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题型09 6类圆锥曲线离心率解题技巧
（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）
技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧
通过定义法计算离心率是掌握其本质的关键途径，也是新高考常考考点。通常，这一方法会在选填题中以椭圆或双曲线为背景进行考查，偶尔也会出现在解答题中，需要特别加强练习。
椭圆公式1: ，公式2: 变形，双曲线公式1:，公式
（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， 为原点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
在研究焦点三角形时，我们发现求解离心率的方法众多。这些方法经常以椭圆或双曲线作为问题的依托，在小题中进行考查，难度相对较低，需要加强练习。
已知棚圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为
A． B． C． D．
1．已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为 ．
技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
掌握斜率乘积求解离心率是新高考卷中常见的考查点，通常以椭圆或双曲线作为题目的载体，在选填题中进行测试，偶尔也会在解答题中出现，因此需要特别加强练习。
如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， .
（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·吉林·二模）已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 .
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为 ．
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.
点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A． B． C． D．
1．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
运用余弦定理来计算离心率是新高考卷中经常出现的题目，通常以椭圆或双曲线作为问题的背景，在选填题中进行考查。需要特别加强练习。
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
1．（2024·浙江·一模）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 .
2．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 .
3．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ．
技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.
在求解椭圆和双曲线的离心率时，构造齐次方程是一种有效的方法。这种方法的核心在于通过引入适当的变量和等式，构造出一个或多个齐次方程，然后通过解这些方程来求解离心率。
具体步骤通常包括：首先，根据椭圆或双曲线的性质，确定已知条件和需要求解的目标；其次，通过巧妙的构造，引入新的变量，并建立起与离心率相关的齐次方程；接着，利用数学工具如代数法、三角法或几何法等，解出这个齐次方程；最后，根据解出的结果，反推出离心率的值。
这种方法的关键在于如何巧妙地构造齐次方程，以及如何利用已知条件进行有效的求解。通过不断的练习和实践，可以逐渐掌握这种方法的技巧，提高解题效率和准确性。
比值问题，令a=1可快速求解
设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．
2．（2024·湖南长沙·二模）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
1．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·江西·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东·一模）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知圆：，双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线的斜率恰好为该双曲线的离心率，且为直角三角形，则（ ）
A．的值唯一 B．
C． D．的渐近线与共有4个公共点
7．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A． B．的面积为
C．的离心率为 D．直线AB的斜率为
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
9．（2024·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为 .
10．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则 ．
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线的左焦点为，右顶点为，上一点满足，若三角形的边经过，则双曲线的离心率是
12．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 .
13．（2024·河北邢台·二模）已知A、B是椭圆C：的左右顶点，过的直线l交椭圆C于M、N两点，直线AM与直线BN相交于点P，当最大时，. 设椭圆的离心率为e，则= ．
14．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 .
15．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题型09 6类圆锥曲线离心率解题技巧
（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）
技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧
通过定义法计算离心率是掌握其本质的关键途径，也是新高考常考考点。通常，这一方法会在选填题中以椭圆或双曲线为背景进行考查，偶尔也会出现在解答题中，需要特别加强练习。
椭圆公式1: ，公式2: 变形，双曲线公式1:，公式
（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
思路详解：由题意，设、、，
则，，，
则，则.故选：C.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
思路详解：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），
连接，则，，
所以离心率．故选：C
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：因为是椭圆上的一点，且，即，所以，
则，即椭圆，则，所以离心率.故选：C
1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】双曲线的渐近线方程为，由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得，所以的离心率.故选：C
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， 为原点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数量积运算得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率．
【详解】由题意，∴，
又是中点，所以是直角三角形，，又
，所以，，
所以，所以，
故选：C．
3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】令双曲线的半焦距为，则，
令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，
于是，，
过点作于,则，而为线段的中点,
所以
因为，所以，
由双曲线定义得，即，解得.
所以该双曲线的离心率为.
故选：B.
技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
在研究焦点三角形时，我们发现求解离心率的方法众多。这些方法经常以椭圆或双曲线作为问题的依托，在小题中进行考查，难度相对较低，需要加强练习。
已知棚圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为
A． B． C． D．
思路详解：【法一】 离心率e＝
【法二】计算即可
1．已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
思路详解：
2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【法一】 双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
【法二】计算即可
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.
【详解】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
2．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，则，解出，得到，则得到离心率.
【详解】由题意可得，如下图所示：
又因为,根据对称性可得,
可得,解得.
故，故离心率为，
故选：C.
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【详解】因为，，所以，
又，所以，，
所以，
则，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
掌握斜率乘积求解离心率是新高考卷中常见的考查点，通常以椭圆或双曲线作为题目的载体，在选填题中进行测试，偶尔也会在解答题中出现，因此需要特别加强练习。
如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， .
（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
1．（2025·吉林·二模）已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 .
思路详解：由题意：，设（），则.
