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二元一次方程组 题型大攻关
【题型一】二元一次方程的定义（）
【例1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）方框内，给出了两个判断，其中（ ）
（1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程．
A．（1）对 B．（2）对
C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对
【变式1-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）若是二元一次方程，则 ．
【变式1-3】（22-23七年级下·河北唐山·期中）已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答；如果不是，请再写出它的另一个解．
【题型二】二元一次方程的解（）
【例2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程在自然数范围内的解（ ）
A．有无数组 B．有两组
C．有三组 D．有四组
【变式2-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）小明计划用元钱购买、两种笔记本，种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式2-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有 种．
【变式2-3】（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
【题型三】判断是否是二元一次方程组（）
【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）若方程组是二元一次方程组，则“…………”不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（22-23七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】判断是否是二元一次方程组的解（）
【例4】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列x和y的值不符合二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）解为的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023七年级下·全国·专题练习）以为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】代入消元法（）
【例5】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）用代入消元法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）把变形成用x表示y的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ．
【变式5-3】.（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务．
解：．
第一步：由①得，③；
第二步：将③代入②，得；
第三步：解得；
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为．
任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）；
任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误；
任务三：请写出正确的解答过程．
【题型六】加减消元法（）
【例6】（23-24七年级下·河北张家口·期末）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5－②×3；琪琪说：要消去y，可以将①×3＋②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对
【变式6-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知方程组，则2x+y＝ ．
【变式6-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下：
解：由①，得，…………第一步
，得，…………第二步
得.…………第三步
把代入①，得，…………第四步
所以原方程组的解为．
(1)小明的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解方程组的过程.
【题型七】已知二元一次方程组的解求参数（）
【例7】（21-22七年级下·河北石家庄·期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【变式7-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
【变式7-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题.
【题型八】二元一次方程组的特殊解法（）
【例8】（23-24七年级下·河北唐山·期中）关于x，y的方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ．
【变式8-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决”
（1）你认为谁说得对？ （填甲或乙）；
（2）这个题目的解应该是 ．
【题型九】构造二元一次方程组求解（）
【例9】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中z，y的值是（ ）
5
0
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ．
【变式9-3】（23-24·河北保定·阶段练习）已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
【题型十】根据实际问题列二元一次方程组（）
【例10】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）手工课上，同学们用图中的彩色和白色正方形纸片拼成如图中的甲、乙两种图案．现有个彩色正方形纸片和个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了个甲图案，个乙图案，则所列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24七年级下·河北承德·期末）我国民间流传这样一道数学名题：
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）
设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ．
【题型十一】根据几何图形列二元一次方程组（）
【例11】（21-22七年级下·河北唐山·期末）如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（21-22七年级下·河北唐山·期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【题型十二】方案问题(二元一次方程组的应用)（）
【例12】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（ ）．
A．4种 B．5种 C．9种 D．10种
【变式12-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）某县因为冬天雨雪少，进行了增雪操作，下雪前紧急储存融雪剂，用元购进甲、乙两种融雪剂共计吨，甲、乙两种融雪剂的售价分别是元/吨、元/吨．
(1)问甲、乙两种融雪剂各购进了多少吨？
(2)该县发现铲车明显不够用，决定购买铲车，为了保护环境，决定购买全新的混合动力铲车，有、两种型号，其中每台的年省油量如下表：
型号
省油量（万升/年·台）
若购买这批混合动力铲车每年能省万升汽油，求购买这批混合动力铲车的方案（每种型号至少辆）．
【变式12-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某药店出售A、B两种口罩，已知该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元．
(1)请分别求出A、B两种口罩每个的进价是多少元？
(2)已知药店将A种口罩每个提价1元出售，B种口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【题型十三】行程问题(二元一次方程组的应用)（）
【例13】（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米则8路公交车的行驶速度为（ ）
A．100m/分钟 B．200m/分钟 C．300m/分钟 D．400m/分钟
【变式13-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（22-23七年级下·河北廊坊·期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．
问：
（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．
（2）7路公交车总站每间隔 发一辆车．
