， ]上是减函数；

(2) 当 a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－ ]，[ ，＋∞)上是减函数，在[－ ，0)，(0， ]上是增函数；

(二). b飘带函数：f(x)＝ax＋ (ab＜0)
x
(1)当 a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；
(2)当 a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；
第 3 页 共 3 页2-2-2函数的性质(2)奇偶性
一、函数的奇偶性
定义 图象特点
偶函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
二、奇偶性的运算
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数
三、函数奇偶性常用结论
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1.
(2)f(x)为偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1.
3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
4.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性．
6.若y＝f(x＋a)是奇函数 f(x)关于点(a,0)对称；
若y＝f(x＋a)是偶函数 f(x)关于直线x=a对称．
7.奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D上有最值，则;
8.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.
即，其中：；
四、常见的奇偶函数
1.为偶函数；
2.为奇函数；
3.为奇函数；
4.为奇函数；
5.为奇函数；
6.为偶函数；
7.为奇函数；2-2-2 函数的性质(2)奇偶性
一、函数的奇偶性
定义 图象特点
偶函数 对于定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称
奇函数 对于定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称
二、奇偶性的运算
( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ ( ) ( )
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数
三、函数奇偶性常用结论
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2.若 f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f( x)＝－1.
f(x)
(2)f(x)为偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f( x)＝1.
f(x)
3.如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，那么一定有 f(0)＝0.
4.如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．
5.在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性．
6.若 y＝f(x＋a)是奇函数 f(x)关于点(a,0)对称；
若 y＝f(x＋a)是偶函数 f(x)关于直线 x=a 对称．
7.奇函数的最值：若奇函数 f (x)在区间 D上有最值，则 ( ) + ( ) = 0;
8.若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则函数 f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.
即 f(x) = g(x) + h(x) 1，其中：g(x) = f(x) + f( x) , h(x) = 1 f(x) f( x) ；
2 2
四、常见的奇偶函数
1.f(x) = x + a x( > 0, ≠ 1)为偶函数；
2.f(x) = x a x( > 0, ≠ 1)为奇函数；
x x 2x
3.f(x) = x x =
1 ( > 0, ≠ 1)为奇函数；
+ 2x+1
4.f(x) = log b x ( > 0, ≠ 1, ≠ 0)为奇函数；b+x
5.f(x) = log 2 ( x + 1 ± x)( > 0, ≠ 1)为奇函数；
6.f(x) = + + 为偶函数；
7.f(x) = + 为奇函数；
第 1 页 共 1 页2-2-3函数的性质(3)周期性与对称性
一、函数的周期性
(一)周期性概念
1.周期函数：函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．
(二)周期性的常用结论
1.(1)，则.
(2)，则.
(3)，则； 则；
(5)若,则T＝6a(a>0)．
二、函数的对称性
(一)奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则f(x)关于直线x＝a对称；若f(x＋a)是奇函数，则f(x)关于点(a，0)对称．
(二)轴对称
(1)如果f(x＋a)＝f(b－x) y＝f(x)关于直线x＝对称．
(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a－x)＝f(x)f (2a＋x)＝f(－x)
(三)函数的点(中心)对称
(1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(2a－x)+f(x)=2b f(2a＋x)+f(－x)=2b
推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(2a－x)＝－f(x) f(2a＋x)＝－f(－x)
(2)f(x＋a)+f(b－x)=c y＝f(x)关于点对称
(四)两个函数图象的对称
1.若与关于直线对称，则；
特殊地：若与关于y轴对称，则；
2.与关于直线对称；
3.若与关于直线对称，则；
若与关于x轴对称，则；
4.若与关于点对称，则；
特殊地：若与关于原点对称，则；
(五)常见的对称图形
1.y＝f(x) y＝－f(x)；
