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赤峰市 2025 年高三 3 20 模拟测试
参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B A C D A
题号 9 10 11
答案 ACD AD ABC
12. 60 13. (3+ 3,3 3] 14. 1
一：单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分.
1. 如图，向量OZ 对应的复数是 z ，则 z z的值为 y
Z
A. 6 B. 6 C. 13 D. 13 3
-2 O x
【详细解答】由题意，向量OZ 对应的复数是 z = 2+3i ，且 z z =| z |2=13 . 故选 C.
2. 已知集合 A ={[ 1.5],[ 1],[0.4],[2.1]}，其中 [x]表示不超过 x 的最大整数， B ={x Z | 2≤ x 3}，则
A B =
A. { 1,0} B. { 1,0,1} C. { 1,0,2} D. { 2, 1,0,2}
【详细解答】由题意， A ={ 2, 1,0,2}， B ={ 2, 1,0,1,2}，则 A B ={ 2, 1,0,2} . 故选 D.
3. 已知向量a 和b 满足 | a |=| b |= 3，a 与b 的夹角为60 ，则 | 2a b |=
A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 3
【详细解答】由题意，
1
| 2 |= | 2 |2a b a b = (2a 2 2 2b) = 4a 4a b + b = 4 9 4 3 3 + 9 = 3 3 . 故选 D.
2
1
4. 已知锐角 满足 sin cos = ，则 tan 的值为
5
3 4 5
A. B. C. D. 5
4 3 5
1 1 12
【详细解答】由题意，sin cos = ，则 (sin cos )
2 = ，且 sin2 + cos2 =1，可得 sin cos = ，
5 25 25
4 3 4
可得 sin = ， cos = ，则 tan = . 故选 B.
5 5 3
5. 在平面内，两定点 A,B之间的距离为 4，动点M 满足 | MA |= 3| MB |，则点 M 轨迹的长度为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【详细解答】由阿波罗尼斯圆的定义可知点M 轨迹为直径为 3 的圆，即点M 轨迹的长度为直径为 3 的圆
的周长3 . 故选 A.
数学答案 第1页 / 共8页
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3 2
6. 某学校有 A、B 两家餐厅，王同学第一天去 A、B 两个餐厅的概率分别是 和 ，如果第一天去 A餐
5 5
3 4
厅，那么第二天去 A餐厅的概率为 ；如果第一天去 B 餐厅，那么第二天去 A餐厅的概率为 ，则王同
5 5
学第二天去 A餐厅的概率为
12 8 17 8
A. B. C. D.
17 17 25 25
【详细解答】由题意，设王同学第一天去 A餐厅的概率为 P(A)，第一天去B 餐厅的概率为P(B)，则根据
3 4 17
全概率公式，王同学第二天去 A餐厅的概率 P = P(A) + P(B) = . 故选 C.
5 5 25

7. 如图所示，用一个与圆柱底面成 （ 0 ）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆. 若
2