【题型十四】数字问题(二元一次方程组的应用)（）
【例14】（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（ ）
A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍
【变式14-1】．（23-24七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则：
(1)____________________；
(2)的值为__________．
x P 2
1
y
【变式14-2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这个两位数．
【题型十五】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（）
【例15】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（ ）
A．20，10 B．15，20 C．10，30 D．8，26
【变式15-1】．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）某一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/（元/千克） 5 3
零售价/（元/千克） 7 4
他卖完这些黄瓜和茄子共赚了 元．
【变式15-2】．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市．
(1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元； 小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？
(2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？
【题型十六】古代问题(二元一次方程组的应用)（）
【例16】．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法：
甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为；
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
对于两位同学的做法，判断正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对
【变式16-2】．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为 ， ．
【题型十七】其他问题(二元一次方程组的应用)（）
【例17】（23-24七年级下·河北承德·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，小丽的5次飞镖总分为（ ）分．
A．37 B．38 C．39 D．40
【变式17-1】．（23-24七年级下·河北保定·期末）某超市用600元购进了单价分别为30元和20元的两种商品，其中单价30元的商品购进m件，单价20元的商品购进n件，则用含m的式子表示n为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-2】．（23-24七年级下·河北张家口·期末）为有效防控流行性感冒，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾．若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
【变式17-3】．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）．
(1)求该食品厂到A地、B地的距离中，铁路距离分别是多少千米？
(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
【题型十八】三元一次方程组的定义及解（）
【例18】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知，，，则等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
【变式18-1】.（21-22七年级下·河北保定·期中）解三元一次方程组的基本思想是 ．
【题型十九】三元一次方程组的应用（）
【例19】．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（ ）

A．70 B．160 C．240 D．420
【变式19-1】．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）有甲、乙、丙三种商品，若购甲1件、乙2件、丙3件，共需136元；若购甲3件、乙2件、丙1件，共需240元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需 元．
【变式19-2】．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足，①，，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．中小学教育资源及组卷应用平台
二元一次方程组 题型大攻关
【题型一】二元一次方程的定义（）
【例1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是理解：符合以下三个条件：（1）方程中只含有个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程由此可判断．根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、中未知数的个数为3个，此选项不符合题意；
B、中未知数项的最高次数为二次，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、不是整式方程，此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）方框内，给出了两个判断，其中（ ）
（1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程．
A．（1）对 B．（2）对
C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对
【答案】D
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查二元一次方程的定义，注意掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.据此进行判断即可．
【详解】解：（1）方程不是二元一次方程；
（2）不是二元一次方程．
∴（1）、（2）均不对
故选：D
【变式1-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）若是二元一次方程，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】（22-23七年级下·河北唐山·期中）已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答；如果不是，请再写出它的另一个解．
【答案】(1)
(2)不唯一，（答案不唯一）
(3)不是，（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程的定义
【分析】（1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案；
（2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案；
（3）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：是二元一次方程的解，
将代入，得；
（2）解：以为解的二元一次方程不唯一；
比如的解也是；
（3）解：二元一次方程的解不是只有这一个解；比如也是的解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键．
【题型二】二元一次方程的解（）
【例2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程在自然数范围内的解（ ）
A．有无数组 B．有两组
C．有三组 D．有四组
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程的解，求出在自然数范围中的解即可．
【详解】解：方程在自然数范围内的解为：
，
共四组；
故选D．
【变式2-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）小明计划用元钱购买、两种笔记本，种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程的应用，设购买、两种笔记本分别为本，本，根据题意，列出二元一次方程，求出、正整数解即可．
【详解】解：设购买、两种笔记本分别为本，本，
由题意得：，
，
、均为正整数，
当时，，当时，，
故有种购买方案，
故选：D．
【变式2-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有 种．
【答案】4
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设租用间6人间，租用间4人间，根据参加培训的共50人，即可得出关于的二元一次方程，再结合均为正整数即可得出结论．
