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第2章　专题提升三　电场能的性质的理解和应用
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
基础对点练
题组一　电场线、等势面及运动轨迹问题
1.一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则 (　　)
粒子一定带正电
粒子的运动是匀变速运动
粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
2.如图所示，实线为某点电荷在真空中形成的电场线，一电子在该电场中从a点运动到b点，运动轨迹如虚线所示，则下列判断中正确的是(　　)
形成电场的是正点电荷
电子在a点电势能大于b点电势能
电子运动的加速度一直在增大
调整电子初速度的大小和方向，电子可以在电场中做匀速圆周运动
题组二　电场中几个物理量比较
3.某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是(　　)
a点电势低于b点电势
c点电场强度大于b点电场强度
若将一试探电荷＋q由a点移至b点，它的电势能增大
若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
4.如图所示，正方体A、C两点分别固定等量异种点电荷，下列说法正确的是(　　)
B点与D点的电场强度相等
A′点与C点的电势相同
将试探电荷＋q由A′点移动到D点，静电力做功为0
将试探电荷－q由A′点移动到B′点，其电势能减小
5.(多选)(2024·福建龙岩一中高二期中)如图所示，虚线为等势面，单位是伏特，实线为某一电荷量q＝1.0×10－6 C的粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c为轨迹上三点，其电场强度分别为Ea、Eb、Ec，电势分别为φa、φb、φc，带电粒子在三点的电势能和动能分别为Epa、Epb、Epc和Eka、Ekb、Ekc，下列说法正确的是(　　)
Ea>Eb>Ec
φa＝φc>φb
Epa＝Epc>Epb
Eka＝Ekc，Ekb－Eka＝2.0×10－5 J
题组三　功能关系在电场中的应用
6.如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　)
三个等势面中，c的电势最高
带电质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能小
带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
7.质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中 (　　)
小球的重力势能减少了2mgh
小球的动能增加了2mgh
静电力做负功2mgh
小球的电势能增加了3mgh
8.如图，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　)
小球在B点时的速度最大
小球从A到B的过程中，机械能一直在减少
小球在B点时细线的拉力最大
从B到C的过程中，小球的电势能一直减少
综合提升练
9.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　)
动能增加mv2 机械能增加2mv2
重力势能增加mv2 电势能增加2mv2
10.(12分)一个质量为m、带有－q的电荷量的小物块，可在水平轨道Ox轴上运动，轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面，轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正向，如图所示。小物块以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f的作用，且f培优加强练
11.(16分)如图所示，A、B、C是匀强电场中的三点，也是直角三角形的三个顶点，匀强电场与三角形ABC平面平行。从C点向某一方向以大小为v0的速度射出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子仅在电场力作用下恰好能先后通过A、B两点，粒子通过A、B两点时的速度大小分别为v0、v0，已知∠A＝90°，∠C＝60°，AB边长为L，粒子重力不计。求：
