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广东省2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学试题
本试卷共5页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。
1. 已知集合 , 集合B={1,2, 3,4}, 则A∩B=
A. {3} B. {3, 4} C. {2, 3, 4} D. {1,2, 3,4}
2. 记复数z的共轭复数为, 若z=3+4i, 则 =
A. B. C. D.
3. 已知向量a, b, 则“a=b”是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有
A. B.
C. D.
5. 若空间中四个不同的平面α ,α ,α , α , 满足( 则下面结论一定正确的是
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A. B. α ∥α
C. α ，α 既不垂直也不平行 D. α ，α 的位置关系不确定
6. 已知F ，F 是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，且 3|PF |, 则C的离心率为
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上单调递减，且 和 分别是函数y=f(x)图象的对称轴和对称中心，则
A. 1 B. C.
8. 设[x]表示不大于x的最大整数, 记{x}=x-[x],则对任意实数x，y，有
A. {-x}={x} B. {2x}=2{x}
C. {x}+{y}≤{x+y}; D. {x}-{y}≤{x-y}
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn，且S =9，a 是a 与a 的等比中项，则下列说法正确的是
A. B. d=-1
C. 数列 是递增数列 D. 当Sn＞0 时，n的最大值为8
10. 已知函数f(x)=x(x-1)(e -a),则下列说法正确的是
A. 若a=e, 则f(x)有2个零点
B. 若a≤0, 则f(x)＜0的解集为(0, 1)
C. a＞0, f(x)在(0, +∞)上有极小值
D. 0＜a＜1, f(x)在(0, +∞)上有极大值
11. 已知正四面体A-BCD的棱长为6，点 M，N分别是 BC，AD的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体A-BCD的有
A. 底面在平面 BCD 上，且底面半径为 、高为2 的圆锥
B. 底面在平面BCD上，且底面半径为 、高为1的圆柱
C. 轴为直线 MN，且底面半径为 、高为2的圆锥
D. 轴为直线 MN，且底面半径为 、高为0.2的圆柱
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填在答题卡的相应位置上。
12. 若函数 是奇函数, 则f(f(3))= .
13. 已知α是锐角，若 则tanα= .
14. F , F 分别为双曲线 的左、右焦点，A，C两点在双曲线上且关于原点对称(点A 在第一象限)，直线 CF 与双曲线的另一个交点为点B，若 , 则△ABC的面积为 .
四、解答题: 本题共5小题, 共77分。第15题13分, 第16、17题15分, 第18、19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。
15. (本小题满分13分)
已知函数 曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切.
(1)求a, b的值;
(2)求f(x)在 上的最大值和最小值. (其中e=2.718…为自然对数的底数)
16. (本小题满分15分)
已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b,c,且
(1)证明: cos AcosB= sin C;
(2)若△ABC的面积为 求 cos C.
17. (本小题满分15分)
近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流.某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2023 年 12月 2024 年 1 月 2024年2月 2024 年 3 月 2024年4月
月份代码x 1 2 3 4 5
销量y/千辆 14 15 16 18 19
(1)若y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2025年1月份的销量；
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(2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进人工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训.为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训.培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具.该企业宣传部门现有员工100人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润18万元，本次培训费每人1万元(计入年度部门成本).若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门
参考公式：
18. (本小题满分17分)
如图1，已知抛物线C: 的焦点为 F，准线交x轴于点 D，过点 F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点(点A 在第一象限).当 时，
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图2, 把△ADF 沿 DF 翻折为△PDF, 使得二面角 P-DF-B的大小为
①若 求直线 BD 与平面 PBF 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥D-PBF 的体积为定值.
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19. (本小题满分17分)
对于一个递增正整数数列 如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列. 将每项都取自集合{1, 2, …, n}的所有交错数列的个数记为 例如，当 时，取自集合{1}的交错数列只有1 一种情况，则. 当 时，取自集合{1，2}的交错数列有1和1，2两种情况，则
(1)求 和 的值；
(2)证明: 取自集合{1, 2, …, n}(n≥3)的首项不为1的交错数列的个数为
(3)记数列 的前n项和为 求使得 成立的n的最小值.
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