【详解】解：设租用间6人间，租用间4人间，
依题意，得：．
，
又∵均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种租房方案．
故答案为：4．
【变式2-3】（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了方程的解以及解方程
（1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案；
（2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y．
【详解】（1）由题意得，，
解得，．
（2）由得，．
【题型三】判断是否是二元一次方程组（）
【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数为1的方程组，据此逐项分析判断，即可作答．
【详解】解：A、次数为2，故该选项是错误的；
B、满足含有两个未知数，并且未知数的次数为2的方程组，故该选项是正确的；
C、次数为2，故该选项是错误的；
D、含有三个未知数，故该选项是错误的；
故选：B
【变式3-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】、是二元一次方程组，共2个，
故选：A．
【变式3-2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）若方程组是二元一次方程组，则“…………”不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】选项A、B、D中的方程和满足二元一次方程组，故选项A、B、D不符合题意；
而C选项中的方程中含未知数的项的最高次数是2，所以不是二元一次方程组，故C选项符合题意；
故选C．
【变式3-3】（22-23七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、判断是否是二元一次方程组
【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断．
【详解】解：A、将代入，左边右边，故不符合题意；
B、将代入，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意；
C、将代入，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意；
D、将代入，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计算是解题的关键．
【题型四】判断是否是二元一次方程组的解（）
【例4】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列x和y的值不符合二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将选项逐一代入，看左右两边是否成立即可．
【详解】解：将选项逐一代入，
A. ，成立，故符合；
B. ，成立，故符合；
C. ，成立，故符合；
D.，不成立，故不符合；
故选：D．
【变式4-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）解为的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．
【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意；
D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键．
【变式4-2】（2023七年级下·全国·专题练习）以为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】将代入代数式和分别求值即可得到最后结果．
【详解】解：，，
，，
以为解的方程组是．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了是否是二元一次方程组的解，正确去括号解答是解题关键．
【题型五】代入消元法（）
【例5】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）用代入消元法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查代入法解方程组，将代入，进行判断即可．
【详解】解：把代入，得：；
故选B．
【变式5-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）把变形成用x表示y的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】代入消元法
【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是将x看做已知数求出y．把x看做已知数，根据减数=被减数-差可以求出y．
【详解】解：把方程写成用含x的代数式表示y的形式是
故选：A
【变式5-2】（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ．
【答案】/
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、代入消元法
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果．
【详解】解：
由①得，
将代入②，
解得
将代入①，
解得
方程组的解为：
那么
故答案为：．
【变式5-3】.（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务．
解：．
第一步：由①得，③；
第二步：将③代入②，得；
第三步：解得；
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为．
任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）；
任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误；
任务三：请写出正确的解答过程．
【答案】任务一：代入；任务二：二；任务三：过程见解析，
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．
根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．
【详解】解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法；
故答案为：代入；
任务二：但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
任务三：正确的解答过程：由①得 ③
将③代入②得，
解得，代入③，解得，
∴原方程组的解为：．
【题型六】加减消元法（）
【例6】（23-24七年级下·河北张家口·期末）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5－②×3；琪琪说：要消去y，可以将①×3＋②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对
【答案】D
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，对于任何一个二元一次方程组，既可以用代入法求解，也可以用加减法求解；而对于加减不过，既可以消去未知数x，也可以消去未知数y；
按照加减法解二元一次方程组的步骤进行判断即可．
【详解】解：由加减法解二元一次方程组知，嘉嘉、琪琪的说法都正确，
故选：D．
【变式6-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知方程组，则2x+y＝ ．
【答案】4
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
，得，
∴．
故答案为：4．
【变式6-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下：
解：由①，得，…………第一步
，得，…………第二步
得.…………第三步
把代入①，得，…………第四步
所以原方程组的解为．
(1)小明的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解方程组的过程.
【答案】(1)二
(2)，过程见解析
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键．
（1）根据得，得出答案；
（2）根据解方程组的基本步骤求解即可．
【详解】（1）解：得，
第二步开始出现错误；
故答案为：二；
（2）解：
解：①，得，
得，，
将代入①得，
解得：，
∴．
【题型七】已知二元一次方程组的解求参数（）
【例7】（21-22七年级下·河北石家庄·期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程．把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：C．
【变式7-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
【答案】8
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
将代入原方程组，解出和即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，．
∴．
故答案为：8．
【变式7-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题.
