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3 向心加速度
第六章 圆周运动
v
an
v
an
v
an
第六章 圆周运动
1. 知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度。
2. 理解向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算。
3. 体会匀速圆周运动的向心加速度方向的分析方法。
教学目标
什么是匀速圆周运动
“匀速”的含义是什么？
匀速圆周运动是变速运动
变速运动
运动状态改变
一定存在加速度
问题引入
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为绕地球做匀速圆周运动。
它的加速度有什么样的特点呢 它的方向怎样 大小如何计算
新课讲授
v
v
v
O
Fn
Fn
Fn
an
an
an
物体做匀速圆周运动时，合力提供向心力，合力方向指向圆心。
由牛顿第二定律知，知道了合外力就可以推出加速度，那么物体的加速度应该也指向圆心。
1.定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢。只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.符号：an
3.方向：与速度垂直，始终指向圆心（方向不断变化）。
5.匀速圆周运动的性质：加速度大小不变，方向时刻改变，是变加速运动。
一、匀速圆周运动的加速度方向
1. 在圆周运动中下列关于向心加速度的说法中，正确的是 ( )
A. 向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度大小不断变化
A
当堂巩固
2. 下列说法正确的是 ( )
A. 匀速圆周运动是一种匀速运动
B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动
C. 匀速圆周运动是一种变加速运动
D. 物体做圆周运动时其向心加速度垂直于速度方向，不改变线速度的大小
D
匀速圆周运动的加速度 an 方向时刻在变，但大小不变。那么，加速度的大小怎么计算呢
在同一条直线上
　
速度变化量的求解方法　
v1
v2
Δv ＝？
v1
v2
Δv ＝？
Δv = v2 v1
知识链接
匀速圆周运动的加速度 an 方向时刻在变，但大小不变。那么，加速度的大小怎么计算呢
速度变化量的求解方法　
v1
v2
Δv ＝？
不在同一条直线上
Δv = v2 v1
知识链接
新课讲授
设质点沿半径为 r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于 A 点，速度为 vA ，经过时间 Δt 后位于 B 点，速度为 vB 。
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δv
vB
vA
A
O
Δv 逐渐趋向于平行 OA
1. vA 、vB 的长度是否一样？
2. vA 平移时注意什么？
3. 表示什么？
4. Δv 与圆的半径平行吗？在什么条件下， Δv 与圆的半径平行？
结论：当 Δt 很小很小时，Δv 指向圆心
vA
vB
vA
vB
vA
vB
Δv
vA
vB
Δv
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、Δv 组成的三角形与 ΔABO 相似
当 Δt 很小很小时，AB = AB = Δl
Δθ
Δθ
结合上节学习的向心力表达式，推导向心加速度的表达式：
向心加速度的表达式：
v 不变时，an与r 成反比
ω 不变时，an 与 r 成正比
an
v2
r
或者 an rω2
从公式 看，an 与 r 成反比，
从公式 an rω2 看，an 与 r 成正比，这两个结论是否矛盾？
an
v2
r
二、匀速圆周运动的加速度大小
例1 .关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ D ）
A .它们的方向都沿半径指向地心
B. 它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C .北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D .北京的向心加速度比广州的向心加速度小
典例分析
例1 .关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A.它们的方向都沿半径指向地心
B. 它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
O
R
θ
r
O'
O
R
r
θ
O'
BD
r北京例2.如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d 各点的加速度之比.
c
b
d
a
例3. 在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就绕圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。细绳与竖直方向成 θ 角，求小球做匀速圆周运动的向心加速度大小为多少？通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
O′
O
mg
FT
F
θ
L
R
O′
O
mg
FT
F
θ
L
小球做圆周运动的半径 R = Lsin θ ②
R
解：小球的向心力由 FT 和 G 的合力提供
Fn = F = mgtan θ
m
an
Fn
①
把向心加速度公式的半径 an R ω2和②代入①式，可得
θ
lω2
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是 (　　)
A．与线速度方向始终相同　
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
C
巩固练习
2. 如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知 (　　)
A．A 物体运动的线速度大小不变
B．A 物体运动的角速度大小不变
C．B 物体运动的角速度大小不变
D．B 物体运动的线速度大小不变
AC
3. 一个拖拉机后轮直径是前轮直径的 2 倍，当前进且不打滑时，前轮边缘上某点 A 的线速度与后轮边缘上某点 B 的线速度之比 vA : vB = ，角速度之比 ωA : ωB = ，向心加速度之比 aA : aB = 。
1:1
2:1
2:1
A
B
4. 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的，当大轮边上P点的向心加速度是12 cm/s2 时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
1.定义：匀速圆周运动的加速度
2.意义：描述速度方向变化的快慢
3.大小：
4.方向：始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
向心加速度
an
v2
r
或者 an rω2
谢谢大家

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