资源简介

内蒙古自治区通辽市第一中学 2024-2025 学年高二（上）期末考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 服从两点分布，若 ( = 0) = 5 ( = 1)，则 ( = 1) =( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 5 4 3
2.从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有( )种．
A. 6 B. 15 C. 30 D. 42
3.已知随机变量 = 3 + 2，且 ( ) = 18，则 ( ) =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.已知三个随机变量的正态密度函数 ( )( ∈ , = 1,2,3)的图象如图所示，则( )
A. 1 < 2 = 3, 1 = 2 > 3 B. 1 > 2 = 3, 1 = 2 < 3
C. 1 = 2 < 3, 1 < 2 = 3 D. 1 < 2 = 3, 1 = 2 < 3
5.如图，在四面体 中 = , = , = ，点 为线段 上靠近点 的三等分点， 为 的中点，
则 =( )
1 3 1 1 2 1
A. + B. +
2 4 2 2 3 2
2 1 1 3 1 1C. + + D. + +
3 2 2 4 2 2
6.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数 1 2 3 4 5”(满足 1 >
2 > 3 < 4 < 5)，则这样的“五位凹数”的个数为( )
A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个
第 1 页，共 10 页

7.已知( 2 3 ) (其中 > 0)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为( )
√
A. 43 B. 43 C. 27 D. 27
2 2
8.设直线 = 与双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)相交于 , 两点， 为 上不同于 , 的一点，直线
, 的斜率分别为 1, 2，若 的离心率为√ 2，则 1 2 =( )
A. 3 B. 1 C. 2 D. √ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若一个以(2, 4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A. 直线 = 0与圆相切
B. 圆关于直线 = 2 对称
C. 对 ∈ ，直线 2 1 = 0与圆都相交
D. ( , )为圆上任意一点，则√ ( + 1)2 + 2的最大值为9
10.高二年级早读时间是7时10分，甲同学每天早上上学有三种方式：步行，骑自行车或乘出租车，概率分
1 1 1
别为0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，骑自行车或乘出租车时，迟到的概率分别为 , , ，那么以下正确的
3 4 12 ．．
是( )
A. 甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学是互斥事件
B. 甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学相互独立
7
C. 甲同学迟到的概率是
30
4
D. 若已经知道他今早迟到了，则他今早是步行上学的概率为
13
11.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨
辉三角”，下列叙述正确的是( )
A. 2 2 2 23 + 4 + 5 + + 9 = 120
B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
第 2 页，共 10 页
C. 记第 行的第 个数为 ，则∑
+1 1
=1 2 = 3
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8: 13
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
9
12.已知随机变量 (3, )，若 ( ) + ( ) = ，则 ( ≥ 1) = ．
4
2
13.已知 , 分别为双曲线 2

