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第2章　专题提升五　带电粒子在电场中运动的综合问题
选择题1～7题，每小题10分，共70分。
基础对点练
题组一　带电粒子在交变电场中的运动
1.如图a所示，两个平行金属板P、Q竖直放置，两板间加上如图b所示的电压。t＝0时，Q板比P板电势高5 V，此时在两板的正中央M点放一个电子，速度为零，电子仅在静电力作用下运动，运动过程中始终未与极板相碰，下列时刻中电子速度和加速度的方向相同的是(　　)
3×10－10 s 5×10－10 s
6.5×10－10 s 7×10－10 s
2.(多选)(2024·黑龙江大庆高二开学考试)如图甲所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图乙所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则(　　)
若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动
若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动
题组二　动力学和功能关系分析粒子的运动
3.(2024·吉林长春期末)如图所示，空间存在着竖直向下的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以水平方向的初速度v0由O点射入，刚好通过竖直平面内的P点，已知连线OP与初速度方向的夹角为45°，不计粒子的重力，则O、P两点间的电势差UOP为(　　)
4.美国物理学家密立根于20世纪初进行了多次实验，比较准确的测定了电子的电荷量，其实验原理可以简化为如下模型：两个相距为d的平行金属板A、B水平放置，两板接有可调电源。从A板上的小孔进入两板间的油滴因摩擦而带有一定的电荷量，将两板间的电势差调节到U时，带电油滴恰好悬浮在两板间，然后撤去电场，油滴开始下落，由于空气阻力，下落的油滴很快达到匀速下落状态，通过显微镜观测这个速度的大小为v，已知空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为k，重力加速度为g。则计算油滴带电荷量的表达式为(　　)
q＝ q＝
q＝ q＝
5.电子束熔炼是指高真空下，将高速电子束的动能转换为热能作为热源来进行金属熔炼的一种熔炼方法。如图所示，阴极灯丝被加热后产生初速度为0的电子，在3×104 V加速电压的作用下，以极高的速度向阳极运动；穿过阳极后，在金属电极A1、A2间1×103 V电压形成的聚焦电场作用下，轰击到物料上，其动能全部转换为热能，使物料不断熔炼。已知某电子在熔炼炉中的轨迹如图中虚线OPO′所示，P是轨迹上的一点，聚焦电场过P点的一条电场线如图中实线所示，则(　　)
电极A1的电势低于电极A2的电势
电子在P点时速度方向与聚焦电场强度方向夹角大于90°
聚焦电场只改变电子速度的方向，不改变电子速度的大小
电子轰击到物料上时的动能等于3×104 eV
题组三　等效思维法的应用
6.(多选)(2024·山东德州高二期末)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
匀强电场的电场强度E＝
小球运动至圆周轨迹的最高点时动能最小
小球运动至圆周轨迹的最左端点时电势能最大
小球运动至圆周轨迹的最左端点时机械能最大
综合提升练
7.(多选)如图甲，在矩形MNQP区域中有平行于PM方向的匀强电场，电场强度为E0，一电荷量为＋q，质量为m的带电粒子以v0的初速度从M点沿MN方向进入匀强电场，刚好从Q点射出。MN＝PQ＝L，MP＝NQ＝d。现保持电场强度不变，使匀强电场的方向做周期性变化(如图乙)。使带电粒子仍以v0的初速度从M点沿MN方向进入，粒子刚好能从Q点沿PQ方向射出。不计粒子重力，取图甲中方向为电场正方向。则(　　)
电场强度大小为E0＝
电场强度大小为E0＝
电场改变方向的周期T0＝
电场改变方向的周期T0＝
8.(14分)(2024·福建厦门高二期中)如图所示，固定的粗糙绝缘平台与水平地面的高度差h＝1.25 m，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3×103N/C。带正电的小滑块(可视为质点)从距离平台边缘L＝1 m处由静止释放，已知滑块的质量为m＝1 kg、带电荷量为q＝2×10－3C，滑块与平台间的动摩擦因数为μ＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)(4分)滑块在平台上运动的加速度大小；
(2)(4分)滑块运动到平台右侧边缘时速度的大小；
(3)(6分)滑块的落地点与平台右侧边缘的距离。
培优加强练
9.(16分)如图所示，长为R的轻质细线一端固定在O1点，细线的下端系一质量为m，电荷量为q的带电小球。现将小球从细线处于水平状态由静止释放，小球运动到B点时，绳子断裂，刚好在B处水平抛出。带电小球抛出后经过一匀强电场区域(只存在于BC之间)，恰好从C点沿切线方向进入固定在水平地面上的半径为r的光滑圆弧形槽，槽的圆心在O2点，D点为最低点，且∠CO2D＝37°。已知B、D两点的高度差为hBD＝r，r＝1.25R，重力加速度为g，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)(4分)求小球在B点的速度大小；