= ，则椭圆的离心率为
3
1 3 2 3
A. B. C. D.
2 3 2 2

【详细解答】由题意，截面椭圆的半短轴长等于圆柱的底面半径 r ，由 = 可知，椭圆的半长轴长等于2r ，
3
3
因此椭圆的离心率 e = . 故选 D.
2
8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O xyz 中，过点P(x0 , y0 , z0 ) 且一个法向量为n = (a,b,c)的平面
的方程为a(x x0 ) + b(y y0 ) + c(z z0 ) = 0 .”解决问题：在空间直角坐标系O xyz 中，若直线 l 是两平
面 x 3y + 7 = 0与4y + 2z +3 = 0的交线，则直线 l 的方向向量可以是
A. (3,1, 2) B. (3,1,2) C. ( 2,1, 3) D. (2,1,3)
【详细解答】由材料内容可知平面 x 3y + 7 = 0的法向量可以是 (1, 3,0)，平面4y + 2z +3 = 0的法向量
可以是 (0,4,2) ，交线的方向向量需要和两条法向量都垂直，即数量积为 0，则 (3,1, 2) 满足题意. 故选 A.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知数列{an}的前n 项和为 Sn ，且 2an+1 = an + an+2 ，若a5 a3 = 4， S2 = 4，则
a a +1
A. a =1 B. { n n+1 }1 是公差为 2 的等差数列
n
S S
C. S9 = 81 D.
6 3 = 3
6 3
【详细解答】由题意，数列{a }为等差数列，且a5 a3 = 2d = 4，则 d = 2，又 S2 = a1 + a2 = 2a1 + d = 4n ，则
a1 =1 . 故 A 选项正确；
a a +1 a a +1
an = 2n 1， an+1 = 2n +1，则
n n+1 = 4n ，即{ n n+1 }为公差d = 4的等差数列，故 B 选项错误；
n n
S9 = 9a5 = 81，故 C 选项正确；
2 S S SS = n ， n = nn ，则
6 3 = 3，故 D 正确.
n 6 3
故选 ACD.
数学答案 第2页 / 共8页
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10. 已知函数 f (x) = sin( 2x )，则
3
A. f (x)是周期为 的函数

B. f (x) 与函数 y = cos(2x + )是同一函数
3

C. x = 是 f (x) 的一条对称轴
12
π 3
D. f (x) 在区间 (0, )上的取值范围是[ 1, )
2 2
5
【详细解答】由题意， f (x) = sin( 2x ) = sin(2x + ) = cos(2x + + ) = cos(2x + )，则 A 选项正确，
3 3 3 2 6
B 选项错误；
k
令 2x + = k + （ k Z ），则 x = + 为对称轴，则 C 选项错误；
3 2 2 12
π 4 3
当0 x 时， 2x + ， 1≤ sin(2x + ) ，则 D 选项正确.
2 3 3 3 3 2
故选 AD.
11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法. 比如形状酷
1 1
似“星星”的曲线C :| x | 2+ | y | 2= 2（如图所示），则下列关于曲线C 的说法正确的
有
A. 周长大于 25
B. 共有 4 条对称轴
C. 围成的封闭图形面积小于 14
D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为 1
【详细解答】由题意，在第一象限曲线C 的方程为 x + y = 2 ，即 y = x 4 x + 4（ 0 x 4,0 y 4），
当 0 x 4,0 y 4时，曲线C 在圆 (x 4)2 + (y 4)2 =16 的下方，即第一象限曲线C 的长度大于圆
2 2 1(x 4) + (y 4) =16周长的 ，即曲线C 的周长大于圆 (x 4)2 + (y 4)2 =16 的周长8 ，而8 25，则 A
4
1 1
选项正确；由曲线C 的方程为 | x | 2+ | y | 2= 2可知，曲线C 共有 4 条对称轴，则选项 B 正确；由 A 选项
的推证可知：曲线C 围成的封闭图形的面积 S 8 8 42 =16(4 ) 14 ，则选项 C 正确；第一象限曲线
C 距离原点的最短距离为 2 ，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为 2 的圆，则选项 D 错误.
故选 ABC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
1 6
12. 在 (2x + ) 的展开式中，常数项为____________.
x
1 6 1
【详细解答】由题意 (2x + ) 的展开式中的常数项C2 2 46 (2x) ( ) = 60 .
x x
2 2
13. 锐角△ABC 中，a、b、c分别为角 A、B、C 所对的边，且a b = (a c)c ，若b = 3 ，则△ABC 周
长的取值范围是____________.