(1)(8分)C、B两点及C、A两点的电势差；
(2)(8分)匀强电场的电场强度。
专题提升三　电场能的性质的理解和应用
1.B　[由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速运动，粒子的动能增大，电势能减小，故B正确。]
2.C　[做曲线运动的物体，受力的方向一定指向凹侧，因此电子受静电力方向向左，所以形成电场的点电荷电性为负，故A错误；由点电荷电场线和等势面分布特点可知a点电势高于b点电势，根据Ep＝qφ，且电子带负电，可知电子在a点的电势能小于在b点的电势能，故B错误；由于电子在两点间运动时距离点电荷越来越近，所受静电力也越来越大，根据a＝，可知加速度也越来越大，故C正确；由于场源电荷与电子带同种电荷，相互排斥，因此电子不可能做匀速圆周运动，故D错误。]
3.D　[沿着电场线的方向电势逐渐降低，由题图可知a点电势高于b点电势，故选项A错误；电场线密集的地方电场强度大，故选项B错误；电荷＋q由a点移至b点，静电力做正功，其电势能减小，故选项C错误；若在d点再固定一点电荷－Q，则由合电场强度的方向可知试探电荷＋q由a移至b的过程中，静电力做正功，其电势能减小，故选项D正确。]
4.C　[由等量异种点电荷的对称性可知，B点和D点电场强度大小相等，但是方向不同，A错误；A′点和C点电场强度相同，但是A′点电势更高，B错误；由等量异种点电荷电势分布可知，A′点与D点电势相等，所以，将试探电荷由A′点移动到D点，静电力做功为0，C正确；A′点电势高于B′点电势，所以将试探电荷－q由A′点移动到B′点电势能增大，D错误。]
5.BCD　[图中等差等势面密的地方电场强度大，故Eaφb＝－20 V，故B正确；由Ep＝qφ可知，Epa＝Epc＝0，Epb＝－2.0×10－5 J，故Epa＝Epc>Epb，故C正确；由能量守恒定律可知，Eka＋Epa＝Ekc＋Epc，又Epa＝Epc＝0，则Eka＝Ekc，由动能定理可得Ekb－Eka＝Wab＝q(φa－φb)＝2.0×10－5 J，故D正确。]
6.C　[由于质点只受静电力作用，根据运动轨迹可知静电力指向运动轨迹的凹侧，即斜向右下方，由于质点带正电，因此电场方向也指向右下方，由于沿电场线方向电势降低，三个等势面中，a的电势最高，c的电势最低，故A错误；P点电势高于Q点电势，质点带正电，所以质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，故B错误；质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，根据能量守恒定律可知，质点通过P点时的动能比通过Q点时小，故C正确；等差等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电场强度小，则P点的电场强度大于Q点的电场强度，质点在P点时的电场力比通过Q点时大，所以质点通过P点时的加速度比通过Q点时大，故D错误。]
7.D　[带电小球受到向上的静电力和向下的重力，根据牛顿第二定律有F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据功能关系可知，小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故A、B、C错误，D正确。]
8.B　[分析知小球带正电，小球在静电力与重力、细线的拉力的作用做圆周运动，当重力与静电力的合力与细线的拉力在同一条直线上时，小球处于等效最低点，此时小球的速度最大，对细线的拉力也最大，而B点不是等效最低点，故A、C错误；从A到B的过程中，静电力对小球做负功，小球的电势能增加，则小球的机械能一直在减小，故B正确；从B到C的过程中小球克服静电力做功，小球的电势能一直增大，故D错误。]
9.B　[动能变化量ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；重力和静电力做功，机械能增加量等于电势能减少量。带电小球在水平方向做向左的匀加速直线运动，由运动学公式得(2v)2－0＝2s，则电势能减少量ΔEp电＝W电＝qEs＝2mv2，B正确，D错误；在竖直方向做匀减速运动，到N时竖直方向的速度为零，由－v2＝－2gh，得重力势能增加量ΔEp重＝mgh＝mv2，C错误。]
10.