2.y＝f(x) y＝f(－x)；
3.y＝f(x) y＝－f(－x)；
4.y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)．
5.y＝f(x) y＝|f(x)|.
6.y＝f(x) y＝f(|x|)．
三、函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；
口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。)
(1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
(2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
(3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．
3.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期
(1)单调区间：f(x)在区间与f(x)在区间上单调性相同。
(2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为；
如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为。2-2-3 函数的性质(3)周期性与对称性
一、函数的周期性
(一)周期性概念
1.周期函数：函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那
么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．
2.最小正周期：如果周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小正数，就叫做 f(x)的最小正周期．
提醒：若 T是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数 f(x)的周期．
(二)周期性的常用结论
1.(1)f(x + ) = f(x) + t(t ∈ R)，则 T = 2 .
(2)f(x + ) = k , (k ∈ R, k ≠ 0)，则 T = 2 .
f(x)
f(x + ) = 1 f(x) T = 2 f(x + ) = 1+f(x)(3) ，则 ； ；则 T = 4 ；
1+f(x) 1 f(x)
(5)若 f(x + 2 ) = f(x + ) f(x),则 T＝6a(a>0)．
二、函数的对称性
(一)奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称．
(2)若 f(x＋a)是偶函数，则 f(x)关于直线 x＝a 对称；若 f(x＋a)是奇函数，则 f(x)关于点(a，0)对称．
(二)轴对称
+b
(1)如果 f(x＋a)＝f(b－x) y＝f(x)关于直线 x＝ 对称．
2
(2)若 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a－x)＝f(x)f (2a＋x)＝f(－x)
(三)函数的点(中心)对称
(1)若 y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(2a－x)+f(x)=2b f(2a＋x)+f(－x)=2b
推论：若 y＝f(x)关于点(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(2a－x)＝－f(x) f(2a＋x)＝－f(－x)
(2)f(x＋a)+f(b－x)=c y＝f(x) +b c关于点( , )对称
2 2
(四)两个函数图象的对称
1.若 f(x)与 g(x)关于直线 x = 对称，则 g(x) = f(2 )；
特殊地：若 f(x)与 g(x)关于 y 轴对称，则 g(x) = f( )；
+
2.f( + x)与 f(b x)关于直线 x = 对称；
2
3.若 f(x)与 g(x)关于直线 y = b对称，则 g(x) = 2b f( )；
若 f(x)与 g(x)关于 x 轴对称，则 g(x) = f( )；
4.若 f(x)与 g(x)关于点 P( , )对称，则 g(x) = 2b f(2 )；
特殊地：若 f(x)与 g(x)关于原点对称，则 g(x) = f( )；
(五)常见的对称图形
关于 x 轴对称
1.y＝f(x)――――――――→y＝－f(x)；
关于 y 轴对称
2.y＝f(x)―――――――――→y＝f(－x)；
第 1 页 共 2 页
关于原点对称
3.y＝f(x)―――――――――→y＝－f(－x)；
x 关于 y＝x 对称4.y＝a (a>0且 a≠1)――――――――→y＝logax(a>0且 a≠1)．
保留 x 轴上方图象
5.y＝f(x)――――――――――――――――→x y＝|f(x)|.将 轴下方图象翻折上去
保留 y 轴右边图象，并作其
6.y＝f(x)――――――――――→y y＝f(|x|)．关于 轴对称的图象
三、函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；
口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性 4 距离)。)
(1)若函数 f(x)关于直线 x＝a 与 x＝b 对称，则 f(x)的一个周期为 2|b－a|．
(2)若函数 f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则 f(x)的一个周期为 2|b－a|．
(3)若函数 f(x)关于直线 x＝a 对称，又关于点(b，0)对称，则 f(x)的一个周期为 4|b－a|．
总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．
3.函数周期性的应用：若 T是函数 f(x)的一个周期
(1)单调区间：f(x)在区间( , )(b ≤ )与 f(x)在区间( + , + )(k ∈ Z)上单调性相同。
(2)f(x)周期为T ，如果 f(x)
kT
存在一条对称轴 x a ，则 f(x)存在无数条对称轴，其通式为 x = + (k ∈ Z)；
2
f(x) kT如果 存在一个对称中心(a,0)，则 f(x)存在无数个对称中心，其通式为( + , 0)(k ∈ Z)。
2
第 2 页 共 2 页2-3 函数的图象与函数零点
一．函数图象
(一).函数图象变换
1.平移变换
①把函数的图像沿轴向左平移个单位得到函数的图像；