【详细解答】由余弦定理可解得 B = ，在△ABC 的外接圆内易获得锐角△ABC 周长的取值范围是
3
(3+ 3,3 3] .
数学答案 第3页 / 共8页
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a 1
14. 已知函数 f (x) = x + （0 a≤ 3）在[ 2, 1]上的最大值比最小值大 ，则 a =___________.
x 2
a
【详细解答】由函数 f (x)为奇函数，可知函数 f (x) = x + （0 a≤ 3 ）在[ 2, 1]上的最大值比最小
x
1 1
值大 ，即为在[1,2]上的最大值比最小值大 .
2 2
a a 1
当 0 a≤1时， fmax fmin = f (2) f (1) = 2 + 1 a =1 = ，解得a =1；
2 2 2
a a 1
当1 a ≤ 3 时， fmax fmin = f (2) f ( a ) = 2 + a a = 2 + 2 a = ，解得a =1或 a = 9，不成立.
2 2 2
1 2
或者 fmax fmin = f (1) f ( a ) =1+ a a a =1+ a 2 a = ，解得 a =1 ，不成立.
2 2
故 a =1.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了 200 名高三年级学生，整理数据得到
如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
身高
性别 低于 不低于 合计
170cm 170cm
女 m 20
男 50 n
合计 200
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的m ， n的值；
（2）依据小概率值 = 0.001的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于 170cm”
有关联？
（3）将样本频率视为概率，在全市不低于 170cm 的学生中随机抽取 6 人，其中不低于 175cm 的人数
记为 X ，求 X 的期望.
2
2 n(ad bc)附： = ,
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
P( 2 ≥ k) = 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【详细解答】（1）由图，低于 170cm 的学生有200 5 (0.005+ 0.015+ 0.030+ 0.060) =110人，...1 分
则不低于 170cm 的学生有 200 110 = 90 人.......................................................................................................2 分
从而
m =110 50 60 ....................................................................................................................................................3分
n = 90 20 = 70 ......................................................................................................................................................4分
(2）零假设为H0 ：性别与身高没有关联，........................................................................................................5 分
计算可得
2 2
2 n(ad bc) 200(60 70 50 20) 6400 = = = 21.549 10.828 ...................................7 分
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 80 110 120 90 297
根据 = 0.001的独立性检验，推断H0 不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于 170cm 有关
联 ...........................................................................................................................................................................8分
数学答案 第4页 / 共8页
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（3）样本中抽中不低于 175cm 的频数为
(0.032+ 0.008) 5 200 = 40人......................................................................................................................9 分
40 4
样本中抽中不低于 175cm的频率为 = ......................................................................................................10分
90 9
将样本频率视为概率，在全市不低于 170cm 的学生中随机抽取 6 人，
4
其中不低于 175cm 的人数记为 X ，则 X B(6, ) ....................................................................................12 分
9
4 8
E(X ) = np = 6 = . ...................................................................................................................................13 分
9 3
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) = (x +1)ln x .
（1）求 f (x) 在点 (1，f (1)) 处的切线方程；
（2）若函数F (x) = f (x) ax 有两个极值点，求a 的取值范围.
1
【详细解答】（1） f (x) 的定义域为 (0，+ )， f (x) = ln x + +1，..........................................................2 分