解析　方法一：由题意知，小物块最终停在最左端，由动能定理得W合＝ΔEk
即W电＋Wf＝0－mv(W电、Wf分别是静电力做的功和摩擦力做的功)
其中W电＝qEx0，Wf＝－fs，
故qEx0－fs＝－mv
所以总路程为s＝。
方法二：用能量守恒定律求解。
设小物块共走过路程s，克服摩擦力做功的值为fs，动能、电势能减少ΔE＝qEx0＋mv
内能增加ΔE′＝fs
由ΔE＝ΔE′，解得s＝。
11.(1)　－　(2)，方向垂直于CD斜向左下方
解析　(1)粒子从C到B，根据动能定理有
qUCB＝mv－mv
解得UCB＝
粒子从C到A，根据动能定理有
qUCA＝mv－mv
解得UCA＝－。
(2)根据(1)结果得
UAC＝＝UCB
D、E两点将AB边三等分，如图所示，根据匀强电场的电势分布特点可知，CD为等势线。
由A点作AF垂直CD，则
AF＝Lcos 30°＝L
匀强电场的电场强度大小
E＝＝
由于A点电势比C点电势高，因此电场方向沿AF方向，即垂直于CD斜向左下方。专题提升三　电场能的性质的理解和应用
学习目标　1.会根据电场线、等势面和运动轨迹判断静电力做功情况和电势能变化情况。2.利用电场线、等势面判断复杂电场的性质，并分析相关问题。3.能利用动能定理、功能关系分析电场综合问题。
提升1　电场线、等势面及运动轨迹问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受静电力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向轨迹曲线凹侧。
2.已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直可以绘制电场线。
3.由电场线和等差等势面的疏密，可以比较不同点的电场强度大小，电场线或等势面密集处，电场强度较大。
4.根据电荷的运动轨迹可以判断电荷受力方向和做功的正负，从而判断电势能的变化情况，注意静电力与电场线相切，且指向曲线的凹侧。
例1 如图所示，实线表示某电场的等差等势面，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M点和N点时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vMvN，φM>φN
C.φM<φN，EpMaN，EpM>EpN
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法总结
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
训练1 (2024·福建三明高二期中)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为不同带电粒子M和N仅在静电力作用下先后在该点电荷形成的电场中运动的轨迹，a、b、c、d为运动轨迹和虚线圆的交点，e为两轨迹的交点。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能大于它在a点的动能
C.N在d点的电势能大于它在c点的电势能
D.两带电粒子分别从a、c运动到e的过程中，静电力对两带电粒子所做的功一定相等
提升2　电场中几个物理量比较
1.关于场强的三个表达式的比较
　　区别 公式　　 物理含义 适用范围 说明
E＝ 电场强度大小的定义式 一切电场 q为试探电荷的电荷量
E＝k 真空中点电荷电场强度的决定式 在真空中，场源电荷Q是点电荷 Q为场源电荷的电荷量
E＝ 匀强电场中电场强度的表达式 匀强电场 d为沿电场方向的距离
2.电势能、电势和电势差的相互联系
通过以上流程图既可以了解各量的推导关系，又可以找到分析比较相关量的不同思路方法。
例2 (多选)(2023·辽宁卷，9)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　)
A.FMEpN
B.FM>FN，EpM>EpN
C.FMD.FM>FN，EpM提升3　功能关系在电场中的应用
1.电场中常见的功能关系
(1)只有静电力做功
只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电＝－ΔE电＝ΔEk。
(2)只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电＋WG＝－(ΔE电＋ΔEp)＝ΔEk。
(3)多个力做功
多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总＝W电＋W其他＝ΔEk。
2.处理电场中功能关系的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究包含重力、静电力等所有外力的功，即总功。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能与其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确静电力做功与电势能改变之间的关系，即W电＝－ΔEp。
(4)有静电力做功的过程，机械能不守恒。
例3 如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2。求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3　如图，竖直向上的匀强电场中，有一质量为m的带正电小球，施加拉力F使小球向上加速运动一段距离，在此过程中拉力、重力和静电力所做功的绝对值分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则小球(　　)
