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2025年小升初数学奥数专项训练（人教版）
19 立体图形
一、填空题
1．将一个圆锥按照图①平行于底面进行切割，切面是两个完全相同的　 　，它比圆锥的底面　 　(填“大”或“小”)。
2．用4个同样的正方体拼成一个长方体（如图），表面积减少了32cm2，每个小正方体的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。
3．把三个棱长为2dm的正方体拼成一个长方体，表面积会减少　 　dm2，这个长方体的体积是　 　dm3，表面积是　 　dm2。
4．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等。已知圆锥的底面积是 圆柱的底面积是　 　cm2。
5．一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，高的比是4：3，体积比是　 　。
6．一个正方体密封盒的棱长是6厘米，在盒内放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是　 　平方厘米；如果放入一个最大的圆锥，圆锥的体积是　 　立方厘米。
7．如图所示，把底面直径10厘米，侧面积62.8平方厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米。
8． 把一个圆柱的底面等分成若干扇形，然后把这个圆柱按扇形切开（如下图）。切开后的这些小块可以拼成一个近似的　 　，它的底面积等于圆柱的　 　，它的高等于圆柱的　 　，它的体积　 　（填“大于”“等于”或“小于”）圆柱的体积，它的表面积　 　（填“大于”“等于”或“小于”）圆柱的表面积。

9．圆柱和圆锥底面周长的比是4：3，体积的比是6：5，那么圆锥和圆柱高的比是　 　。
二、单选题
10．下面的图形中，不能折成正方体的是（　　）。
A． B． C． D．
11．下面选项中，（　　）是 圆柱的展开图。（单位：cm）
A．
B．
C．
12．一个高为4cm的圆锥，沿高切开，表面积增加了，这个圆锥的体积是（　　）。
A．3π B．12π C．48π
13．将一块铁块完全漫设在一个长是5cm，宽是2 cm，高是6 cm的长方体玻璃容器中（水未溢出） ，水面会上升2 cm，这块铁块的体积是（　　）cm3。
A．20 B．30 C．40 D．60
14．（比的应用）已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径的比是2：3，那么它们的体积比是（　　）。
A．2：3 B．4：9 C．4：3 D．2：9
15．如图，阴影部分的面积与正方形的面积比是5：12，正方形的边长是6cm，如果把阴影部分以AD所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是（　　）cm3。
A．47.1 B．301.44 C．100.48 D．157
16．（圆柱和圆锥的体积）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是3：2，体积比是3：2，那么这个圆柱和这个圆锥高的比是（　　）。
A．3：2 B．4：9 C．2：3 D．2：9
17．下面的展开图能组成正方形的是（　　）
A． B． C． D．
18．有圆柱与圆锥各一个，圆柱与圆锥底面直径的比是2：3，圆柱与圆锥高的比是4：3，圆锥的体积是5.4立方米，圆柱的体积是（　　）立方米。
A．3.2 B．4.8 C．9.6 D．14.4
三、判断题
19．体积相等的两个圆柱一定等高等底。（　　）
20．圆柱和圆锥都只有一条高。（　　）
21．长26cm，宽18cm，高0.6cm的物体可能是一张身份证。(　　)
22．用 7 个体积为 1 立方厘米的小正方体搭成不同的立体图形的体积都相等。（　　）
23．从上面看到是正方形的物体一定是正方体．（　　）
四、按要求完成下列各题
24．小东利用两种方法测量石块的体积。
方法一：利用盛水的容器。
方法二：利用橡皮泥。
（1）这两种方法相同的地方是：　 　。