x
故 f (1) = 2 ， f (1) = 0，....................................................................................................................................4 分
所以， f (x) 在点 (1，0) 处切线方程为2x y 2 = 0，...................................................................................6 分
（2）F (x) = (x +1)ln x ax
1
F (x) = ln x + +1 a，...................................................................................................................................8 分
x
F(x)有两个极值点等价于F (x) = 0有两个根，.............................................................................................9 分
1
即 ln x + +1= a 有两个根， ..........................................................................................................................10 分
x
1 1 1 x 1
设G(x) = ln x + +1， G (x) = = （ x 0），.......................................................................11 分
x x x
2 x2
当 x (0,1)时，G (x) 0，G(x)单调递减，...............................................................................................12 分
当 x (1,+ ) 时，G (x) 0，G(x)单调递增，...........................................................................................13 分
G(x)min =G(1) = 2，.........................................................................................................................................14 分
故 a 2时，F(x)有两个极值点，
综上，a 的取值范围为 (2，+ ) . ......................................................................................................................15 分
17.（本小题满分 15 分）
5
已知数列{an}中， an+1 = 2an n+1 . 3
（1）若 a1,a2 ,a3 依次成等差数列，求a1；
4 1
（2）若 a1 = ，证明数列{an }为等比数列，并求数列{an}的前 n项和 Sn .
3 3n
5 5 35
【详细解答】（1）a2 = 2a1 ， a3 = 2a2 = 4a1 ，............................................................................2 分
9 27 27
又 a1,a2 ,a3 依次成等差数列，所以 2a2 = a1 + a3， ..........................................................................................4 分
5 35 5
即 2(2a1 ) = a1 + 4a ，解得 a1 =1 . ......................................................................................................6 分
9 27 27
（2）证明：因为
1 5 1 6 2 1
an+1 = 2a = 2an+1 n n+1 n+1 n = 2an = 2(an )n+1 n n .............................................................10分 3 3 3 3 3 3
数学答案 第5页 / 共8页
{#{QQABIYKtwgI4kBaACQ4KB0GQCUuQkIKhJaoMxUCcuAQCgQFAFIA=}#}
1 1
且 a1 =1，所以{an }n 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 3 3
1 n 1 n 1 1
可得 an = 2 a = 2 +n ，则 n n ， .........................................................................................................12 分 3 3
1 1
n
0 1 2 n 1 1 1 1 1 2 n+1 n 1 1Sn = (2 + 2 + 2 + + 2 ) + ( + + + ) = +
3 3 = 2
n ......................................15 分 3 32 3n 1 2 11 2 3 2
3
18.（本小题满分 17 分）
F E
如图所示，三棱柱 ABF DCE中，平面 ABCD ⊥平面 ADEF ，
AD = 2AB = 2AF = 4， BAD = FAD =120 ，点M 为棱 AD 的中点，
动点 P 满足 PC = AB + (1 )AD AF （ 0 1）.
A M
3 D
（1）当 = 时，求证：CM ⊥ PB；
4
（2）若平面 PMB 与平面MEC 所成角的正切值为 19 ，求 的值. B C
【详细解答】（1）方法一：由 PC = AB + (1 )AD AF 可得，PC AB AD + AF = AD ，
即 PC +CD + DA+ AF = AD ，即 FP = FE .................................................................................................2 分
3
当 = 时，可得 PM ⊥ AD .
4
平面ADEF ⊥平面ABCD