A.电势能增加了W3
B.重力势能减小了W2
C.动能增加了W1＋W2＋W3
D.机械能增加了W1＋W3
随堂对点自测
1.(电场线、等势面与运动轨迹问题)(多选)如图所示，三条虚线表示某点电荷电场的等势面。一带电粒子仅受静电力作用，沿实线运动，A、B、C、D、G是轨迹与等势面的交点。则(　　)
A.产生电场的点电荷和运动的带电粒子都带正电
B.带电粒子经过B、G两点时加速度一样大
C.带电粒子从A点到B点的过程中电势能减小
D.带电粒子从C点到D点的过程中动能先减小后增大
2.(电场中几个物理量比较)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布，图中P、Q两点关于两电荷连线对称。由图可知(　　)
A.左侧电荷为负电荷，右侧电荷为正电荷
B.M点电势比N点电势低
C.P点和Q点电场强度相同
D.若将一负电荷从M点移动到P点，该负电荷电势能增加
3.(功能关系在电场中的应用)(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了18 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功34 J，下列判断正确的是(　　)
A.金属块带正电荷
B.金属块克服静电力做功8 J
C.金属块的机械能减少16 J
D.金属块的电势能减少8 J
专题提升三　电场能的性质的理解和应用
提升1
例1 A　[带负电的粒子做曲线运动，轨迹弯向静电力的方向，由电场线与等势面垂直，负电荷受力方向与电场方向相反，可知电场线垂直等势线向下，由沿电场线方向电势降低，可知φN>φM，EpM>EpN，由于只有静电力做功，电势能和动能之和不变，所以vM训练1 B　[由两轨迹均凹向中心点电荷方向，可知两带电粒子均受到吸引力，M和N均带负电荷，故A错误；M从a点到b点过程中静电力总体表现为做正功，动能增大，故B正确；N从c点到d点过程中静电力总体表现为做正功，电势能减小，故C错误；由于不知道两个粒子的电荷量关系，无法比较两个粒子分别从a、c运动到e的过程中静电力对两带电粒子所做的功的大小，故D错误。]
提升2
例2 CD　[由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密表示电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加原理可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受静电力的作用，所以静电力不做功，电势能保持不变，D正确。]
训练2 A　[等差等势面的疏密表示电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的静电力大，即FMφN，EpM>EpN，A正确。]
提升3
例3 (1)　(2)－
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的功为零，
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝。
(2)小球从A到C，重力和静电力均做正功，
所以由动能定理有
mg·3R＋W电＝
根据静电力做功与电势能的关系
W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)
又φC＝0
解得φA＝－。
训练3 D　[静电力对小球做的功等于电势能的减小量，静电力做正功为W3，所以小球电势能增加量为－W3，即减少了W3，A错误；重力做负功，为－W2，小球重力势能增加W2，B错误；由动能定理知W1－W2＋W3＝ΔEk，C错误；由小球机械能增加量等于除重力以外其他力做功之和，知机械能增加量为W1＋W3，D正确。]
随堂对点自测
1.BD　[根据电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，产生电场的点电荷带负电，由图可知，轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的静电力方向向下，带负电，故A错误；由于B、G两点的电势相等，结合点电荷的电场的特点可知，B与G点到点电荷的距离是相等的，B与G点的电场强度的大小也相等，则带电粒子经过B、G两点时受到的静电力的大小相等，加速度一样大，故B正确；带电粒子从A运动到B的过程中静电力做负功，电势能增大，故C错误；带电粒子从C到D的过程中静电力先做负功，后做正功，其动能先减小后增大，故D正确。]
2.D　[根据电场线从正电荷出发终止于负电荷的特点，可知，左侧电荷为正电荷，右侧电荷为负电荷，故A错误；把正电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能降低，电势降低，故M点电势比N点电势高，故B错误；根据图像可知，P点与Q点电场强度大小相等，方向不同，故P、Q两点的电场强度不相同，故C错误；若将一负电荷从M点移动到P点，静电力做负功，该负电荷的电势能增加，故D正确。]
3.ABC　[在金属块滑下的过程中，由动能定理可得W重＋W阻＋W电＝ΔEk，代入数据解得W电＝－8 J，由于金属块下滑，而静电力做负功，可判断静电力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确；从上面的分析，可知静电力做功－8 J，电势能增加，即金属块克服静电力做了8 J的功，电势能增加8 J，故B正确，D错误；在金属块滑下的过程中，重力做功34 J，则重力势能减少34 J，而已知动能增加了18 J，所以总的机械能减少了16 J，故C正确。](共47张PPT)