由直线，的斜率之积为，可得.
所以，，，所以.
故答案为：
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为 ．
思路详解：由题意可知关于原点对称，
故可设，
因为直线斜率的乘积为3，
所以,
因为，，
两式相减得，，所以，
故．
故答案为：2．

3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率.
【详解】
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率.
【详解】设，所以，
两式相减得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.
点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A． B． C． D．
思路详解：计算即可，故选A
1．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
思路详解：计算即可，故选B
2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
思路详解：假设F为右焦点，
根据题意，设直线方程为，，
由，消得到，
易知，由韦达定理得，
又因为，所以，得到，
将代入，得到，
将代入，得到，
又，所以，得到，
故选：A.
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解.
【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为，
由椭圆焦半径公式得，，
，，即，
化简得，.
故选：D.
2．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.
【详解】
不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，
令，解得，即.
设，又，，，
由可得：，解得，
又在椭圆上，即，
整理得，解得.
故选：A
技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
运用余弦定理来计算离心率是新高考卷中经常出现的题目，通常以椭圆或双曲线作为问题的背景，在选填题中进行考查。需要特别加强练习。
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
（2024·湖南长沙·二模）已知，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：
如图所示，
设关于原点对称的点为，则为平行四边形，
由可知，，，三点共线，且，
设，则，在中，，解得，
注意到，
在中结合余弦定理可得，，
解得，则，所以，故选：C.
1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：设，则，
由椭圆的定义得，，
由得，即，
整理得，解得或（舍去），
∴，故点在轴上.
如图，在直角中，，
在中，，
化简得，
∴椭圆的离心率.
故选：C.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
思路详解：方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
1．（2024·浙江·一模）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 .
【答案】
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率.
【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径；
显然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故答案为：
2．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 .
【答案】或
【分析】由题意得到，从而，再根据 求得，从而利用双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理求解.
【详解】解：如图所示：
由题意知：，则，
所以，
易知：，则，
由双曲线的定义得：，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
即，解得或，
所以离心率为：或，
故答案为：或
3．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
设的内切圆与相切于点，
由切线长定理可得，
又，则，即，
由椭圆的定义可得，
即，
所以，又，即，所以，
则，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得
化简可得，即，即，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值.
技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧
构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习.
在求解椭圆和双曲线的离心率时，构造齐次方程是一种有效的方法。这种方法的核心在于通过引入适当的变量和等式，构造出一个或多个齐次方程，然后通过解这些方程来求解离心率。
具体步骤通常包括：首先，根据椭圆或双曲线的性质，确定已知条件和需要求解的目标；其次，通过巧妙的构造，引入新的变量，并建立起与离心率相关的齐次方程；接着，利用数学工具如代数法、三角法或几何法等，解出这个齐次方程；最后，根据解出的结果，反推出离心率的值。
这种方法的关键在于如何巧妙地构造齐次方程，以及如何利用已知条件进行有效的求解。通过不断的练习和实践，可以逐渐掌握这种方法的技巧，提高解题效率和准确性。
比值问题，令a=1可快速求解
设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：设，则，则，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，得，
又在椭圆上，所以，即，
整理得，即，
解得或（舍去），所以.
故选：D

1．已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．
思路详解：在中，因,可设，则，
因，则,即，则，
故.由三角形相似可知，因此.
又因，所以.设，则，
故，又中，，
故得，即，从而，
故得，从而离心率为.
故选：B.
2．（2024·湖南长沙·二模）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
思路详解：设椭圆与双曲线相同的焦距为，则，
又，所以，
又点P在第一象限，且在直线上，
所以，又点P在椭圆上，
所以，即，
整理得，两边同时除以，得，
解得，因为，所以，
同理可得点P在双曲线上，所以，即，
解得，
所以，
故选：A.
1．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可.
【详解】设，，，
因为，则，则，解得
又因为，，则为的中点，所以，
则，在直角三角形中，，
即，化简得，
将代入上式得，
则，
化简得，两边同除得，
解得或1（舍去），则.
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转化为齐次方程，解出即可.
2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案.
【详解】由，得，则，则，
则，即，解得，
则，
因为，所以，
即，整理得，
则，解得或，
故或．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案.
【详解】如图，，垂足为，
因为，所以，为的中点，
，，
，
，整理得，
所以，即，
，
，
在中，，在中，，
，
化简整理得，
，解得或，又，.
故选：A.
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量可得，代入运算求解即可.
【详解】因为，
则，
即，可得，
所以C的离心率.
故选：A.
2．（2025·江西·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查双曲线的性质，利用垂直平分线的性质得出，联立两条直线方程求出点的坐标，利用勾股定理建立等式计算出即可求解．
【详解】不妨设渐近线垂直平分线段，
所以．
由解得所以点的坐标为．
由，
得，
所以双曲线的离心率，
故选：A．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】根据已知有且，，联立抛物线与双曲线求交点横坐标，结合的坐标表示得双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】由题设且，，
将代入，则，可得，
所以，又的第一象限，则，
由，则，则，
所以，则，
所以，则，即（负值舍）.