②把函数的图像沿轴向右平移个单位得到函数的图像；
③把函数的图像沿轴向上平移个单位得到函数的图像；
④把函数的图像沿轴向下平移个单位得到函数的图像；
2.函数自身的对称变换
(1)如果f(x＋a)＝f(b－x) y＝f(x)关于直线x＝对称．
(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a－x)＝f(x)f (2a＋x)＝f(－x)
(3)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(2a－x)+f(x)=2b f(2a＋x)+f(－x)=2b
(4)若y＝f(x)关于点(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(2a－x)＝－f(x) f(2a＋x)＝－f(－x)
3.两个函数之间的对称变换
(1)函数f(x)与函数的图像关于轴对称；
(2)函数f(x)与函数的图像关于轴对称；
(3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称；
(4)函数f(x)与的图象关于直线x＝a对称；
(5)函数f(x)与函数的图像关于坐标原点对称；
(6)函数f(x)与＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(7)函数f(x)与＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称；
(8)函数与其反函数图像关于直线对称；
4.翻折变换
(1)的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
(2)的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.
5.伸缩变换
①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
(二).基本初等函数的图象：
二．函数与方程
1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，
即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．
3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，
若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标．
由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
4.二分法
(1)定义：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.
注：求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤
①确定区间，验证，给定精度.
②求区间的中点.
③计算.若则就是函数的零点；
若，则令（此时零点）.
若，则令（此时零点）
④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；
否则重复第（2）~（4）步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
常用结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.2-3 函数的图象与函数零点
一．函数图象
(一).函数图象变换
1.平移变换
①把函数 y f (x)的图像沿 x 轴向左平移a个单位得到函数 y f (x a)(a 0)的图像；
②把函数 y f (x)的图像沿 x 轴向右平移a个单位得到函数 y f (x a)(a 0)的图像；
③把函数 y f (x)的图像沿 y 轴向上平移 a个单位得到函数 y f (x) a(a 0)的图像；
④把函数 y f (x)的图像沿 y 轴向下平移 a个单位得到函数 y f (x) a(a 0)的图像；
2.函数自身的对称变换
(1)如果 f(x＋a)＝f(b－x) y＝f(x) a+b关于直线 x＝ 对称．
2
(2)若 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a－x)＝f(x)f (2a＋x)＝f(－x)
(3)若 y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(2a－x)+f(x)=2b f(2a＋x)+f(－x)=2b
(4)若 y＝f(x)关于点(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(2a－x)＝－f(x) f(2a＋x)＝－f(－x)
3.两个函数之间的对称变换
(1)函数 f(x)与函数 g(x) = f( x)的图像关于 y 轴对称；
(2)函数 f(x)与函数 g(x) = f(x)的图像关于 x 轴对称；
(3)函数 y＝f(a＋x)与 y＝f(b－x) + 的图象关于直线 x = 对称；
2
(4)函数 f(x)与 g(x) = f(2 )的图象关于直线 x＝a 对称；
(5)函数 f(x)与函数 g(x) = f( x)的图像关于坐标原点 (0,0)对称；
(6)函数 f(x)与 g(x)＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(7)函数 f(x)与 g(x)＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称；
(8)函数 f(x)与其反函数 g(x) = f 1(x)图像关于直线 y x对称；
4.翻折变换
(1) y f (x) 的图像是将函数 f (x)的图像保留 x轴上方的部分不变，将 x 轴下方的部分关于 x 轴对称翻折上来
得到的（如图（a）和图（b））所示
(2) y f ( x )的图像是将函数 f (x)的图像只保留 y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 y 轴对称得到函数
y f ( x )左边的图像即函数 y f ( x )是一个偶函数（如图（c）所示）.
5.伸缩变换
①将 y f (x)上每一点的纵坐标伸长 (A 1)或缩短 (0 A 1)到原来的 A倍得到 y Af (x)(A 0) .
第 1 页 共 3 页
1
②将 y f (x)上每一点的横坐标伸长 (0 1)或缩短 ( 1)到原来的 倍得到 y f ( x)( 0) .

