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板块一 平方根与算术平方根
典 例 精 讲
题型一 平方根的概念
【例1】 求下列各数的平方根：
(1)1; (4)0; (6)|-9|.
题型二 算术平方根的概念
【例2】 (1)计算 的结果为( )
C.
的算术平方根是 ；
的平方根是 .
题型三 平方根的性质
【例3】 如果a-12与2a-3都是正数m的两个不同的平方根，试求m的值.
题型四 开平方
【例4】 计算:
题型五 求未知数的值
【例5】 求下列各式中x的值：
题型六 算术平方根的双重非负性
【例6】 (1)已知 则 的算术平方根是 .
(2)设a,b,c都是实数,且满足 求 2x-1的值.
题型七 有意义的条件
【例7】 (1)已知 求2x+y的平方根.
(2)已知a 满足 求 的值.
针 对 训 练
的平方根是 ;(-4) 的平方根是 .
(2)169的算术平方根是 ; 的算术平方根是 .
(3)已知 是正整数，则整数n的最大值为 .
2.若a,b为实数,且 则 的值是 .
3.若 则 的算术平方根是 .
4.(1)观察下列各式的规律：(若 则a= .
(2)设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则[
A.5 151 B.5 150 C.5 050 D.5 049
(3)观察计算结果：① ;② +2 ;③ +2 +3 ;( 用你发现的规律直接写出式子的值
5.已知非零实数a，b满足 则a+b=( )
A. -1 B.0 C.1 D.2
6.若 则a的值为 .
7.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，求这个非负数.
(2)2a-1与-a+2是m的平方根,求 m的值.
8.已知正实数x的两个不同的平方根是a 和a+b.
(1)当b=6时,求a的值;
(2)若 求x的值.
板块一 平方根与算术平方根
典 例 精 讲
题型一 平方根的概念
【例1】 求下列各数的平方根：
(1)1; (3)(-3) ; (4)0; (6)|-9|.
【解答】 注意：数a(a≥0)的平方根是： ；当被开方数是带分数时，要化成假分数.
题型二 算术平方根的概念
【例2】 (1)计算 的结果为( C )
C.
的算术平方根是 3 ；
的平方根是 ±3 .
题型三 平方根的性质
【例3】 如果a-12与2a-3都是正数m的两个不同的平方根，试求m的值.
【分析】根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，于是由(a-12)+(2a-3)=0，先求出 a 的值,再求 m 的值.
【解答】∵a-12与2a-3都是m 的平方根,且a-12≠2a-3,∴a-12与2a-3互为相反数,
即(a-12)+(2a-3)=0,解得( ,即m=49.
题型四 开平方
【例4】 计算:
【解答】
(3)∵8×9×10×11+1=7921=89 ,∴ ×9×10×11+1=89.
题型五 求未知数的值
【例5】 求下列各式中x的值：
【分析】将方程转化为 的形式，再运用开平方运算，求出非负数的平方根.
【解答】(
或
题型六 算术平方根的双重非负性
【例6】 (1)已知 则 的 算术平方根是 5 .
【分析】 和 都是非负数，而它们的和为0，只能是每一项为0，求出a，b的值.
【解答】依题意，得
(2)设a,b,c都是实数,且满足 求 2x-1的值.
【分析】利用非负性，求出a，b，c的值，利用整体思想求其值.
【解答】可求a=2,b=4,c=-8,代入得
题型七 有意义的条件
【例7】 (1)已知 求2x+y的平方根.
【分析】由 有意义的条件知：x=3，y=10，从而可求.
【解答】∵x-3≥0,3-x≥0,∴x=3,代入,得
(2)已知a满足 求a-2019 的值.
【分析】 有意义的条件是a-2 020≥0,所以a≥2 020,所以原式可变形为 a-2 019+
【解答】 有意义的条件是a-2020≥0,∴a≥2020,∴原式可变形为
即 ∴两边平方，得
【点拨】当题目中出现式子 时，就隐含了a≥0这个条件，解题时要注意挖掘.
针 对 训 练
的平方根是 ±4 .的平方根是 ± ;(-4)
(2)169的算术平方根是 13 ; 的算术平方根是 .
(3)已知 是正整数，则整数n的最大值为 11 .
2.若a,b为实数,且 则 的值是 2 .
3.若 则 的算术平方根是 5 .
4.(1)观察下列各式的规律：若 则a= 99 .
(2)设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则[
A.5 151 B.5 150 C.5 050 D.5 049
(3)观察计算结果：① ;② +2 ;③ +2 +3 ;④ +2 +3 +4 ,用你发现的规律直接写出式子的值.
5.已知非零实数a，b满足 则a+b=( C )
A. -1 B.0 C.1 D.2
【解答】由题设知2a≥4，a≥2，所以题设的等式为 于是a=3,b=-2,从而a+b=1.
6.若 则a的值为 17 .
7.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，求这个非负数.
(2)2a-1与-a+2是m的平方根,求m的值.
【解答】(1)根据题意,有2a-1+a-5=0,解得a=2,所以这个非负数为(
(2)根据题意，分两种情况：
①当2a-1=-a+2时,a=1,所以
②当(2a-1)+(-a+2)=0时,a=-1,所以
8.已知正实数x的两个不同的平方根是a 和a+b.
(1)当b=6时,求a的值;
(2)若 求x的值.
【解答】(1)∵正实数x的两个不同的平方根是a和a+b,∴a+a+b=0,∵b=6,∴2a+6=0,∴a=-3;
(2)∵正实数x的平方根是a和a+b,∴(a+b) =x,a =x,∵a x+(a+b) x=6,∴x +x =6,

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