（2）请选择你喜欢的一种方法计算这块石块的体积。(π取3)
25．(易错题)为测量一个不规则铁块的体积，聪聪做了下面的实验。
①量出这个铁块的质量约重592克；
②测量 出圆柱形容器的底面半径是4厘米；
③测量出圓柱形容器的高是9厘米；
④在容器里注入水后，量出水面高度是6厘米；
⑤将铁块全部浸没在水中，量出水面高度是7.5厘米。
（1）要求出这个铁块的体积，上面的实验信息中必须要的是　 　(写序号)。
（2）请根据选出的信息，求出这个铁块的体积。
提示：注意选择合适的条件解决问题哟！
26．如图所示，一个高为厘米，上底为厘米，下底为3厘米的直角梯形，绕着高为轴旋转一周，得到一个立体图形，计算该立体图形的体积。（圆周率用π表示，不取近似值）
27．如图，在密闭的容器(高15cm)中装有一些水，如果将这个容器倒过来，这时水面距底部的高度是多少厘米？
28．一个圆柱形木桶，底面直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。
（1）这个木桶如右图放置时，最多能装多少水？
（2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？
29．蒙古包是蒙古族最有特色的房屋样式。它是一种蒙古族人为适应生存环境而建造出的房屋样式。如图的蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。下层圆柱部分底面直径是6米，高是2米，上层圆锥部分的高是1米，这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度不计）
30．把一个装有351.68mL水的瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。已知这个瓶子的容积是1256mL，现在把这个瓶子正放过来，水的高度是多少cm？
31．为了测量一个西红柿的体积，丹丹在家进行了如下实验。第一步：准备了一个正方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸的棱长是10厘米；第二步：往玻璃缸中倒入了6厘米深的水；第三步：把这个西红柿放入玻璃缸中，测出现在水面高7.8厘米。请你根据丹丹的实验，算出这个西红柿的体积。
答案解析部分
1．圆；小
解：切面是两个完全相同的圆，它比圆锥的底面小。
故答案为：圆；小。
平行于底面切割圆锥，越向下切面的面积越大。
2．24；8
解：设小正方体的边长为a，
解得：，a = 2cm。
表面积 =，体积 =
故答案为：24；8
如图2×2排列：表面积减少2×4＝8个面，题目已给出表面积减少了，设小正方体的边长为a，8×小正方形的面积=表面积的减少量。据此列方程式解答即可。
正方体的表面积=6×正方体的边长×正方体的边长。正方体的体积=正方体的边长×正方体的边长×正方体的边长。
3．16；24；56
减少面积：2×2×4=16（平方分米）；
长方体体积：2×2×2×3=24（立方分米）
长方体表面积：2×2×6×3-16=56（平方分米）。
故答案为：16；24；56.
正方体拼成长方体，表面积减少了重叠面积，每拼一次减少2个面，3个正方体拼成长方体拼2次减少4个面。正方体拼成长方体，长方体的体积等=3个正方体体积之和，长方体的表面积=3个正方体的表面积之和减去减少的面积。
4．3π
5．4：1
解：假设圆柱和圆锥底面积为S， 圆柱体和圆锥体的高分别为4h和3h。
圆柱的体积：S×4h=4Sh，圆锥的体积：×S×3h=Sh。
体积比为：4Sh∶Sh=4∶1。
故答案为：4∶1。
解答此题可以用假设法，根据圆柱的体积公式：V=Sh，圆锥的体积公式：V=Sh，求出体积然后写出比并化简比即可。
6．113.04；56.52
解：圆柱的侧面积：
3.14×6×6
＝18.84×6
＝113.04（平方厘米）；
圆锥的体积：
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14×9×6
＝3.14×18
＝56.52（立方厘米）；
故答案为：113.04；56.52。