(二).基本初等函数的图象：
二．函数与方程
1．函数零点的定义：一般地，把方程 f(x)＝0的实数根 x 称为函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0的实根．
2．函数零点存在性定理
设函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，且 f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数 f(x)的一个零点，
即至少有一点 x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0．
3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为 y＝f(x)，则 f(x)的零点即为满足方程 f(x)＝0的根，
若 f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为 g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为 g(x)，h(x)交点的横坐标．
由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已
知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
4.二分法
(1)定义：对于区间 a,b 上连续不断且 f a f b 0的函数 f x ，通过不断地把函数 f x 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.
注：求方程 f x 0的近似解就是求函数 f x 零点的近似值.
(2)用二分法求函数 f x 零点近似值的步骤
①确定区间 a,b ，验证 f a f b 0，给定精度 .
②求区间 a,b 的中点 x1 .
③计算 f x1 .若 f x1 0,则 x1就是函数 f x 的零点；
若 f a f x1 0，则令b x1（此时零点 x0 a, x1 ）.
第 2 页 共 3 页
若 f b f x1 0，则令 a x1（此时零点 x0 x1 ,b ）
④判断是否达到精确度 ，即若 a b ，则函数零点的近似值为 a （或 b ）；
否则重复第（2）~（4）步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
常用结论
(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)连续不断的函数 f (x)在闭区间 [a，b]上有零点，不一定能推出 f (a) f (b) 0 .
第 3 页 共 3 页2-4 初等函数与函数模型
一、幂函数
(一).幂函数的概念：一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
(二).幂函数的图象
1.图象：对幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．
根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点 (1，1)
(三).幂函数的性质
1.幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
2.定点：幂函数的图象过定点(1，1)；
当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，
3.单调性：
(1)当α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增，
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(2)当α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减；
4.奇偶性：
5.与在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
6.在第一象限，直线x＝a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大．(指大图高)
二．二次函数
1.二次函数解析式的三种形式
一般式：；
顶点式：，对称轴为：，顶点是：；
零点式：，是的零点，对称轴；
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 上递减；上递增 上递增；上递减
对称性 函数的图象关于直线对称
3.与二次函数有关的恒成立问题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是
f(x)＜0恒成立的充要条件是
(2)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是
(3)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是
三．指数与指数函数
(一).指数幂运算
1.根式：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
性质：＝a(a使有意义)；
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
(二).指数函数及其性质
1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【特别提醒】
①画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
②在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高”
如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0．
四．对数与对数函数
(一).对数运算
1.对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，
其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数)．
2.几种常用的对数
一般对数：(a>0，且a≠1)；
常用对数：；
自然对数： ()
3.对数的常用结论
(1)loga1＝0(a>0且a≠1)； (2)logaa＝1(a>0且a≠1)；
推广：(a>0且a≠1)
(3)对数恒等式： alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)．
4.对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
5.对数的换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)；
推广：(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；
(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；
(二).对数函数
1.对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2.对数函数的图象与性质
函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0图象
图象特征 在y轴右侧，过定点(1，0)
当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
函数值变 化规律 当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
3.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
五.几类常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
六．抽象函数的模型
1.反比例函数模型
若；则，(其中均不为0)
2.一次函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
3.指数函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
4.对数函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
模型5：若，则；
5.幂函数模型
模型1：若，则；
模型2：若，则；
代入则可化简为幂函数；
6.余弦函数模型
模型1：若(不恒为0)，则；
模型2：若(不恒为0)，则；
模型3：若(不恒为0)，则；
7.正切函数模型
模型1：若，则；2-4 初等函数与函数模型
一、幂函数
(一).幂函数的概念：一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x是自变量，α为常数．
(二).幂函数的图象
1.图象：对幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x分区域．
根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征 y＝x y＝x2 y x3 1 －＝ y 1＝ x 2 y＝x
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点 (1，1)
(三).幂函数的性质
1.幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
2.定点：幂函数的图象过定点(1，1)；
当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，
3.单调性：
(1)当α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增，
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(2)当α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减；
α为奇数，f(x)为奇函数，
α为整数
α为偶数，f(x)为偶函数，
4.奇偶性：f(x) = xα p为偶数时，f(x)为非奇非偶函数，
α为分数，设α = q
p q为奇数，f(x)为奇函数，p为奇数时
q为偶数，f(x)为偶函数，
1
5.f(x) = xα与 f(x) = xα在第一象限内的图象关于直线 y＝x对称．
第 1 页 共 5 页
6.在第一象限，直线 x＝a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大．(指大图高)
二．二次函数
1.二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x) = 2 + + ( ≠ 0)；
顶点式：f(x) = ( )2 + ( ≠ 0)，对称轴为：x = m，顶点是：(m, n)；
零点式：f(x) = ( 1)( 2)( ≠ 0)， 1, 2是 f(x)
x
的零点，对称轴 x = 1+x2；
2
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
4 2 4 2
值域 , + ∞) ( ∞,
4 4
单调性 ( ∞, b 上递减； , + ∞)上递增 ( ∞, b 上递增； , + ∞)上递减
2a 2 2a 2
b
对称性 函数的图象关于直线 x = 对称
2a
3.与二次函数有关的恒成立问题：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
(1)f(x) 0 > 0,＞ 恒成立的充要条件是 < 0,
f(x)＜0 < 0,恒成立的充要条件是 < 0,
( ) > 0
(2)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 ( ) > 0
( ) < 0
(3)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 ( ) < 0
三．指数与指数函数
(一).指数幂运算
1.根式：式子 叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数.
性质：( ) ＝a(a使 有意义)；
n 当 为奇数时， ＝a，
, ≥ 0,
当 n为偶数时， ＝|a|＝ , < 0,
2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是 = (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；