= 1右支与渐近线上的动点， 为左焦点，则| | + | |的最小值为 ．
4
14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2,3,4,5时得1分，当点
数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为 ，
则随机变量 的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为 分的概率为 ，则当 取最大值时 的值
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业
的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长(小时) [0,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4]
人数(人) 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响．
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 人可以在2小时内完成
各科作业，求 的分布列和数学期望；
(3)从该校高三学生(学生人数较多)中随机选取3人，其中共有 人可以在3小时内完成各科作业，求 ( )．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = = √ 2， 是等边三角形， 为
的中点， 为 的中点．
第 3 页，共 10 页
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知点 是抛物线 2 = 16 上的动点，过 向 轴作垂线段，垂足为 ，记垂线段 的中点为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
5
(2)过点 (1,0)作直线 与点 的轨迹交于 ， 两点，且 的面积为 ( 为坐标原点)，求直线 的方程．
2
18.(本小题12分)
近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利
用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，
将他们的成绩分成以下6组：[40,50), [50,60)，[60,70), , [90,100]，统计结果如下面的频数分布表所示．
组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这
4人中至少有2人来自前2组的概率．
(2)高一学生的这次化学成绩 (单位：分)近似地服从正态分布 ( , 2)，其中 近似为样本平均数 ， 近似
为样本的标准差 ，并已求得 = 14.31.且这次测试恰有2万名学生参加．
( )试估计这些学生这次化学成绩在区间(56.19,99.12]内的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表)；
( )为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在(56.19,84.81]内的
学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送
的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545．
19.(本小题12分)
2
已知 1、 2分别为椭圆 : +
2 = 1的左、右焦点， 为 上的一点．
4
第 4 页，共 10 页
(1)若点 的坐标为(1, )( > 0)，求△ 1 2的面积；
3
(2)若点 的坐标为(0,1)，且直线 = ( ∈ )与 交于不同的两点 、 ，求证： 为定值，并
5
求出该定值；
(3)如图，设点 的坐标为( , )，过坐标原点 作圆 : ( )2 + ( )2 = 2(其中 为定值，0 < < 1且
| | ≠ )的两条切线，分别交 于点 ， ，直线 ， 的斜率分别记为 1， 2.如果 1 2为定值，求| | | |
的最大值，
第 5 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
7
12.【答案】
8
13.【答案】4
10
14.【答案】 ； ； ；
3
；84或82
15【. 答案】解：(1)设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件 ，
3+4+33 2
则 ( ) = = ．
100 5
(2)样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有3 + 4 = 7(人)，
其中可以在2小时内完成的有3人， 的所有可能取值为0，1，2，3．
3 4 1 2 2 1 3
( = 0) = 4 = ， ( = 1) = 3 4
18 12 1
3 = ， ( = 2) =
3 4 = ， ( = 3) = 3 = ，
7 35
3
7 35
3
7 35
3
7 35
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
4 18 12 1

35 35 35 35
4 18 12 1 9
∴ ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = ．
35 35 35 35 7
2
(3)由题意得， (3, )，
5
2 6
∴ ( ) = 3 × = ．
5 5
第 6 页，共 10 页
16.【答案】解：(1) 是等边三角形， 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)连接 ，因为 ⊥ ， = = √ 2，所以 ⊥ ，
以 为坐标原点，分别以 , , 为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1
由题设得 (0, 1,0)， (0,1,0)， (0,0,√ 3)， (1,0,0)， ( , , 0)，
2 2
则
1 3
= (0,1, √ 3)， = ( , , 0)， = (0,1, √ 3)
2 2

