资源简介

题型06 7类三角函数与三角恒等变换解题技巧
（三角函数图象与性质、异名三角函数伸缩平移、三角函数ω的取值范围、
拼凑思想的应用、升（降）幂公式、半角公式、辅助角公式）
技法01 三角函数图象与性质的解题技巧
在高考中，三角函数的图象与性质是一个经常被考查的重要知识点，它不仅涉及到函数的基本概念和图象特征，还包括了函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用，需强化练习
解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.
（2024·新Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2024·广东佛山·一模）函数是（ ）
A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2
C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
4．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数和， 下列说法正确的是（ ）
A．和均为周期函数，且是、的周期之一
B．和均为周期函数，且是、的周期之一
C．的值域为
D．对恒成立
技法02 异名三角函数伸缩平移的解题技巧
在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的处理相对容易，而异名三角函数的伸缩平移变换则需要先转换为同名三角函数，随后才能进行相应的伸缩平移变换，难度中等，需要加强练习。
通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦
若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
1．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
2．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4．为了得到的图象，只要把的图象向左平移（ ）个单位长度
A． B． C． D．
技法03 三角函数ω的取值范围解题技巧
在近年来的高考中，三角函数中参数ω的取值范围问题经常以小题的形式出现，解题过程融合了数学运算和逻辑推理等核心素养，因此具有一定的挑战性。我们了解ω决定了三角函数的周期，进而影响到函数在周期内的单调性、对称轴、对称中心、最值、零点等特性。直接的方法是通过整体换元将问题转化为正弦、余弦、正切函数问题，再通过图象的性质列出相关约束条件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相关性质是关键．
整体换元思想
（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11 B．9
C．7 D．5
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
4．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
技法04 拼凑思想的应用及解题技巧
在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”
1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系
2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”
（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知,,且,,则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·三模）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
技法05 升（降）幂公式的应用及解题技巧
在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习
升幂公式：，
降幂公式：，
（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
1．（2024·广东·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山西·模拟预测）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
技法06 半角公式的应用及解题技巧
半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
（2023·新Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
1．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．若，，则（ ）．
A． B． C． D．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C．或 D．
2．已知是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
技法07 辅助角公式的应用及解题技巧
“辅助角公式”又称“化一公式”，是在三角函数中通过对asinx+bcosx型含有正弦和余弦两种函数的式子的化简来将其化为只含有一种三角函数的式子的方法。在高考和模考中通常用于化简、求值、或求参数值及参数函数值，需重点掌握
辅助角公式，，其中，
（全国·高考真题）设当时，函数取得最大值，则 .
1．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则 ．
3．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
1．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知非负实数m，n满足，则的最大值为 ．
3．（2024·四川·模拟预测）中，的最大值为 .
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减
10．（2024·山东青岛·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．在区间单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为
11．（2024·浙江金华·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则在上递增
B．若为奇函数，则
C．若是的极值点，则
D．若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为
13．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．若，则在上单调递减
C．若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D．函数的值域为
14．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题型06 7类三角函数与三角恒等变换解题技巧
（三角函数图象与性质、异名三角函数伸缩平移、三角函数ω的取值范围、
拼凑思想的应用、升（降）幂公式、半角公式、辅助角公式）
技法01 三角函数图象与性质的解题技巧
在高考中，三角函数的图象与性质是一个经常被考查的重要知识点，它不仅涉及到函数的基本概念和图象特征，还包括了函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用，需强化练习
解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.
（2024·新Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
思路点拨：结合三角函数的图象性质求解即可
思路详解：显然，B选项正确；
根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
，由伸缩变换可知AD错误，答案BC
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：由，解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，故选：A.
2．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
思路详解：因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D.
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
2．（2024·广东佛山·一模）函数是（ ）
A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2
C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D.