由题意可知，把正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
7．78.5；157
解：底面周长：3.14×10=31.4（厘米）
圆柱的高：62.8÷31.4=2（厘米）
底面半径：10÷2=5（厘米）
长方体的底面积：3.14×5×5=78.5（平方厘米）
长方体的体积：78.5×2=157（立方厘米）
故答案为：78.5；157。
底面直径÷2=底面半径；π×底面直径=底面周长；侧面积÷底面周长=圆柱的高；
长方体的底面积=圆柱的底面积=π×半径的平方；长方体的体积=圆柱的体积=底面积×高。
8．长方体；底面积；高；等于；大于
解：切开后的这些小块可以拼成一个近似的长方体，它的底面积等于圆柱的底面积，它的高等于圆柱的高，它的体积等于圆柱的体积，它的表面积大于圆柱的表面积；
故答案为：长方体；底面积；高；等于；大于。
把圆柱的底面分成若干份相等的小扇形，可以把圆柱切开后拼成一个近似的长方体，它的底面积等于圆柱的底面积，它的高等于圆柱的高，由于体积是物体所占空间的大小，因此，将圆柱切割并重新组合成长方体后，其体积不变，然而，由于切割过程中增加了新的表面，因此，长方体的表面积大于原来的圆柱。
9．40：9
解：设圆柱的底面半径是4，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是6，则圆锥的体积是5。
[5÷（×π×32）]：[6÷（π×42）]
=：
=40：9。
故答案为：40：9。
设圆柱的底面半径是4，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是6，则圆锥的体积是5。圆锥的高=体积÷（×底面积）；圆柱的高=圆柱的体积÷底面积；写出比后化简比。
10．D
解：不能折成正方体。
故答案为：D。
正方体的展开图情况：
11．B
解：A项中，5×3.14=15.7（cm），所以不是圆柱的展开图；
B项中，5×3.14=15.7（cm），所以是圆柱的展开图；
C项中，3×3.14=9.42（cm），所以不是圆柱的展开图。
故答案为：B。
圆柱的侧面积展开图的长=圆柱的底面周长=直径×π，据此作答即可。
12．B
24÷2=12（平方厘米）
12×2÷4=6（厘米）
××（6÷2）2×4=12（）
故答案为：B。
这里涉及沿着圆锥的高切开的横切面，是两个相同的等腰三角形，并且三角形的高和圆锥的相等，底和圆锥底面积直径相等。增加的底面积是两个三角形一起的面积，所以还要除以2求出一个三角形的面积，再根据三角形的面积公式求出圆锥的底面直径，最后就可以求出圆锥的体积。
13．A
解：5×2×2=20（立方厘米）
故答案为：A。
长方体玻璃容器的长×宽×水面上升的高度=这块铁块的体积。
14．C
圆柱的高和圆锥的高相等，
=4：3
故答案为：C
根据圆柱的体积公式：V= πr2h，圆锥的体积公式：V=r2，设圆柱和圆锥的高为h，圆柱的底面半径为2r，圆锥的底面半径为3r，把数据代入公式分别求出它们的体积，进而求出它们体积的比。
15．D
解：S阴影=6×6×
=36×
=15（cm2）
15×2÷6
=30÷6
=5（cm）
V=×3.14×52×6
=×3.14×25×6
=×3.14×150
=×471
=157（cm3）
故答案为：D。
已知正方形的边长，首先根据正方形面积=边长×边长计算得出正方形的面积为6×6=36（cm2），再根据阴影部分的面积与正方形的面积比是5：12，计算得出阴影部分面积为36×=15（cm2），即三角形的面积，然后根据三角形面积=底×高÷2，计算得出DE的长度为15×2÷6=5（cm），最后根据圆锥的体积=×3.14×半径2×高，计算即可得出答案。
16．D
解：周长比是3：2，半径比为3：2，底面面积比为9：4。
因为圆柱和圆锥的体积比是3：2
故答案为：D
根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是3，则圆锥的底面半径是2，设圆柱的体积是3，则圆锥的体积是2，再根据圆柱的体积公式V =sh=πr2h与圆锥的体积公式V=sh=πr2h，得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可.