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0 ,
= 0
+ √ 3 = 0
即{1 3 ，可取 = (3√ 3, √ 3, 1)，
+ = 0
2 2
设直线 与平面 所成角为 ，
| |
| √ 3 √ 3| √ 93sin = |cos < , >| = = = ，
| | | | 2×√ 31 31
√ 93
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
31
17.【答案】解：(1)设 的坐标为( , )，则 的坐标为( , 2 )
又 点在抛物线 2 = 16 上，故(2 )2 = 16 即 2 = 4
(2)设直线 的方程为 = + 1, ( 1, 1), ( 2, 2)，
第 7 页，共 10 页
2 = 4
联立方程组{ 得： 2 4 4 = 0，有 = 16 2 + 16 > 0，
= + 1
则 1 + 2 = 4 , 1 2 = 4，
1 1
2 = | || 2 1
2| = √ ( + ) 4 2 1 2 1 2
1 5
= √ 16 2 + 16 =
2 2
3
解得： = ±
4
3 4
所以直线 的方程为 = ± + 1，即： = ± ( 1)
4 3
9 1
18.【答案】解：(1)因为抽样比 = ，
20+30+40 10
1 1
所以[40,50)抽取20 × = 2人，[50,60)抽取30 × = 3人，
10 10
1
[60,70)抽取40 × = 4人.
10
设事件 ：这4人中至少有2人来自前2组，
4+ 3 14 4 5 5 ( ) = 1 4 = ． 9 6
20 30 40 60 30 20
(2) = = 45 × + 55 × + 65 × + 75 × + 85 × + 95 × = 70.5，
200 200 200 200 200 200
所以 = 56.19， + = 84.81， + 2 = 99.12， 2 = 41.88．
所以 (56.19 < ≤ 99.12) = ( < ≤ + 2 )
1 1
= ( 2 < ≤ + 2 ) + ( < ≤ + ) ≈ 0.8186．
2 2
对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为 ，则 = 40,30,10．
1
( ≤ 56.19) = ( ≤ ) ≈ (1 0.6827) = 0.15865，
2
(56.19 < ≤ 84.81) = ( < ≤ ) ≈ 0.6827，
第 8 页，共 10 页
1
( ≥ 84.81) = > ( ≤ + ) ≈ (1 0.6827) = 0.15865．
2
( ) = 40 × 0.15865 + 30 × 0.6827 + 10 × 0.15865 = 28.4135 ≈ 28 > 25，
所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多．
12 √ 3
19.【答案】解：(1)由已知条件得 + 2 = 1，因为 > 0，则 = ，又 1( √ 3, 0), 2(√ 3, 0)， 4 2
1 1 √ 3 3
因此△ 1 2的面积为 1 = | 1 2| = × 2√ 3 × = ． 2 2 2 2 2
2
+ 2 = 1 24 64
(2)设 ( , ), ( , )，由{
4 ，得(4 2 + 1) 2 = 0，
3 5 25
=
5
24 64 3 3
+ = 2 , = 2 ，又 = ， = ，
5(4 +1) 25(4 +1) 5 5
= ( , 1), = ( , 1)，
8 8 8 64于是 = + ( )( ) = (
2 + 1) ( + ) +
5 5 5 25
64 8 24 64
= ( 2 + 1) [ ] +
25 2 2(4 + 1) 5 5 (4 + 1) 25
2 2
64( +1) 2192 64(4 +1)
= 2 2 + 2 = 0，
25(4 +1) 25(4 +1) 25(4 +1)
即 = 0为定值．
| |
(3)因为直线 : = 1 与⊙ 相切，则
1 = ，即( 2 2) 2 2 2 21 1 + = 0，
√ 2 1+1
同理，由直线 : = 2 2 22 与⊙ 相切，可得( ) 2 2 2 +
2 2 = 0，
于是 、 是关于 的方程( 2 2) 21 2 2 2 2 +
2 2 = 0的两实根，
2
2 2 2 (1 )
2
4
注意到| | ≠ ，且 + 2 = 1，故 = = ，
4 1 2 2 2 2 2
因 1 2为定值，故不妨设 1 2 = (定值)，
2
1 2 1
于是有 = 4 2 2
2 2
，即( + ) + [ 1 + (1 ) ] = 0．
4
1
+ = 0 1 2√ 5
依题意可知， 变化，而 、 均为定值，即有{ 4 ，解得 1 2 = = ， = ，
1 + (1 ) 2 = 0 4 5
4 4
2
2
1 = 2
2
2 =2 21+4 1 1+4 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，由{
+ = 1
4 得{ 2 ，同理{ 2 ,
= 4 4 1 2 1 2 21 = 2 2 = 2
1+4 1 1+4 2
第 9 页，共 10 页
2 2
4(1+ 1) 4(1+ 2)
所以| |2 | |2 = ( 2 + 21 1 )(
2
2 +
2
2 ) = 2 × 2
1+4 1 1+4 2
2 2 2 2 2 2
16(1+ 1+ 2+ = 1
2) 17+16 +16 9 9 25
2 2 2 2 =
1 2
2 2 = 4 + 2 2 ≤ 4 + = ，当且仅当| 1| = | 2| =
1+4 1+4 2+16 1 2 2+4 1+4 2 2+4( 1+ 2) 2+4 2 | 1 2| 4
1
( 1 2 < 0)时取等号， 2
2 2 25 5因此4 < | | | | ≤ ，解得2 < | | | | ≤ ，
4 2
5
所以| | | |的范围为(2, ],
2
5
故| | | |的最大值为 ．
2
第 10 页，共 10 页

展开更多......

收起↑