【详解】定义域为，关于原点对称，
，
所以为偶函数，又，
令，，，
当时，即，有最小值，最小值为，
当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；
因为，所以为周期函数，
因为在上单调递减，在上单调递减，
当，，令，，，在单调递减，在单调递增，
当，，令，，，在单调递减，
由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；
故C，D错误，
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
4．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数和， 下列说法正确的是（ ）
A．和均为周期函数，且是、的周期之一
B．和均为周期函数，且是、的周期之一
C．的值域为
D．对恒成立
【答案】CD
【分析】由周期函数的定义得出不是周期函数，即可判断AB；由周期函数的定义得出是周期为的周期函数，分别求出和时的值域，即可判断C；由正弦和余弦函数的图象及诱导公式即可判断D．
【详解】对于AB，因为为偶函数，但不是周期函数，所以不是周期函数，
例如，，故AB错误；
对于C，因为，周期为，周期为，所以是周期为的周期函数，
所以当时，，
因为，所以，
所以当时，，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，当时，
，
，即，故D正确；
故选：CD．
技法02 异名三角函数伸缩平移的解题技巧
在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的处理相对容易，而异名三角函数的伸缩平移变换则需要先转换为同名三角函数，随后才能进行相应的伸缩平移变换，难度中等，需要加强练习。
通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦
若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
思路点拨：异名化同名求解即可
思路详解：我们可以对平移前进行变换，，从而转化为的变换；
我们同样也对平移后进行变换，，从而转化为的变换，进而求解变换过程
【答案】D
1．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
思路详解：把上的所有点向左平移个单位长度，
得到函数的图象．
故选：B．
2．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
思路详解：，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故选：A
1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动个单位长度，则函数为，于是选A.
3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.
【详解】解：由，
即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.
4．为了得到的图象，只要把的图象向左平移（ ）个单位长度
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若把的图象向左平移个单位长度，
可得，
不合题意，故A错误；
对于选项B：若把的图象向左平移个单位长度，
可得，
符合题意，故B正确；
对于选项C：若把的图象向左平移个单位长度，
可得，
不合题意，故C错误；
对于选项D：若把的图象向左平移个单位长度，
可得，
不合题意，故D错误；
故选：B.
技法03 三角函数ω的取值范围解题技巧
在近年来的高考中，三角函数中参数ω的取值范围问题经常以小题的形式出现，解题过程融合了数学运算和逻辑推理等核心素养，因此具有一定的挑战性。我们了解ω决定了三角函数的周期，进而影响到函数在周期内的单调性、对称轴、对称中心、最值、零点等特性。直接的方法是通过整体换元将问题转化为正弦、余弦、正切函数问题，再通过图象的性质列出相关约束条件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相关性质是关键．
整体换元思想
（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用权方和不等式求解即可
思路详解：法一:由题
，令，，
因为，所以，，
因为在上单调递增，所以且，
得．由，得，
又且，所以，.
故选:C.
法二:由题
，
由，得，
设的最小正周期为T，则由题意得，所以，
从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得.
故选:C.
1．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：当时，，
在上单调递增，，
解得：，又，，
解得：，又，，，
即的取值范围为.
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
3．（全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11 B．9
C．7 D．5
思路详解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据的对称性求出，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，
故，则，，
又在上单调递减，则，
即得，结合，即，
故当时，；当时，；
取其它值时，不合题意，
故的最大值为，
故选：B．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案.
【详解】因为，故时，函数取到最大值，
又，可知为的对称中心，
故，
故；
又在上单调，故，
即，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，
由，得，
由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，满足为的对称中心，
由，得，
由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故
故选：A
【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.
3．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.
【详解】由题意知，
因为为奇函数，所以，
，
因为为偶函数，所以，
相加得，
又因为，所以，
当代入得，即，
代入得，即，即；
当代入得，即，
代入得，即，即；
因为 在上没有最小值，
设，则，所以，的最大值是6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.
4．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可.
【详解】

因为函数的图象关于原点对称，
所以，又因为，所以，
所以；
令，因为，则，即，
的减区间为，
又在区间上是减函数，
所以是区间的子集，
因为，所以，，
只有时区间是由负到正，所以有：
，，解得；
因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，
相当于，在上只有一个最小值，
所以有：，，解得；
综上取交集有：，解得.
故选：D
技法04 拼凑思想的应用及解题技巧
在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”
1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系
2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”
（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：拼凑角度求解即可
思路详解：故，
因此
故选：C
1．（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
思路详解：，
所以，
所以，
故选:C．
2．已知,,且,,则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：因为,
所以,
故,
由,所以,
又,
所以,
故,
所以.
故选：A.
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，
故选：D
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和对和进行转化即可求解.
【详解】由题意，
又，
故，
即
又均为锐角，所以，
故，
故选：D.
3．（2024·山西·三模）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据结合的范围分析可得，，再根据结合的范围分析可得，由结合两角和差公式分析求解.
【详解】因为，则，且，
则，可得，，
又因为，则，且，
可得，，
所以
.
故选：D.
4．已知，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意到，后结合，，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.
【详解】因，则，又，
则，得.
因，则.
又，则，结合，则，得，
则.
又注意到，
则
.
故选：B
技法05 升（降）幂公式的应用及解题技巧
在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习
升幂公式：，
降幂公式：，
（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
思路点拨：用升幂公式求解即可
思路详解：因为，而，因此，
则，
所以.