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：
设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n，
∵ 是方程组的解，
∴ ，
解得 ，
∴原来的方程组为 ．
【题型八】二元一次方程组的特殊解法（）
【例8】（23-24七年级下·河北唐山·期中）关于x，y的方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程正整数解的概念是解题的关键．
将看做已知数，用含的代数式表示出，令，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解．
【详解】解：∵，
∴，
∴满足要求的值为1，3，5，对应的值为7，4，1；
∴关于x，y的方程的正整数解的个数是3，
故选：C．
【变式8-1】（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ．
【答案】5
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，将①②得：，变形即可得出答案．
【详解】解：
由①②得：，
∴，
故答案为：5．
【变式8-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决”
（1）你认为谁说得对？ （填甲或乙）；
（2）这个题目的解应该是 ．
【答案】 乙
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了二元一次方程的解．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：（1）我认为乙说得对，
故答案为：乙；
（2），
方程组中两个方程的两边都除以4，得，
∵方程组的解是，
∴，解得，
故答案为：．
【题型九】构造二元一次方程组求解（）
【例9】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可．
【详解】解：，且，
，解得：，
，
，
故选：B
【变式9-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中z，y的值是（ ）
5
0
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．
根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得．
故选：C．
【变式9-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ．
【答案】6
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，根据题意把，y的值为2；当时，y的值为2代入求出，再将代入计算即可，正确解方程组是解题关键．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
，
当时，，
故答案为：6．
【变式9-3】（23-24·河北保定·阶段练习）已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】代入消元法、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键．
（1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
（2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当时，代数式的值是，
即，
，
用含的代数式表示：．
（2）根据题意得：
当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，
，
解得：．
【题型十】根据实际问题列二元一次方程组（）
【例10】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）手工课上，同学们用图中的彩色和白色正方形纸片拼成如图中的甲、乙两种图案．现有个彩色正方形纸片和个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了个甲图案，个乙图案，则所列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系，是解题的关键．设拼成了个甲图案，个乙图案，根据等量关系式：甲图案的白色纸片乙图案的白色纸片张，甲图案的彩色纸片乙图案的彩色纸片张，列出方程组即可．
【详解】解：设拼成了个甲图案，个乙图案，根据题意得：
，
故正确．
故选：．
【变式10-1】（23-24七年级下·河北承德·期末）我国民间流传这样一道数学名题：
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）
设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：每人7两还缺7两，
；
每人半斤则多半斤，
，
根据题意可列出方程组．
故选：A.
【变式10-2】（23-24七年级下·河北邢台·期末）问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮同学设出未知数x，y后列出了方程组，则……表示的方程是 ，小颖设出未知数m、n后却列了和小亮不同的方程组：，则……表示的方程是 ．
【答案】
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出未知数代表的意义是解题关键．
由小亮列的方程可知，x、y表示下、上坡的时间，即可根据上坡时间+下坡时间=总时间，列出方程；由小颖列的方程可知m、n分别 表示上坡与下坡的路程，根据时间等于路程除以速度，则上坡时间+下坡时间=总时间列出方程即可．
【详解】解：根据题意得出，分别表示下坡时间和上坡时间，
由题意可得：；
根据题意得出m，n分别表示上坡距离和下坡距离，
由题意可得：（或）．
故答案为：；（或）．
【题型十一】根据几何图形列二元一次方程组（）
【例11】（21-22七年级下·河北唐山·期末）如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据几何图形列二元一次方程组
【分析】根据平行线的性质，由ABCD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得 ，由平角的性质列出方程组．
【详解】解：根据题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
【变式11-1】（21-22七年级下·河北唐山·期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据几何图形列二元一次方程组
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，
解得：，
∴xy=45×20=900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型十二】方案问题(二元一次方程组的应用)（）
【例12】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（ ）．
A．4种 B．5种 C．9种 D．10种
【答案】B
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买A商品x件，购买B商品y件，根据用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品列二元一次方程，结合购进的A种商品不少于10件求解即可．
【详解】解：设购买A商品x件，购买B商品y件，由题意，得
，
∴，
∵进的A种商品不少于10件，
∴，，，，，
故选B．
【变式12-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）某县因为冬天雨雪少，进行了增雪操作，下雪前紧急储存融雪剂，用元购进甲、乙两种融雪剂共计吨，甲、乙两种融雪剂的售价分别是元/吨、元/吨．
(1)问甲、乙两种融雪剂各购进了多少吨？
(2)该县发现铲车明显不够用，决定购买铲车，为了保护环境，决定购买全新的混合动力铲车，有、两种型号，其中每台的年省油量如下表：
型号
省油量（万升/年·台）
若购买这批混合动力铲车每年能省万升汽油，求购买这批混合动力铲车的方案（每种型号至少辆）．
【答案】(1)甲种融雪剂购进了吨，乙种融雪剂购进了吨
(2)购车方案有两种，方案一：型辆，型辆；方案二：型辆，型辆
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设甲种融雪剂购进了吨，乙种融雪剂购进了吨，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买型铲车台，型铲车台，根据题意可得，进而得到，由，均为整数，求出、的值即可．
【详解】（1）解：设甲种融雪剂购进了吨，乙种融雪剂购进了吨，
依题意得，
解得：，
答：甲种融雪剂购进了吨，乙种融雪剂购进了吨；
（2）设购买型铲车台，型铲车台，
根据题意得，
，
，均为整数．
当时，；当时，．
购车方案有两种，方案一：型1辆，型10辆；方案二：型6辆，型4辆．
【变式12-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某药店出售A、B两种口罩，已知该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元．
(1)请分别求出A、B两种口罩每个的进价是多少元？