= 1正数的负分数指数幂的意义是 * (a>0，m，n∈N ，且 n>1)；
0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
(二).指数函数及其性质
1.概念：函数 y＝ax(a>0且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，a是底数.
第 2 页 共 5 页
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点(0，1)，即 x＝0时，y＝1
性质 当 x>0时，y>1；当 x<0时，01；当 x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【特别提醒】
1
①画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，( 1, ).

②在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0且 a≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高”
如图是:(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则：c＞d＞1＞a＞b＞0．
四．对数与对数函数
(一).对数运算
1.对数的定义：如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，
其中 a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数)．
2.几种常用的对数
一般对数： (a>0，且 a≠1)；
常用对数：lgN = log10N；
自然对数：lnN = logeN (e ≈ 2.718)
3.对数的常用结论
(1)loga1＝0(a>0且 a≠1)； (2)logaa＝1(a>0且 a≠1)；
推广： = (a>0且 a≠1)
(3)对数恒等式： alogaN＝N (a>0且 a≠1，N>0)．
4.对数的运算法则：如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)

＝logaM＋logaN； ② ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
5.对数的换底公式：log N b ＝ (a，b均大于零，且不等于 1)；
推广：(1)logab·logba＝1，即 log b
1
a ＝ (a，b均大于 0且不等于 1)；
(2)logambn

＝ logab(a，b均大于 0且不等于 1，m≠0，n∈R)；
(二).对数函数
1.对数函数的概念
第 3 页 共 5 页
函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2.对数函数的图象与性质
函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0图象
图象特征 在 y轴右侧，过定点(1，0)
当 x逐渐增大时，图象是上升的 当 x逐渐增大时，图象是下降的
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
函数值变 当 x＝1时，y＝0
当 x>1时，y>0；当 01时，y<0；当 00
化规律
3.指数函数与对数函数的关系
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对称．
五.几类常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x) ＝ ＋b(k，b为常数且 k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且 a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且 a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
六．抽象函数的模型
1.反比例函数模型
若 f(x + y) = f(x)f(y)f(x)+f(y)；则 f(x) =
f(1)
，(其中 x, f(x), f(y), f(x + y)均不为 0)
x
2.一次函数模型
模型 1：若 f (x y) f (x) f (y)，则 f (x) f (1)x；
模型 2：若 f (x y) f (x) f (y)，则 f (x)为奇函数；
模型 3：若 f (x y) f (x) f (y) m,则 f (x) [ f 1 m]x m ；
模型 4：若 f (x y) f (x) f (y) m,则 f (x) [ f 1 m]x m ；
3.指数函数模型
模型 1：若 f(x + y) = f(x)f(y)，则 f(x) = f(1) x, (f(x) > 0)；
f(x)
模型 2：若 f(x y) = f(y)，则 f(x) = f(1)
x, (f(x) > 0)；
x
模型 3：若 f(x + y) = m f(x)f(y)，则 f(x) = mf(1) ；
m
x
模型 4：若 f(x y) = m
f(x)
f(y)，则 f(x) = m
f(1)
；
m
4.对数函数模型
第 4 页 共 5 页
模型 1：若 f(xn) = nf(x)，则 f(x) = f( ) ( > 0 且 ≠ 1， > 0)；
模型 2：若 f(xy) = f(x) + f(y)，则 f(x) = f( ) ( > 0且 ≠ 1， > 0)；
模型 3：若 f(
x ) = f(x) f(y)
y ，则 f(x) = f( ) ( > 0 且 ≠ 1， > 0)；
模型 4：若 f(xy) = f(x) + f(y) + m，则 f(x) = f( ) + + ( > 0且 ≠ 1， > 0)；
x
模型 5：若 f( ) = f(x) f(y) + my ，则 f(x) = f( ) + ( > 0 且 ≠ 1， > 0)；
5.幂函数模型
模型 1：若 f(xy) = f(x)f(y)，则 f(x) = f( ) ( > 0 且 ≠ 1， > 0)；
f(x)
模型 2 x：若 f( ) =y f(y)，则 f(x) = f( )
( > 0 且 ≠ 1， > 0, ≠ 0, ( ) ≠ 0)；
代入 f a 则可化简为幂函数；
6.余弦函数模型
模型 1：若 f(x + y) + f(x y) = 2f(x)f(y)(f(x)不恒为 0)，则 f(x) = cosωx；
模型 2：若 f(x) + f(y) = 2f( x+y )f( x y )2 2 (f(x)不恒为 0)，则 f(x) = cosωx；
模型 3：若 f(x + y) + f(x y) = kf(x)f(y)(f(x) 2不恒为 0)，则 f(x) = cosωx；
k
7.正切函数模型
1 f(x + y) = f(x)+f(y)模型 ：若 (f(x)f(y) ≠ 1)，则 f(x) = tanωx；
1 f(x)f(y)
第 5 页 共 5 页

展开更多......

收起↑