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中考复习——初中数学“折叠问题模型”小专题
模型一：折痕过对角线
1．如图,把一张长方形的纸沿对角线折叠,C点对应点,AD与的交点为E,以下相关结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2．如图,将一张长方形纸片沿对角线折叠后,点C落在点E处,交于点F,再将沿折叠后,点E落在点G处.若刚好平分,则的度数为( )
A. B. C. D.
3．如图，在长方形ABCD中，，，，，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求DE的长.
4．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.
（1）求证：；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由.
5．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
模型二：折痕过一顶点
6．如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE,若AB的长为2,则FM的长为( )
A.2 B. C. D.1
7．如图,在矩形ABCD中,,,点E为BC上一点,把沿DE翻折,点C恰好落在AB边上的F处,则CE的长是( )
A.1 B. C. D.
8．如图，在中，，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为( )
A. B. C. D.
9．如图的三角形纸片中，，，.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求的周长.
10．如图所示,在长方形中,,,若将长方形沿折叠,使点D落在边上的点F处,求线段的长.
11．如图，将矩形纸片ABCD（）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E.
（1）求证：；
（2）若，，求BE的长；
12．如图，在中，D是BC边上的一点，，，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点F.
（1）求和的度数；
（2）若，问：吗，请说明理由.
13．综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.矩形纸片中，，.
操作探究：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点落在边上，展开后折痕交于点E.
(1)的度数为______.
(2)求线段的长度.
拓展延伸：
(3)如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点落在上，展开后折痕交于点F，连接.请判断的形状并说明理由.
14．如图,四边形ABCD中,,,点E是AD的中点,连接BE,将沿BE折叠后得到,且点G在四边形ABCD内部,延长BG交DC于点F,连接EF.
（1）求证:;
（2）求证:;
（3）若点F是CD的中点,,求CD的长.
模型三：折痕过两边
15．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
16．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为( )
A. B.3 C. D.
17．如图,将直角边,的直角纸片折叠,使点B与点A重合,折痕为,则等于( )
A. B. C. D.
18．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边，上.连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处.则的值是( )
A.2 B. C. D.
19．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角.
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形.
20．如图,将长方形纸片沿折叠,使C、A两点重合.点D落在点G处.已知,.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长.
21．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
（1）请写出图中一对全等的三角形；
（2）若，，求折痕MN的长.
22．如图，将的一角折叠，使点C落在内点处.
（1）若，，求的度数；
（2）结合第（1）问，求出，与之间的数量关系，并说明理由.
参考答案
模型一：折痕过对角线
1．答案：A
解析：四边形是长方形,
,
,
根据折叠可得,
,
故选项B正确,不合题意；
四边形是长方莆,
,
,
,
在和中,
,
,
,,
故选项C、D正确,不合题意.
从现有条件无法得出,
故选项A不一定成立,符合题意,
故选：A.
2．答案：A
解析：由折叠可知,.
因为平分,
所以,
所以,
所以,.
因为,
所以.
所以.
故选A.
3．答案：（1）是直角三角形，理由见解析
（2）
解析：（1）是直角三角形，
四边形ABCD是矩形，
，
将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，
，
是直角三角形；
（2）将矩形纸片沿CD折叠，使点A落在点E处，
，
四边形ABCD是矩形，，
，
.
4.
（1）答案：见解析
解析：由折叠可知，，.
在矩形ABCD中，，.
，.
，
.
（2）答案：四边形BMDF是菱形
解析：四边形BMDF是菱形.
理由：由折叠可知：，.
由（1）知，
.
.
四边形BMDF是菱形.
5．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则，，
在和中，
.
（2）解：，
.
四边形ABCD是矩形，
，
.
，
.
模型二：折痕过一顶点
6．答案：B
解析：将诶：∵四边形ABCD为正方形,,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,
∴,
过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,
∴,
则在中,,
故选B.
7．答案：D
解析：设,则,
由折叠性质可知,
,
在中,,,
∴,
∴,
在中,,
即,
解得,
故选：D.
8．答案：C
解析：在中，，，，
，
将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，
，，，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
，
故选：C.
9．答案：
解析：由题意得，
，.
，.
.
即的周长为.
10．答案：
解析：四边形是长方形,
,,,
由轴对称的性质,可得：
,,
在中,根据勾股定理,可得：
,
,
设,
则,
在中,根据勾股定理,可得：
,
即：,
解得：,
线段的长是.
11．答案：（1）见解析
（2）2
解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，
根据折叠性质知，，
，
，
；
（2）由折叠性质知，，
，
，
，
.
12．答案：（1），
（2），理由见解析
解析：（1）由折叠前后对应角相等可知，，
，
，
在中，由三角形内角和定理可知，
，
，
由折叠前后对应的角相等可知，，
；
（2），理由如下：
沿AD折叠得到，
，
，
，
，
.
13．答案：(1)
(2)
(3)等腰直角三角形，证明见解析
解析：（1）∵由题意可得，
∵矩形纸片中，，
∴
∴
∴，
故答案为：45°；
（2）∵矩形纸片中，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（3）∵
∴
由折叠的性质可得，，
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∴，即
又∵
∴
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形.
14．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析:（1）证明:将沿BE折叠后得到,
,
,,
,
,
,
,
在和中,
,
;
（2）证明:由折叠性质可得,,
,,
四边形ABCD是矩形,
,
.
（3）解:由折叠可知,
由（1）知,
,
又,,,
,,
,
,
,
.
模型三：折痕过两边
15．答案：B
解析：由对折可得，，，
，，
，
故选：B.
16．答案：A
解析：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A.
17．答案：B
解析：设,则,
是沿直线翻折而成,
,
是直角三角形,
,
即,
解得.
故选：B.
18．答案：A
解析：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)如图：∵,据题意可得：,
∴,
又∵,
∴.
(2)证明：∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,即是等腰三角形.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：由折叠性质可知.
,
.
.
是等腰三角形.
(2)设,由折叠可知.
,
.
在中,由勾股定理得,
.
解得.
由(1)得,
.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：理由如下：
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可得：，，，
，，
，
，
在和中，
，
.
过点N作于点P.
设，则.
在中，由，得，
解得：，
，
四边形是矩形
，，
，，
，
，
，
，，
.
22．答案：（1）
（2）.理由见解析
解析：（1）是由折叠而成的，
，，.
又，，
.
四边形的内角和为，
，
.
（2）.
理由：结合（1）可知.
又四边形的内角和为，
.
，.

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