专题提升三　电场能的性质的理解和应用
第2章　电势能与电势差
1.会根据电场线、等势面和运动轨迹判断静电力做功情况和电势能变化情况。
2.利用电场线、等势面判断复杂电场的性质，并分析相关问题。
3.能利用动能定理、功能关系分析电场综合问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　电场中几个物理量比较
提升1　电场线、等势面及运动轨迹问题
提升3　功能关系在电场中的应用
提升1　电场线、等势面及运动轨迹问题
1.速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受静电力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向轨迹曲线凹侧。
2.已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直可以绘制电场线。
3.由电场线和等差等势面的疏密，可以比较不同点的电场强度大小，电场线或等势面密集处，电场强度较大。
4.根据电荷的运动轨迹可以判断电荷受力方向和做功的正负，从而判断电势能的变化情况，注意静电力与电场线相切，且指向曲线的凹侧。
A
例1 如图所示，实线表示某电场的等差等势面，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M点和N点时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vMvN，φM>φN
C.φM<φN，EpMaN，EpM>EpN
解析　带负电的粒子做曲线运动，轨迹弯向静电力的方向，由电场线与等势面垂直，负电荷受力方向与电场方向相反，可知电场线垂直等势线向下，由沿电场线方向电势降低，可知φN>φM，EpM>EpN，由于只有静电力做功，电势能和动能之和不变，所以vM方法总结
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
B
训练1 (2024·福建三明高二期中)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为不同带电粒子M和N仅在静电力作用下先后在该点电荷形成的电场中运动的轨迹，a、b、c、d为运动轨迹和虚线圆的交点，e为两轨迹的交点。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能大于它在a点的动能
C.N在d点的电势能大于它在c点的电势能
D.两带电粒子分别从a、c运动到e的过程中，静电力对两带电粒子所做的功一定相等
解析　由两轨迹均凹向中心点电荷方向，可知两带电粒子均受到吸引力，M和N均带负电荷，故A错误；M从a点到b点过程中静电力总体表现为做正功，动能增大，故B正确；N从c点到d点过程中静电力总体表现为做正功，电势能减小，故C错误；由于不知道两个粒子的电荷量关系，无法比较两个粒子分别从a、c运动到e的过程中静电力对两带电粒子所做的功的大小，故D错误。
提升2　电场中几个物理量比较
1.关于场强的三个表达式的比较
2.电势能、电势和电势差的相互联系
通过以上流程图既可以了解各量的推导关系，又可以找到分析比较相关量的不同思路方法。
CD
例2 (多选)(2023·辽宁卷，9)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
解析　由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密表示电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加原理可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受静电力的作用，所以静电力不做功，电势能保持不变，D正确。
A
训练2 如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　)
A.FMEpN
B.FM>FN，EpM>EpN
C.FMD.FM>FN，EpM解析　等差等势面的疏密表示电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的静电力大，即FMφN，EpM>EpN，A正确。
提升3　功能关系在电场中的应用
1.电场中常见的功能关系
(1)只有静电力做功
只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电＝－ΔE电＝ΔEk。
(2)只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电＋WG＝－(ΔE电＋ΔEp)＝ΔEk。
(3)多个力做功
多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总＝W电＋W其他＝ΔEk。
2.处理电场中功能关系的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究包含重力、静电力等所有外力的功，即总功。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能与其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确静电力做功与电势能改变之间的关系，即W电＝－ΔEp。
(4)有静电力做功的过程，机械能不守恒。
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势。
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的功为零，
