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备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划
专题5 解三角形
全国联赛真题汇编
1．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____．
2．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值．
3．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值．
4．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值．
各省预赛试题汇编
5．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____．
6．（2024·贵州预赛）在中，角所对的边分别是，若，且，则周长的取值的集合为_____．
7．（2024·四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ．
8．（2024·吉林预赛）在中，平分交于平分交于，且，则的度数为_____．
9．（2023·北京预赛）已知在中，，则_____．
10．（2023·贵州预赛）的三边分别为，记边上的中线长分别为，
则的最小值是_____．
11．（2023·四川预赛）设是的三个内角，则的取值范围为_____．
12．（2023·苏州预赛）钝角三角形的三边长分别为，则实数的取值范围是_____．
13．（2023·新疆预赛）在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____．
14．（2022·四川预赛）若的三边满足，则面积的最大值为_____．
15．（2022·北京预赛）设的三个内角分别为，记的最大值为，则将写成最简分数后的分子分母之和为_____．
16．（2022·北京预赛）中，，作交于．已知，设为的面积，则写成最简分数后的分子分母之和为_____．
17．（2024·贵州预赛）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)试用尺规作图画出下图中的费马点；(保留作图痕迹并写出简单的证明过程)
(2)已知的内角所对的边分别为且，点为的费马点，求；
(3)点为的费马点，，求实数的最小值．
18．（2023·上海预赛）给定Rt，其中．点分别在边上，使得是正三角形，求面积的最小值．
19．（2022·重庆预赛）已知分别为的三个内角的对边，，且
若为边的中点，求长的最小值．
20．（2022·广西预赛）工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？(要求说明理由)
21．（2022·新疆预赛）直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值．
22．（2022·甘肃预赛）的内角的对边分别为，已知的面积为．
(1)求；
(2)若，求的周长．
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专题5 解三角形
全国联赛真题汇编
1．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____．
【答案】2
【详解】由知．
假如，则，此时，矛盾．
从而只能是，进而有．所以
这等价于．进而．
2．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值．
【答案】
【详解】由条件知．
假如，则，但，矛盾．
所以只可能．此时．
注意到，故，所以，结合条件得
又，化简得，解得．
3．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值．
【答案】
【解析】，
若，则，
于是，矛盾：
因此，则，
于是，
两边平方得，解得(舍去)．
综上，．
4．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值．
【答案】
【详解】由知，但有意义，故不为直角，从而只能是，进而有．
所以，从而
上式等价于，于是
5．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____．
【答案】
【详解】如图，设，
则．
于是，从而．
所以该圆的直径长为．
6．（2024·贵州预赛）在中，角所对的边分别是，若，且，则周长的取值的集合为_____．
【答案】
【详解】
如图，在的条件下，满足三角形两边之和大于第三边的情况为，
其中，
又显然直线与圆弧相切，于是
所以周长的取值的集合为．
7．（2024·四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理和已知条件得，则，
所以，
因为，即，
则，即，结合，解得，
设，则，
有 ，
令，解得，
当，，此时在单调递增；
当，，此时在单调递减；
所以 ，
所以面积的最大值为．
8．（2024·吉林预赛）在中，平分交于平分交于，且，则的度数为_____．
【答案】或．
【详解】设三边的长为．
因为，所以，
得．
又平分，所以，得，即．
同理．
由余弦定理得，即．
又，所以．
从而．
即，
得或，
所以或．
所以或．
当时，．
当时，．
故的度数为或．
9．（2023·北京预赛）已知在中，，则_____．
【答案】
【详解】设，
则，
同理可得．
又，
于是．
所以
10．（2023·贵州预赛）的三边分别为，记边上的中线长分别为，
则的最小值是_____．
【答案】
【详解】由中线长公式，
则，
等号成立时．所以的最小值是．
11．（2023·四川预赛）设是的三个内角，则的取值范围为_____．
【答案】
【详解】令；
令时，，
则．
显然，下证：．
若，则；
若，则，
于是
若，且，由于，
则．
于是
从而
综上，的取值范围为．
12．（2023·苏州预赛）钝角三角形的三边长分别为，则实数的取值范围是_____．
【答案】(1, 3)
【详解】
所以实数的取值范围是(1, 3)．
13．（2023·新疆预赛）在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____．
【答案】
【详解】
，
于是，
等号成立时．
由于，
所以．
14．（2022·四川预赛）若的三边满足，则面积的最大值为_____．
【答案】
【详解】设为的边的中点，由中线长公式得，于是
等号成立时且，即．
所以面积的最大值为．
15．（2022·北京预赛）设的三个内角分别为，记的最大值为，则将写成最简分数后的分子分母之和为_____．
【答案】43
【详解】注意到在三角形中，且，不妨设居中，则由排序不等式得，等号成立时．所以，
的最简分数的分子分母之和为43．
16．（2022·北京预赛）中，，作交于．已知，设为的面积，则写成最简分数后的分子分母之和为_____．
【答案】7
【详解】如图，，
则
，所以的最简分数的分子分母之和为7．
17．（2024·贵州预赛）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)试用尺规作图画出下图中的费马点；(保留作图痕迹并写出简单的证明过程)
(2)已知的内角所对的边分别为且，点为的费马点，求；
(3)点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】(1)如图，以为边，向外作正三角形和，连接和交于点，则即为的费马点．
证明：将绕点逆时针旋转至，则为正三角形，
结合，知四点共线，
同理三点共线．
所以为与的交点．
(2)，
则
或，矛盾．
如图，
又，
代入式得．
所以．
(3)由(2)知，设，
则
代入，得．
所以实数的最小值为．
18．（2023·上海预赛）给定Rt，其中．点分别在边上，使得是正三角形，求面积的最小值．
【答案】
【详解】如图，，
，于是．
则．
所以面积的最小值为．
19．（2022·重庆预赛）已知分别为的三个内角的对边，，且
若为边的中点，求长的最小值．
【答案】
【详解】
．
注意到，由中线长公式，
，等号成立时．
所以长的最小值为．
20．（2022·广西预赛）工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？(要求说明理由)
【答案】千米
【详解】如图，分别以为圆心，为半径得到三段弧，显然工兵从点出发，至少需到达上的任意点时，才能探测到点．此时折转向点前进到上的点时，才能探测到点．当三点共线时，探测折线距离最短．
作的高，交于点，以为焦点的椭圆与相切于点时，上其余点均在该椭圆外，则当与重合时，折线距离最短，
最短距离为．
设线段与交于点，下面证明以为圆心，的为半径得到的三个圆可以覆盖，即和覆盖边，和覆盖边，和覆盖边．
当在上运动时，至少有一个在内部或边界上，不妨设为．设与交于点，则．因此只需证明和覆盖边，同时和覆盖边即可．
显然覆盖线段，当覆盖线段时只需．同理覆盖线段，当覆盖线段时只需．
又，于是
注意到
从而有，命题得证．
综上，工兵至少需要行走千米才能完成探测任务．
21．（2022·新疆预赛）直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值．
【答案】
【详解】如图，易证，且相似比为2，设，则的边长为，于是，
．在中应用正弦定理，有
从而
等号成立时．所以的最小值为．
22．（2022·甘肃预赛）的内角的对边分别为，已知的面积为．
(1)求；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】(1)．
(2)，
于是，
又．
所以的周长为．
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