(2)已知药店将A种口罩每个提价1元出售，B种口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种口罩的进价是3元，B种口罩的进价是5元
(2)共有2种购买方案，方案1：购买A种口罩6个，B种口罩2个；方案2：购买A种口罩3个，B种口罩4个
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，利用该店进货4个A种口罩和3个B种口罩共需27元，进货2个A种口罩所需费用比进货1个B种口罩所需费用多1元，再建立方程组求解即可；
（2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用药店购买A、B两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，建立二元一次方程，利用方程的正整数解可得答案．
【详解】（1）解：设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，依题意得：
，
解得：，
答：A种口罩的进价是3元，B种口罩的进价是5元；
（2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，依题意得：
，即，
解得：．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴小雅共有2种购买方案，
方案1：购买A种口罩6个，B种口罩2个；
方案2：购买A种口罩3个，B种口罩4个．
【题型十三】行程问题(二元一次方程组的应用)（）
【例13】（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米则8路公交车的行驶速度为（ ）
A．100m/分钟 B．200m/分钟 C．300m/分钟 D．400m/分钟
【答案】B
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设8路公交车的速度为米/分，小王的速度为米/分，发车间隔时间为分钟，则两辆车之间的距离为米，根据题意，列出方程组，求出的值，再根据速度等于路程除以时间，进行计算即可．
【详解】解：设8路公交车的速度为米/分，小王的速度为米/分，发车间隔时间为分钟，则两辆车之间的距离为米，由题意，得：
，解得：，
∴8路公交车的行驶速度为m/分钟；
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组，求出发车间隔时间．
【变式13-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，据此即可求得答案．
【详解】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，可得
故选：B．
【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程组，能根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是解题的关键．
【变式13-2】（22-23七年级下·河北廊坊·期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．
问：
（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．
（2）7路公交车总站每间隔 发一辆车．
【答案】
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设7路公交车行驶速度米/分钟，琪琪匀速行走的速度米/分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，等量关系式：分钟公交车行驶的路程分钟琪琪走的路程两站之间的距离，分钟公交车行驶的路程分钟琪琪走的路程两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解．
【详解】解：设7路公交车行驶速度米/分钟，琪琪匀速行走的速度米/分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，由题意得
，
解得：，
故答案：（1）（2）．
【点睛】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
【题型十四】数字问题(二元一次方程组的应用)（）
【例14】（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（ ）
A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍
【答案】C
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设甲数为x，乙数为y，甲数的小数点向左移动两位变为，根据甲数的小数点向左移动两位就比乙数少列出等式，进行运算即可．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：
，
解得：，
即甲数为乙数的40倍，
故选：C．
【变式14-1】．（23-24七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则：
(1)____________________；
(2)的值为__________．
x P 2
1
y
【答案】(1)
(2)
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
（1）根据题意和表格中的数据，可以先求出的值；
（2）设第一列从上往下第三个数为，则，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：；
（2）设第一列从上往下第三个数为，
则，
解得，，
，
故答案为：．
【变式14-2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这个两位数．
【答案】这个两位数为34
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设十位上的数为，个位上的数为，依据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设十位上的数为，个位上的数为，
根据题意得，
∴，
由得，
∴，
将代入得，
∴，
∴这个两位数为34．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，依据题意建立方程组是解本题的关键．
【题型十五】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（）
【例15】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（ ）
A．20，10 B．15，20 C．10，30 D．8，26
【答案】C
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，根据题意可知，本题中的相等关系是“1猫+2狗=70元”和“2猫+1狗=50”，列方程组求解即可．
【详解】解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元，
由题意得．
解之得．
答：每只小猫为10元，每只小狗为30元．
故选C
【变式15-1】．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）某一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/（元/千克） 5 3
零售价/（元/千克） 7 4
他卖完这些黄瓜和茄子共赚了 元．
【答案】100
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设批发黄瓜千克，茄子千克，根据王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，列出方程组求出的值，再利用总利润等于单件利润乘以销量，求解即可．
【详解】解：设批发黄瓜千克，茄子千克，由题意，得：
，解得：，
∴（元）；
故答案为：100．
【变式15-2】．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市．
(1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元； 小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？
(2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？
【答案】(1)小强一共需要花费54元
(2)葡萄汁买了5瓶
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组是解题关键．
（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，根据买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，建立二元一次方程组，再求解即可；
（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数求解即可．
【详解】（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，
根据题意，得，
由得：，
小强一共需要花费54元；
（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，
根据题意，得，
化简得：，
，