(2)小球从A到C，重力和静电力均做正功，
根据静电力做功与电势能的关系
W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)
又φC＝0
D
训练3　如图，竖直向上的匀强电场中，有一质量为m的带正电小球，施加拉力F使小球向上加速运动一段距离，在此过程中拉力、重力和静电力所做功的绝对值分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则小球(　　)
A.电势能增加了W3 B.重力势能减小了W2
C.动能增加了W1＋W2＋W3 D.机械能增加了W1＋W3
解析　静电力对小球做的功等于电势能的减小量，静电力做正功为W3，所以小球电势能增加量为－W3，即减少了W3，A错误；重力做负功，为－W2，小球重力势能增加W2，B错误；由动能定理知W1－W2＋W3＝ΔEk，C错误；由小球机械能增加量等于除重力以外其他力做功之和，知机械能增加量为W1＋W3，D正确。
随堂对点自测
2
BD
1.(电场线、等势面与运动轨迹问题)(多选)如图所示，三条虚线表示某点电荷电场的等势面。一带电粒子仅受静电力作用，沿实线运动，A、B、C、D、G是轨迹与等势面的交点。则(　　)
A.产生电场的点电荷和运动的带电粒子都带正电
B.带电粒子经过B、G两点时加速度一样大
C.带电粒子从A点到B点的过程中电势能减小
D.带电粒子从C点到D点的过程中动能先减小后增大
解析　根据电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，产生电场的点电荷带负电，由图可知，轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的静电力方向向下，带负电，故A错误；由于B、G两点的电势相等，结合点电荷的电场的特点可知，B与G点到点电荷的距离是相等的，B与G点的电场强度的大小也相等，则带电粒子经过B、G两点时受到的静电力的大小相等，加速度一样大，故B正确；带电粒子从A运动到B的过程中静电力做负功，电势能增大，故C错误；带电粒子从C到D的过程中静电力先做负功，后做正功，其动能先减小后增大，故D正确。
D
2.(电场中几个物理量比较)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布，图中P、Q两点关于两电荷连线对称。由图可知(　　)
A.左侧电荷为负电荷，右侧电荷为正电荷
B.M点电势比N点电势低
C.P点和Q点电场强度相同
D.若将一负电荷从M点移动到P点，该负电荷电势能增加
解析　根据电场线从正电荷出发终止于负电荷的特点，可知，左侧电荷为正电荷，右侧电荷为负电荷，故A错误；把正电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能降低，电势降低，故M点电势比N点电势高，故B错误；根据图像可知，P点与Q点电场强度大小相等，方向不同，故P、Q两点的电场强度不相同，故C错误；若将一负电荷从M点移动到P点，静电力做负功，该负电荷的电势能增加，故D正确。
ABC
3.(功能关系在电场中的应用)(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了18 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功34 J，下列判断正确的是(　　 )
A.金属块带正电荷
B.金属块克服静电力做功8 J
C.金属块的机械能减少16 J
D.金属块的电势能减少8 J
解析　在金属块滑下的过程中，由动能定理可得W重＋W阻＋W电＝ΔEk，代入数据解得W电＝－8 J，由于金属块下滑，而静电力做负功，可判断静电力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确；从上面的分析，可知静电力做功－8 J，电势能增加，即金属块克服静电力做了8 J的功，电势能增加8 J，故B正确，D错误；在金属块滑下的过程中，重力做功34 J，则重力势能减少34 J，而已知动能增加了18 J，所以总的机械能减少了16 J，故C正确。
课后巩固训练
3
B
题组一　电场线、等势面及运动轨迹问题
基础对点练
1.一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则 (　　)
A.粒子一定带正电
B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速运动，粒子的动能增大，电势能减小，故B正确。
C
2.如图所示，实线为某点电荷在真空中形成的电场线，一电子在该电场中从a点运动到b点，运动轨迹如虚线所示，则下列判断中正确的是(　　)
A.形成电场的是正点电荷
B.电子在a点电势能大于b点电势能
C.电子运动的加速度一直在增大
D.调整电子初速度的大小和方向，电子可以在电场中做匀速圆周运动
D
题组二　电场中几个物理量比较
3.某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是(　　)
A.a点电势低于b点电势
B.c点电场强度大于b点电场强度
C.若将一试探电荷＋q由a点移至b点，它的电势能增大
D.若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
解析　沿着电场线的方向电势逐渐降低，由题图可知a点电势高于b点电势，故选项A错误；电场线密集的地方电场强度大，故选项B错误；电荷＋q由a点移至b点，静电力做正功，其电势能减小，故选项C错误；若在d点再固定一点电荷－Q，则由合电场强度的方向可知试探电荷＋q由a移至b的过程中，静电力做正功，其电势能减小，故选项D正确。