1．（2024·广东·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：由，可得，
即，即得，
.
故选：B.
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：由得，即，
所以，
故选：D
1．（2024·山西·模拟预测）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先求得，再利用降幂公式和两角差的余弦公式运算求解.
【详解】因为，，所以，所以
.
故选：B.
2．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：将
展开得，
整理得，
即，
所以．
故选：A
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据计算可得.
【详解】由已知得，，
所以，
因为，
所以，，
则，
所以.
故选：.
技法06 半角公式的应用及解题技巧
半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
（2023·新Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
思路点拨：半角公式求解即可
思路详解：为锐角，为锐角，sin ＝=．
故选：D．
1．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
思路详解：由已知及正弦公式得，，
是第三象限角，．
．
故选：A.
2．若，，则（ ）．
A． B． C． D．
思路详解：，所以，又因为，所以，．
故选：B．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据角的范围可确定为二 四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解.
【详解】由题意，得角是第四象限角，则，
故，则为二 四象限角，则，
又因为，
所以（舍去）或，
所以.
故选：B.
2．已知是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.
【详解】因为是锐角，所以，
因为，，
所以，，
所以．
故选：D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.
【详解】由，得
，
，，
，
所以.
故选：A.
技法07 辅助角公式的应用及解题技巧
“辅助角公式”又称“化一公式”，是在三角函数中通过对asinx+bcosx型含有正弦和余弦两种函数的式子的化简来将其化为只含有一种三角函数的式子的方法。在高考和模考中通常用于化简、求值、或求参数值及参数函数值，需重点掌握
辅助角公式，，其中，
（全国·高考真题）设当时，函数取得最大值，则 .
思路点拨：利用辅助角公式解即可
思路详解：f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
1．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
思路详解：[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则 ．
思路详解：由已知，其中，为锐角，
又，其中，，为锐角，
都为锐角，且，因此，
要把的图象向左平移个单位长度得到的图象，则，
，
故答案为：．
3．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
思路详解：
，
令，
所以，
要想有最小值，显然为钝角，即，
于是有，
设，
因为，
所以
令，即，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有最大值，
所以的最小值为，
此时，，
即存在，显然存在，使得，
即的最小值为，
故答案为：
1．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知非负实数m，n满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】将原式化简后可得，可借助三角换元令，，则可结合辅助角公式得到，再结合的范围与的值可得当，时，取得最大值.
【详解】由，得，
令，，又m，n为非负实数，所以，，
又，所以，即，
所以，解得，所以．
所以，
其中，，
当，即，所以，即，
又在上单调递减，所以当时，取得最小值，
故当，时，取得最大值，
最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角换元，从而将多变量问题转化为单变量问题.
3．（2024·四川·模拟预测）中，的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果.
【详解】令
，其中，
则，设，，
显然，有，则只需考虑在上的最大值，
求导得，
令，得，则且，
当时，，当时，，
则当时，函数取得极大值，即为最大值，.
所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用三角形内角和定理、诱导公式及辅助角公式化成关于角的函数，是求出最大值的关键.
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】利用三角函数伸缩平移的性质即可得解.
【详解】要得到函数的图象，
需先将函数的图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
从而得到，从而排除BD；
对于A，再向右平行移动个单位长度，
得，显然不满足题意，故A错误；
对于C，再向左平行移动个单位长度，
得，故C正确.
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
又由知
又因为，所以.
故选：B.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，再由的单调性，求得，利用两角差的余弦公式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由与均为锐角，且，所以，
因为，可得，，
又因为在上单调递减，且，所以，
因为，所以，
所以，
则.
故选：A.
4．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
【答案】D
【分析】A项，化简函数求出，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出的取值范围；D项，计算出时的范围，即可得出值域.
【详解】由题意，
在中，
，
A项，，A正确；
B项，令, 得,
当时,,
所以的图象关于点 对称,故B正确;
C项，是偶函数，
∴, ，
解得：, 故C正确；
D项, 当 时, ,
所以,
所以在区间上的值域为，故D错误.
故选：D.
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
6．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.
【详解】∵，即，
∴或，，
∴或，，
∵，即，
∴当时，且，即所有根都小于零，
当时，且，即所有根都大于，
综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.
由于上述4个值是依次从小到大排列，且，
故有两种情况，分别为：
，解得，故，
或，解得，故，
故或，即.