17．A
解：图A属于正方体展开图的2﹣3﹣1型，能够折成一个正方体；
图B、图C和图D都不是正方体展开图，所以不能折成正方体．
故选：A．
根据正方体展开图的11种特征可知，图A属于正方体展开图的2﹣3﹣1型，图B、图C和图D都不属于正方体展开图的11种结构，据此解答．本题主要是考查正方体展开图的特征，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1 4 1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“222”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3 3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“132”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
18．C
解：设圆柱的底面半径为2r，圆锥的底面半径为3r，圆柱的高为4h，圆锥的高为3h。
圆柱的体积为：π×(2r)2×4h=16πr2h（立方米）。
圆锥的体积为：×π×(3r)2×3h=9πr2h（立方米）。
圆柱体积是圆锥体积的比例为：(16πr2h)÷(9πr2h)=
5.4× =9.6（立方米）。
故答案为：C。
首先，我们设定未知数，分别表示圆柱和圆锥的底面半径和高。然后，根据题目中给出的比例关系，我们可以用一个未知数表示其他未知数。接着，我们利用圆柱和圆锥的体积公式，分别计算出圆柱和圆锥的体积。之后，我们通过比较圆柱和圆锥的体积，得到圆柱体积是圆锥体积的比例。最后，根据题目中给出的圆锥体积和圆柱体积是圆锥体积的比例，我们可以计算出圆柱的体积。
19．错误
解：体积相等的两个圆柱不一定等高等底。原题说法错误。
故答案为：错误。
圆柱的体积=底面积×高，体积相等的两个圆柱，只能说明底面积和高的乘积相等，不一定等底等高。
20．错误
解：圆柱的高有无数条，圆锥有1条高。
故答案为：错误。
圆柱的上、下底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱的高有无数条；从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥的高有1条。
21．错误
解：长26cm，宽18cm，高0.6cm的物体比一张身份证的体积大，所以原题干说法错误。
故答案为：错误。
根据实际生活经验以及题干中的具体数据来进行判断。
22．正确
解：用 7 个体积为 1 立方厘米的小正方体搭成不同的立体图形的体积都相等。原题说法正确。
故答案为：正确。
无论怎样搭，搭成的立体图形的体积都是这7个小正方体的体积之和。所以体积都相等。
23．错误
长方体的物体从上面看到的也可以是正方形，所以从上面看到是正方形的物体不一定是正方体，原题说法错误。
故答案为：错误。
此题主要考查了长方体和正方体的特征，长方体的特征：6个面都是长方形，特殊情况下可能有两个相对的面是正方形；正方体的特征：6个面是完全相等的正方形；据此判断。
24．（1）运用了转化思想，把石块的体积转化成了规则图形的体积
（2）方法一：
方法二：8×4×6-8×2×6=96(cm3)
答：这块石块的体积是96cm3。
25．（1）②④⑤
（2）解：3.14×42 ×(7.5-6)
=50.24×1.5
=75.36(立方厘米)
答：这个铁块的体积为75.36立方厘米。
解：（1）需要知道底面积和水上升的高度，因此选择②④⑤；
故答案为： （1）②④⑤。
（1）根据题意可知，上升的水的体积等于这个铁块的体积，上升的这部分水是一个圆柱；
（2）铁块的体积=底面积×水面上升的高度，其中底面积=πr2，代入数据即可。
26．解：
（立方厘米）
答：该立体图形的体积是π立方厘米。
根据图形按线旋转特征可知，该图形旋转后形成的是立体图形圆台，圆台的体积=h（r2＋R2＋rR），梯形的高为圆台的高，梯形的上底为小圆半径r，下底为大圆半径R。
27．
28．（1）解：4÷2=2（分米）
3.14×22×5
=12.56×5
=62.8（立方分米）
62.8立方分米=62.8升
答：最多能装水62.8升。
（2）解：3.14×22＋3.14×4×7
=12.56＋87.92
=100.48（平方分米）
答：装满水后，水跟桶的接触面积是100.48平方分米。
（1）最多能装水的体积=π×半径2×桶口距底面最小高度；
（2）装满水后，水跟桶的接触面积=底面积＋底面周长×高。
29．解：3.14×（6÷2）2×2+ ×3.14×（6÷2）2×1
＝56.52+9.42
＝65.94（立方米）
答：这个蒙古包的容积大约是65.94立方米。
π×底面半径的平方×高=圆柱的体积；π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积；圆柱的体积+圆锥的体积=这个蒙古包的容积。
30．解：1256-351.68=904.32（mL）
904.32÷18=50.24（平方厘米）
351.68÷50.24=7（厘米）
答：水的高度是7厘米。
空白部分的体积=这个瓶子的容积-水的体积，那么瓶子的底面积=倒置的空白部分的面积÷倒置的空白部分的高，所以正放水的高度=水的体积÷瓶子的底面积，据此代入数值作答即可。
31．解：10×10×（7.8-6）
=10×10×1.8
=100×1.8
=180（立方厘米）
答：这个西红柿的体积是180立方厘米。
这个西红柿的体积=容器的棱长×棱长×（放入西红柿后水面的高度-放入西红柿前水面的高度）。

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