故选：A
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】数形结合，问题转化成，进而利用的关系求离心率的取值范围.
【详解】如图：
因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即，
所以，即，可得.
又椭圆的离心率，所以.
故选：A
5．（2025·广东·一模）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先设点，应用两点间距离公式得出，再分类讨论得出离心率大小关系.
【详解】设，
故，
故带入有，
同理得，
由有，
故，，故，
故答案为：D.
二、多选题
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知圆：，双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线的斜率恰好为该双曲线的离心率，且为直角三角形，则（ ）
A．的值唯一 B．
C． D．的渐近线与共有4个公共点
【答案】ABD
【分析】根据以及双曲线的定义可得，结合齐次式可得，构造函数，利用导数求解单调性可得，即可求解AC，根据点到直线的距离判断渐近线与圆的位置关系即可求解D.
【详解】设直线的倾斜角为，且为锐角，且，
故，
由双曲线定义可得，故，B正确，
故，
因此，
故，平方可得，
由于，
化简求解得，
记，则，
当单调递减，当单调递增，
且，且，，因此，C错误，A正确，
双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，
由于，故，因此的渐近线与相交，故有4个公共点，D正确
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：①，，故，
②构造函数，求导确定函数的单调性可得.
7．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A． B．的面积为
C．的离心率为 D．直线AB的斜率为
【答案】ABD
【分析】对于A，设，利用双曲线的定义，结合图象和条件求出，即可判断A，对于B，利用A项推出的结论，利用面积公式和计算即得；对于C，在中，利用余弦定理推得即可；对于D，在中，利用余弦定理求得，即可求直线AB的斜率.
【详解】
如图，由题意设，连接，
由题可知，所以，且.
对于A，，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理可得，
因，则 ，因，故B正确；
对于C，在中，由余弦定理可得，
所以，即，所以离心率，故C错误；
对于D，由余弦定理，，
因，故，
于是直线AB的斜率为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解题关键在于充分利用双曲线的定义结合条件将焦半径用同一个量表示，为后续利用正余弦定理解题奠定基础.
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】或
【分析】在中，表示出，，，然后利用余弦定理计算求解.
【详解】因为直线的斜率为，所以，．
由，得，所以．
在中，由余弦定理得，
整理得，得，即，
解得或，故椭圆的离心率为或．
故答案为：或.
9．（2024·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可.
【详解】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知，
则为平行四边形，则，即，
因为，则，
在中，由余弦定理可得，即，
解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.
10．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得，根据离心率公式求得，等量关系，即可求解．
【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程，即，
因为其与圆相切，
故可得：①，
又，所以，
因为，所以②，
②代入①得，
则．
故答案为：．
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线的左焦点为，右顶点为，上一点满足，若三角形的边经过，则双曲线的离心率是
【答案】
【分析】求出的坐标后可求离心率.
【详解】设，因为三角形的边经过，故在左支上，
而，故，而，
故，而，
所以，整理得：，
所以，故，
故答案为：
12．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 .
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解.
【详解】当时，点在渐近线上，不合题意；
当时，不妨设，
则，
因为双曲线经过点，
所以，
所以，
因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，
所以，
同理，
因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，
所以，
所以，即，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．（2024·河北邢台·二模）已知A、B是椭圆C：的左右顶点，过的直线l交椭圆C于M、N两点，直线AM与直线BN相交于点P，当最大时，. 设椭圆的离心率为e，则= ．
【答案】
【分析】先证明的横坐标是，然后利用基本不等式求出最大时的坐标，再代入椭圆方程即可求得离心率.
【详解】
先证明：的横坐标是.
设，，直线的方程是，
与椭圆联立得到，代入得.
展开得到，
所以，.
这就得到.
而直线和的方程分别是和，联立得到，
从而
.
故的横坐标是.
设，，则.
当且仅当时等号成立，从而时最大.
不妨设，则，此时，故直线即的斜率，
所以其方程为.
但此时还有，故由，知，从而的方程是.
联立可得.
代入椭圆方程即可得到，得，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将问题分解为三个步骤：的横坐标是；基本不等式；代入椭圆方程得到参数之间的关系，然后再依次解决即可.
14．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】由判断出四边形为平行四边形，由正弦定理，利用可得答案.
【详解】由知，为AB中点，四边形为平行四边形，
由与可知，
在中由正弦定理知，，
在中，有，又因为，
可得，，由，得，
故离心率的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.
15．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】/
【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理可得，即可求得椭圆的离心率.
【详解】如图，的内切圆与三边分别切于点，
若，则，
因为，则，可得，
则，可得，
因为，
即，可得，
又因为，
即，可得，
且，解得，
所以椭圆的离心率是．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
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