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第11讲 三元一次方程组
板块一 解三元一次方程组
典 例 精 讲
题型一)消元法
【例1】 解方程组
【练1】 解方程组：
题型二 参数法
【例2】 解方程组
【练2】 解方程组
题型三 构造法
【例3】 在等式 中,当x=-2时,. 时， 时， 求a,b,c的值.
题型四 整体法
【例4】 已知关于x，y，z的方程组 的解使得代数式x-2y+3z的值等于③-10.求a的值.
针 对 训 练
1.解三元一次方程组 最简单的方法是先消去未知数( )
A. x B. y C. z D.都一样
2.已知x,y,m同时满足, 则m的值为( )
A. -2 B. -1 C.2 D.1
3.若 是关于x，y，z的三元一次方程，则a+b+c的值为 .
4.已知有理数x,y,z满足|x-z-2|+(3x-6y-7) 与|3y+3z-4|互为相反数,则xyz的值为
5.解下列方程组：
6.阅读下列材料，然后解答后面的问题：已知方程组求x+y+z的值.
解：将原方程组整理得
②--①,得x+3y=7,③ 把③代入①,得x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组 试求x+2y-z的值.
板块二 实际问题与三元一次方程组
典 例 精 讲
题型一 数字问题
【例1】 一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
题型二 行程问题
【例2】 汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少千米 去时上下坡路各有多少千米
题型三 配套问题
【例3】 某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个.甲、乙、丙三种零件分别取3个，2个，1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天
针 对 训 练
1.上等稻谷三束，中等稻谷一束，下等稻谷两束，共有稻谷35斗；上等稻谷两束，中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束，中、下等稻谷各一束，共有谷42斗，问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗
2.为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A,B,C.双方约定:A=2a-b,B=2b,C=b+c,例如发出1,2,3,则收到0,4,5.
(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少
(2)当接收方收到一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少
3.有三种物品，每件的价格分别是2元，4元和6元，现在用60元买这三种物品(三种物品均需买到)，总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件 价格为2元的物品最少买几件
板块一 解三元一次方程组
典 例 精 讲
题型一 消元法
【例1】 解方程组
【解答】①+③,得5x+6y=17,④ ②+③×2,得5x+9y=23.⑤
由④⑤组成方程组，得 解得 把 代入①，解得z=3.∴原方程组的解为
【练1】 解方程组：
【解答】
题型二 参数法
【例2】 解方程纟
【分析】①，③是比例形式，可以引入参数k.
【解答】解法一：设 则x=3k+1,y=4k+2,代入②，③得 解得 从而x=7，y=10.故原方程组的解为 解法二：设 则y=5k,z=3k.代入①,②,解得 故原方程组的解为
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【练2】 解方程组
【解答】
题型三 构造法
【例3】 在等式 中,当x=-2时,y=-1;x=0时,y=2;x=2时,y=0.求a,b,c的值.
【分析】把x，y的三组对应值分别代入等式 中，可建立关于字母a，b，c的三元一次方程组.
【解答】把x=-2,y=-1;x=0,y=2;x=2,y=0三组对应值分别代入等式 中，
得 解
答：a，b，c的值分别为
题型四 整体法
【例4】 已知关于x，y，z的方程组 ②的解使得代数式x-2y+3z的值等于①-10.求a的值.
【分析】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x，y，z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式表示)，然后把求得的x，y，z代入等式x-2y+3z=-10，可得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值.
【解答】①+②+③,得2(x+y+z)=12a.即x+y+z=6a.④
④-①,得z=3a,④-②,得x=a,④-③,得
把x=a,y=2a,z=3a代入x-2y+3z=-10,得a-2×2a+3×3a=-10.解得
针 对 训 练
1.解三元一次方程组 最简单的方法是先消去未知数( B )
A. x B. y C. z D.都一样
2.已知x,y,m同时满足2x-3y=11-4m,3x+2y=21-5m,x+3y=20-7m,则m的值为( C )
A. -2 B. -1 C.2 D.1
3.若 是关于x,y,z的三元一次方程,则a+b+c的值为 1 .
4.已知有理数x,y,z满足|x-z-2|+(3x-6y-7) .与|3y+3z-4|互为相反数,则 xyz的值为 1 .
5.解下列方程组：
【解答】(1
6.阅读下列材料，然后解答后面的问题：已知方程组 求x+y+z的值.
解：将原方程组整理得
②--①,得x+3y=7,③ 把③代入①,得x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组 试求x+2y-z的值.
【解答】将原方程组整理，得
①-②×2,得8(x+2y-z)=24,∴x+2y-z=3
板块二 实际问题与三元一次方程组
典 例 精 讲
题型一 数字问题
【例1】 一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【分析】三位数=100×百位上的数字+10×十位上的数字+个位数字.
【解答】设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为 y，百位上的数字为z.依题意，得
②解得③
答：这个三位数是275.
题型二 行程问题
【例2】 汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，现在行驶142 千米的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少千米 去时上下坡路各有多少千米
【分析】根据：路程=速度×时间，全程路程=上坡+平路+下坡可列出方程组.
【解答】设去时上坡路程为x公里，平路路程为 y公里，下坡路程为z公里.
题型三 配套问题
【例3】 某工厂每天生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个.甲、乙、丙三种零件分别取3个，2个，1个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天
【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲乙丙所生产零件个数的比例为3：2：1.由此可得出方程组求解.
【解答】设甲种零件生产了x天，乙种零件生产了y天，丙种零件生产了z天，
由题意，得 解得
答：甲、乙、丙三种零件应分别生产15天，12天，3天.
针 对 训 练
1.上等稻谷三束，中等稻谷一束，下等稻谷两束，共有稻谷35斗；上等稻谷两束，中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束，中、下等稻谷各-束，共有谷42斗，问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗
【解答】设上、中、下三等稻谷每束有x斗，y斗，z斗，
依题意，得 解得
答：上、中、下三等稻谷每束各有9斗、4斗、2斗.
2.为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A,B,C.双方约定:A=2a-b,B=2b,C=b+c,例如发出1,2,3,则收到0,4,5.
(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少
(2)当接收方收到一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少
【解答】(1)由题意,得A=2×2-3=1,B=2×3=6,C=3+5=8.
答：接收方收到的密码是1，6，8；
(2)由题意，得 解得
答：发送方发出的密码是3，4，7.
3.有三种物品，每件的价格分别是2元，4元和6元，现在用60元买这三种物品(三种物品均需买到)，总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件 价格为2元的物品最少买几件
【分析】解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.
【解答】设价格为2元的物品买x件，4元的买y件，6元的买z件，
依题意，得 解得
由y>0,得z<7,而z为整数,∴z=1,2,3,4,5,6,对应地,
方程组的解分别为
于是价格为6元的物品最多买6件，价格为2元的物品最少买3件.

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