，均为正整数，
当时，，
葡萄汁买了5瓶．
【题型十六】古代问题(二元一次方程组的应用)（）
【例16】．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
【变式16-1】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法：
甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为；
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
对于两位同学的做法，判断正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对
【答案】A
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，根据甲、乙同学的方法求解即可．
【详解】解：由题意得，甲同学：设每头牛值金x两，
可列方程为，故甲同学的做法正确，
乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
可列方程组为，故乙同学的做法正确，
故选：A．
【变式16-2】．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为 ， ．
【答案】 三人坐一辆车，则有两辆空车
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键；根据列出的方程，来反推题目条件即可求解．
【详解】解：∵小明同学设有辆车，人数为，
第二个方程右边是，说明车有两辆是空的，坐满人的车是辆，说明每辆车坐3人；
故补充的条件为：三人坐一辆车，则有两辆空车；
根据题意有：，
解得，
，
故答案是：三人坐一辆车，则有两辆空车，．
【题型十七】其他问题(二元一次方程组的应用)（）
【例17】（23-24七年级下·河北承德·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，小丽的5次飞镖总分为（ ）分．
A．37 B．38 C．39 D．40
【答案】B
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设区域和区域所得分值分别为分，分，根据小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分，求出的值，进而求出小丽的分数即可．
【详解】解：设区域和区域所得分值分别为分，分，由题意，得：
，解得：，
∴小丽的5次飞镖总分为；
故选B．
【变式17-1】．（23-24七年级下·河北保定·期末）某超市用600元购进了单价分别为30元和20元的两种商品，其中单价30元的商品购进m件，单价20元的商品购进n件，则用含m的式子表示n为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列代数式、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程，再用含m的式子表示n即可．
【详解】解：根据题意：
要用含m的式子表示n
整理为：
故选：A．
【变式17-2】．（23-24七年级下·河北张家口·期末）为有效防控流行性感冒，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾．若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
【答案】每包口罩5元，每包酒精湿巾3元
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；等量关系式：购买2包口罩的费用购买3包酒精湿巾的费用元，购买5包口罩的费用购买3包酒精湿巾的费用元，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键.
【详解】解：设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，
由题意得，，
解得：，
答：每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
【变式17-3】．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）．
(1)求该食品厂到A地、B地的距离中，铁路距离分别是多少千米？
(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
【答案】(1)这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米
(2)该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系式是解题的关键．
（1）设这家食品厂到A地的铁路距离是x公里，到B地的铁路距离是y公里，根据“食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍”及“铁路长”建立二元一次方程组求解即可得出答案；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元及铁路运费20600元，建立二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设这家食品厂到A地的铁路距离是x公里，到B地的铁路距离是y公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米．
（2）解：设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨．
【题型十八】三元一次方程组的定义及解（）
【例18】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知，，，则等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】解三元一次方程求出x、y、z的值即可得到答案．
【详解】解：
得：，
得：，解得，
把代入到②③得：，解得，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程，正确求出x、y、z的值是解题的关键．
【变式18-1】.（21-22七年级下·河北保定·期中）解三元一次方程组的基本思想是 ．
【答案】消元
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】根据三元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】解三元一次方程组的思路是消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组，
故答案为：消元．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的知识，解三元一次方程组的思路是把三元一次方程组转化成二元一次方程组．
【题型十九】三元一次方程组的应用（）
【例19】．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（ ）

A．70 B．160 C．240 D．420
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．根据题意可得，求解即可得到答案．
【详解】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．
根据题意，得
，得
．
组成方程组，得
．
解得
．
将代入，得
．
解得
．
原方程组的解为．
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．
【变式19-1】．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）有甲、乙、丙三种商品，若购甲1件、乙2件、丙3件，共需136元；若购甲3件、乙2件、丙1件，共需240元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需 元．
【答案】94
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，建立方程组，整体求解．
【详解】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，
根据题意有：，
把这两个方程相加得：，
即，
∴．
即购甲、乙、丙三种商品各一件共需94元钱．
故答案为：94．
【点睛】本题考查三元一次方程，明确题中的等量关系是解题关键．
【变式19-2】．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足，①，，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
【答案】(1)；1
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用
【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值．
【详解】（1）解：，
由可得：，
由可得：．
故答案为：；1；
（2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）解：依题意，得：，
由可得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．

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