资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
6.3三元一次方程组及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015
2．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
3．已知方程组，则的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
5．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
6．有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品．若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元；若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元，那么，购铅笔、作业本、签字笔各件共需( )
A．元 B．元 C．元 D．元
7．利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．任意实数
10．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
11．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
13．含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 ，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20
14．已知三元一次方程组，则 ．
15．甲、乙、丙三个数的和是29，甲数比乙数大5，乙数的等于丙数的，则这三个数是 ．
16．如图，在中，，，点、分别在边、上，，，连接、，交于点，则面积的最大值为 ．
17．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
三、解答题
18．已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
19．探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
20．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
21．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/（t/辆） 6 9 10
汽车运费/（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案；
(3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？
22．解方程组：．
23．四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的总数的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了26个．问四只猴子共吃了多少个桃子？
24．在等式中，当时，；当时，；当时，．
(1)求，，的值；
(2)求当时，的值．
《6.3三元一次方程组及其解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D D D D C D
题号 11 12
答案 A D
1．D
【解析】略
2．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
【详解】解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
3．A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　
【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：
∴
故选：A．　
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　
4．C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误；
D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确；
故选：D．
6．D
【分析】设购铅笔1支为x元，作业本1本为y元，签字笔1支为z元，根据“购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元；若购铅笔支，作业本本，签字笔支共需元，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购铅笔1支为x元，作业本1本为y元，签字笔1支为z元，根据题意得：
，
由②-①得：，
∴购铅笔、作业本、签字笔各件共需4.5元．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系，并利用整体思想解答是解题的关键．
7．D
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解．
【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，
解得：h=76cm．
故选 D．
【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的意思，找出图中所表示的等量关系．
8．D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
故原方程组的解为．
故选D．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
9．C
【分析】根据新定义可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
②③得：，
将①代入上式得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，
由题意得，
得：，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴，
∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，
故选：D．
11．A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
12．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
13． 三 1
【解析】略
14．9
【分析】先解三元一次方程组，再求解．
【详解】解：
由①得：④，
由②得：⑤，
将④和⑤代入③得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为9．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，解题关键是正确求解．
15．甲数为14，乙数为9，丙数为6
【分析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得，
解得
故答案为：甲数为14，乙数为9，丙数为6．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
16．8
【分析】由，，可设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面积为，设的面积为，根据同高不等底的三角形的面积关系得到，，可得，，，则，当时，的面积有最大值，即．，即可得到面积的最大值．
【详解】解：，，
设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面积为，设的面积为，
，，
，
可求得，，
，，
，
．，且垂线段最短，
当时，的面积有最大值，即．
，
即面积的最大值为8，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，与三角形的高有关的计算、垂线段最短、三元一次方程组等知识，解题的关键是找到三角形面积之间的关系．
17．12
【分析】设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解即可．
【详解】解：设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，
根据题意，得，
解得：，
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，
则，解得：，
∴用三台A型抽水机同时抽，需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完，
故答案为：12．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解．
18．(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【详解】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
19．；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键．
20．(1)
(2)
【解析】略
21．(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆
(2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆
(3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元
【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．
（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可．
（2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．
（3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．
【详解】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆．
根据题意，得
解得
故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆．
（2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆．
根据题意，得
，得，即．
均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货，
，且，
的取值可以为3，4，5，
解得或或
∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆．
（3）解：三种方案的运费分别是①（元）；
②（元）；
③（元）．
，
∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元．
22．
【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键．
利用加减消元法即可求解．
【详解】解：，
把①代入②，可得，整理可得，
④×2，可得，
③+⑤，可得，解得，
把代入①，可得，
把代入③，可得，解得，
∴原方程组的解为．
23．四只猴子共吃了120个桃子
【详解】设第一只猴子吃了x个桃子，第二只猴子吃了y个桃子，第三只猴子吃了z个桃子，依题意，得
，解得，
∴四只猴子共吃了40＋30＋24＋26＝120（个）
答：四只猴子共吃了120个桃子．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据题设条件，得到关于，，的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于和的等式，把代入，计算求值即可．
【详解】（1）根据题意得：，
①＋②得：④
③＋②×2得：⑤，
⑤－④得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：；
（2）根据题意得：，
把代入得：，
即的值为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代入法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