故选：D．
7．已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意的最小正周期为T，则，
又，可得，即，
又，所以，
在区间上恰有3个零点，
当时，，
结合函数的图象如图所示：

则在原点右侧的零点依次为，，，，…，
所以，解得，即的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
8．已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据在区间上单调求得，再结合零点和对称轴得，即可得，最后根据对称轴得，结合，求解验证即可.
【详解】
因为的最小正周期，且在区间上单调，所以，
又，故①；
又因为为的零点，是的图象的对称轴，
所以（），整理，得（）②.
由①②得且为奇数，当时，将代入，
令（），得，
又，故取，得，此时（）.
验证当时，，满足在区间上单调递减.
故实数的最大值为，此时.
故选：B
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减
【答案】B
【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称性的定义判断BC；利用导数判断在区间内单调性，进而判断D.
【详解】法一：（排除法）因为，
，
即，所以不是的一个周期，故A错误；
且，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
又因为，
即，所以在区间内不单调递减，故D错误；
法二：A：因为
即，所以不是的一个周期，故A错误；
B：因为，
即，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
C：因为，
即，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
D：因为
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间内不单调递减，故D错误；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：对于复杂的函数性质问题，可以通过举反例的形式说明其错误，这样可以简化计算和推理.
10．（2024·山东青岛·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．在区间单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【分析】利用符合函数的单调性判断A，计算出即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判断C，求出函数在上的单调性，即可画出函数在区间的图象，结合图象分类讨论，即可判断D.
【详解】对于A：当时，
所以，
因为在上单调递增，又，
所以，
因为，即，所以，即，
所以，所以，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误；
对于B：因为，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：因为，
令，则，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，又，，，
所以，所以的值域为，故C正确；
对于D：当时，所以，
由A选项可令且，
则当时单调递增，
令，即时在上单调递增，且，
所以在上单调递减，
又，令，即时在上单调递减，且，
所以在上单调递增，
当，即时在上单调递减，且，
所以在上单调递减，
又，，，
所以在上的函数图象如下所示：
由图可知：
①当时与有且仅有一个交点，
即关于的方程在区间的实数根为；
②当或时与有两个交点，
即关于的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称，
所以两根之和为；
③当时与有四个交点，
即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且，
所以与关于对称，与关于对称，
所以；
④当或时与无交点，
即关于的方程在区间无实数根；
综上可得，若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.
11．（2024·浙江金华·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】先将化简，再逐项分析答案即可.
【详解】因为的定义域为，所以，
又因为
，
所以为偶函数，故A正确；
的最小正周期为，故B正确；
因为，所以没有最大值；
当时，，故D正确.
故选：ABD
12．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则在上递增
B．若为奇函数，则
C．若是的极值点，则
D．若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为
【答案】BCD
【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A；由奇函数即可判断B；根据已知条件计算出即可判断C；由已知求出范围，即可判断D．
【详解】对于A，，当时，，
因为时单调递减，时，单调递增，故A错误；
对于B，若为奇函数，则，则，又，所以，故B正确；
对于C，当时，，则，
又是的极值点，所以，即，又，则，经检验为的极值点，
故，故C正确；
对于D，由和都是的零点得，，
两式相减得，
由在上具有单调性且和都是的零点得，，
解得，所以的取值集合为，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D选项中求的范围，一是根据和是的零点得出，二是结合在具有单调性，即区间左端点为零点，得出.
13．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．若，则在上单调递减
C．若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D．函数的值域为
【答案】AC
【分析】化简，根据的值域可判断A；求出的范围，根据的单调性可判断B；在上恰有3个零点得，求出的范围可判断C；求出，利用三角函数的值域可判断D．
【详解】
，
选项A：因为，所以，的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，由得，
所以在上单调递增，故B错误；
选项C：由得，若在上恰有3个零点，
则，得，故C正确；
选项D：因为，所以，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于化简，再将正弦型函数的性质转化为正弦函数的性质进行求解.
14．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据对称轴得到解析式.根据图像平移判断A选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角的三角函数值，得到B选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD两个选项进行判断.
【详解】因为函数图象的一条对称轴为直线，所以，得，因为，所以，从而.
选项A：将的图象向左平移个单位长度得到
而，所以平移后得不到函数的图象，故A错误.
选项B：令，即，所以，故B正确.
选项C：由，令，根据正弦函数单调性知在上单调递增，在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，在上单调递减，故C错误.
选项D：由得，区间长度为.
根据正弦函数图象和性质，当区间关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，为;
当区间关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将看成一个整体，根据的范围得到的范围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质.
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【详解】，
对于，根据条件，可得，故A错误；
对于，当时，，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，
为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.
故选：BD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