平面ADEF 平面ABCD = AD
平面

PM ⊥ ABCD
PM 平面ADEF PM ⊥ CM


PM ⊥ AD

CM 平面ABCD
BM ⊥ CM

PM 平面PMB CM ⊥平面PMB
CM ⊥ PB . BM 平面PMB

PM BM








PB 平面PMB
.................................................8分
方法二：向量方法
AF 2 + AB2 AF 2 1
易求得 FB = 6 ，则 cos AF AB = = ， ....................................................................2 分
2AF BF 4
1
CM = AB AD . .............................................................................................................................................3 分
2
PB = PC +CB = PC AD = AB AD AF ，...................................................................................................4 分
3 3
当 = 时， PB = AB AD AF .
4 4
3 1 2 3
PB CM = AB AD AF AB AD = AB + AD AB + AF AB
4 2 4
1 3 2 1
AB AD + AD + AD AF = 0
2 8 2
即CM ⊥ PB .......................................................................................................................................................8 分
数学答案 第6页 / 共8页
{#{QQABIYKtwgI4kBaACQ4KB0GQCUuQkIKhJaoMxUCcuAQCgQFAFIA=}#}
z
（2）如图，过点 B 作棱 AD 的垂线，垂足为O，连结OF ，则 F E
OF ⊥ AD .
以O为原点，OB 方向为 x轴，OD方向为 y 轴，OF 方向为 z 轴，
建立如图所示坐标系. M yO A
平面MEC 中，M (0,3,0) ，C( 3,4,0) ，E(0,4, 3) D
ME = (0,1, 3) ， MC = ( 3,1,0)，
B C
x
则平面MEC 的法向量为n = (1, 3,1) ；.........................................................................................................11 分 1
平面 PMB 中，由（1）可知， FP = FE ，
M (0,3,0) ， B( 3,0,0) ， P(0,4 , 3) ，
MB = ( 3, 3,0) ， MP = (0,4 3, 3)
则平面 PMB 的法向量为n = (3, 3,3 4 ) ；..................................................................................................14 2 分
5
由题意，设平面PMB 与平面MEC 所成角为 ，且 tan = 19 ，则 cos = . .......................................15 分
10
| n1 n2 | | 3 4 | 5 1cos = = = ，解得 = .
| n1 | | n
2
2 | 5 (4 3) +12 10 4
1
即平面 PMB 与平面MEC 所成角的正切值为 19 时， 的值为 . ............................................................17 分
4
19.（本小题满分 17 分）
2
已知点 P 为圆C : (x + 2) + y2 =12上任意一点，点 A(2,0)，线段PA的垂直平分线交直线 PC 于点B ，
设点 B 的轨迹为曲线H .
（1）求曲线H 的方程；
3
（2）若过点 B 的直线 l 与曲线H 相切，且与直线 y = x分别交于点M , N .
3
① 证明：点 B 为线段MN 的中点；
② 求 2 OM + 3 ON 的取值范围.
【详细解答】（1） B 为 PA的垂直平分线上一点，则 BP = BA .
∴ BA BC = BP BC = 2 3 AC = 4 . ....................................................................................................2 分
∴点 B 的轨迹为以 A、C 为焦点的双曲线，且 2a = 2 3,c = 2 .......................................................................4 分
x2
故点 B 的轨迹方程为H : y2 =1 ...................................................................................................................5 分
3
（2）（ⅰ）设 B (x0 , y0 ) , M (x1, y1 )， N (x2 , y2 )，
3 3
双曲线的渐近线方程为 y = x ①， y = x ②，...................................................................................6 1 1 2 2 分
3 3
3
当直线 l 的斜率存在时，设过点 B 且与H 相切的直线 l 的方程为 y = kx + m k ，与双曲线联立
3
y = kx + m

x2 (1 3k 2 ) x2 6kmx 3m2 3 = 0
y2 =1
3
2 2 3km 3km m
由△ = 0 3k = m +1,且x0 = ，故可得B ,2 2 ................................................................8 分
1 3k 2 1 3k 1 3k
数学答案 第7页 / 共8页
{#{QQABIYKtwgI4kBaACQ4KB0GQCUuQkIKhJaoMxUCcuAQCgQFAFIA=}#}
y = kx + m
3m 3m
由 3 M , ；...........................................................................................................9 分
y = x 3 3k 3 3k
3
y = kx + m
3m 3m
3 N
, . .............................................................................................................10 分
y = x 3 3k 3 + 3k
3
6km 2m
∴ x1 + x2 = = 2x0 , y1 + y2 = = 2y0 .
1 3k 2 1 3k 2
∴点 B 为线段 MN 的中点. .............................................................................................................................11 分
3
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程是 x = ，根据双曲线的对称性可知，此时直线 l 即是双曲线H
3
的切线，同时满足点 B 为线段MN 的中点. .....................................................................................................12 分
综上，点 B 为线段MN 的中点.
3m 3m 3m 3m
（ⅱ）由（ⅰ）知，M , , N , .
3 3k 3 3k

3 3k 3 + 3k


2 9 (3k 2 1)
∴ OM ON = x2 + y2 x2 + y2
4 4 9m 4
1 1 2 2 = x1x2 = = = 4 ...........................................14 分
3 3 9k 2 3 3 9k 2 3
∴ 2 OM + 3 ON 2 6 OM ON = 2 6 4 = 4 6 .
当且仅当 2 OM = 3 ON ，即 OM = 6 时取等号. .........................................................................................16 分
又∵ OM (0,+ )，
∴ 2 OM + 3 ON 的取值范围为 4 6,+ ) . ....................................................................................................17 分
数学答案 第8页 / 共8页
{#{QQABIYKtwgI4kBaACQ4KB0GQCUuQkIKhJaoMxUCcuAQCgQFAFIA=}#}

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