C
4.如图所示，正方体A、C两点分别固定等量异种点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.B点与D点的电场强度相等
B.A′点与C点的电势相同
C.将试探电荷＋q由A′点移动到D点，静电力做功为0
D.将试探电荷－q由A′点移动到B′点，其电势能减小
解析　由等量异种点电荷的对称性可知，B点和D点电场强度大小相等，但是方向不同，A错误；A′点和C点电场强度相同，但是A′点电势更高，B错误；由等量异种点电荷电势分布可知，A′点与D点电势相等，所以，将试探电荷由A′点移动到D点，静电力做功为0，C正确；A′点电势高于B′点电势，所以将试探电荷－q由A′点移动到B′点电势能增大，D错误。
BCD
5.(多选)(2024·福建龙岩一中高二期中)如图所示，虚线为等势面，单位是伏特，实线为某一电荷量q＝1.0×10－6 C的粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c为轨迹上三点，其电场强度分别为Ea、Eb、Ec，电势分别为φa、φb、φc，带电粒子在三点的电势能和动能分别为Epa、Epb、Epc和Eka、Ekb、Ekc，下列说法正确的是(　　 )
A.Ea>Eb>Ec
B.φa＝φc>φb
C.Epa＝Epc>Epb
D.Eka＝Ekc，Ekb－Eka＝2.0×10－5 J
解析　图中等差等势面密的地方电场强度大，故Eaφb＝－20 V，故B正确；由Ep＝qφ可知，Epa＝Epc＝0，Epb＝－2.0×10－5 J，故Epa＝Epc>Epb，故C正确；由能量守恒定律可知，Eka＋Epa＝Ekc＋Epc，又Epa＝Epc＝0，则Eka＝Ekc，由动能定理可得Ekb－Eka＝Wab＝q(φa－φb)＝2.0×10－5 J，故D正确。
C
题组三　功能关系在电场中的应用
6.如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　)
A.三个等势面中，c的电势最高
B.带电质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能小
C.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
D.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
解析　由于质点只受静电力作用，根据运动轨迹可知
静电力指向运动轨迹的凹侧，即斜向右下方，由于质
点带正电，因此电场方向也指向右下方，由于沿电场
线方向电势降低，三个等势面中，a的电势最高，c的
电势最低，故A错误；P点电势高于Q点电势，质点带
正电，所以质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，故B错误；质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，根据能量守恒定律可知，质点通过P点时的动能比通过Q点时小，故C正确；等差等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电场强度小，则P点的电场强度大于Q点的电场强度，质点在P点时的电场力比通过Q点时大，所以质点通过P点时的加速度比通过Q点时大，故D错误。
D
7.质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中 (　　)
A.小球的重力势能减少了2mgh B.小球的动能增加了2mgh
C.静电力做负功2mgh D.小球的电势能增加了3mgh
解析　带电小球受到向上的静电力和向下的重力，根据牛顿第二定律有F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据功能关系可知，小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故A、B、C错误，D正确。
B
8.如图，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　)
A.小球在B点时的速度最大
B.小球从A到B的过程中，机械能一直在减少
C.小球在B点时细线的拉力最大
D.从B到C的过程中，小球的电势能一直减少
解析　分析知小球带正电，小球在静电力与重力、细线的拉力的作用做圆周运动，当重力与静电力的合力与细线的拉力在同一条直线上时，小球处于等效最低点，此时小球的速度最大，对细线的拉力也最大，而B点不是等效最低点，故A、C错误；从A到B的过程中，静电力对小球做负功，小球的电势能增加，则小球的机械能一直在减小，故B正确；从B到C的过程中小球克服静电力做功，小球的电势能一直增大，故D错误。
B
9.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　)
综合提升练
10.一个质量为m、带有－q的电荷量的小物块，可在水平轨道Ox轴上运动，轴的O端有一个与轨道相垂直的固定墙面，轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正向，如图所示。小物块以初速度v0从x0处沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f的作用，且f培优加强练
(1)C、B两点及C、A两点的电势差；
(2)匀强电场的电场强度。
解析　(1)粒子从C到B，根据动能定理有
粒子从C到A，根据动能定理有

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