(2)(6分)若小球最终停在距离D处4R的Q点(小球在DQ间的运动视为滑动)，求水平面与小球间的动摩擦因数μ；
(3)(6分)求匀强电场的电场强度E的大小，并判断小球带何种电荷？
专题提升五　带电粒子在电场中运动的综合问题
1.B　[依题意，结合图b可知，在t＝0时，由于Q板比P板电势高5 V，则电子在0～2×10－10 s内，所受静电力向右，电子向右做匀加速直线运动；在2×10－10 s～4×10－10 s内，电子所受静电力向左，电子向右做减速运动，根据对称性可知在t＝4×10－10 s时，电子速度为0；在4×10－10 s～6×10－10 s内，电子所受静电力向左，电子向左做加速运动；6×10－10 s～8×10－10 s内，电子所受静电力向右，电子向左做减速运动，在t＝5×10－10 s时，电子速度和加速度的方向是相同的，故B正确。]
2.AB　[根据电子进入电场后的受力和运动情况，作出如图所示的v－t像。
当电子在t＝0时刻进入电场时，电子一直向B板运动，故A正确；若电子在t＝时刻进入，则由图像知，向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正确；若电子在t＝时刻进入电场，则由图像知，在第一个周期电子即返回至A板，故C错误；若电子在t＝时刻进入，则它一靠近小孔便受到排斥力，根本不能进入电场，故D错误。]
3.C　[带电粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的推论有＝＝2tan 45°，P点粒子的速度为vP＝v0，由动能定理得qUOP＝mv－mv，解得UOP＝，A、B、D错误，C正确。]
4.B　[油滴在电场中悬浮时受力平衡，则mg＝，匀速下落过程，空气阻力与速度的平方成正比，则mg＝f＝kv2，联立解得q＝，故B正确。]
5.B　[电子在P点受静电力指向轨迹弯曲的内侧，又要与电场线相切，可判断电场线的方向是从A1指向A2，所以电极A1的电势高于电极A2的电势，A错误；轨迹的切线方向即电子的运动方向，由图可知运动方向与电场方向夹角大于90°，B正确；聚焦电场一方面使电子向中央靠拢，另一方面使电子加速，所以既改变电子速度的方向，又改变电子速度的大小，C错误；聚焦电场对电子做功，且总功是正功W，所以改变电子速度大小，从O到O′，根据动能定理得qU＋W＝Ek，可知电子轰击到物料上时的动能大于3×104eV，D错误。]
6.AC　[小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球进行受力分析，如图甲所示
由平衡条件可知tan θ＝，解得E＝，故A正确；由A项受力分析可知，小球受静电力水平向右，小球带负电，圆周轨迹的最左端点电势最低，小球运动至圆周轨迹的最左端点时电势能最大，故C正确；小球静止时细线与竖直方向成θ角，则A点为小球绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动的等效最高点，
A点时小球的速度最小，动能最小，故B错误；由功能关系可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即静电力做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O点等高处时，静电力做负功最多，机械能最小，故D错误。]
7.BC　[对粒子分析，粒子沿MN方向做匀速直线运动，静电力方向做匀加速直线运动L＝v0t，d＝t2，联立得E0＝，所以A错误，B正确；当电场强度方向周期性变化时，沿电场方向先做初速度为0的匀加速直线运动后做匀减速直线运动直至停止，此过程重复n次，n取正整数，有t＝nT0，解得T0＝＝，故C正确，D错误。]
8.(1)2 m/s2　(2)2 m/s　(3) m
解析　 (1)由牛顿第二定律得qE－μmg＝ma
解得a＝2 m/s2。
(2)由匀变速直线运动规律有v＝2aL
解得v0＝2 m/s。
(3)滑块在平台右侧水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体运动，在竖直方向有h＝gt2
根据牛顿第二定律a′＝
在水平方向x＝v0t＋a′t2
滑块的落地点与平台右侧边缘的距离为
s＝
联立并代入数据解得s＝ m。
9.(1)　(2)0.45　(3)　带正电
解析　(1)小球从A到B的过程中机械能守恒，则有
mgR＝mv
解得小球在B点的速度大小vB＝。
(2)小球恰好从C点进入圆弧轨道，在水平方向有
vx＝vB＝
根据速度的分解有＝cos 37°
解得vC＝
小球从C点到D点，机械能守恒，有
mv＋mgr(1－cos 37°)＝mv
由D到Q，根据动能定理有
－μmg·4R＝0－mv
解得μ＝≈0.45。
(3)小球恰好从C点进入圆弧轨道，则有
tan 37°＝＝
在竖直方向有
hBC＝hBD－r(1－cos 37°)＝rcos 37°＝R
根据运动学规律有vy＝
联立解得a＝g
小球从B到C的过程中，根据牛顿第二定律，有mg－qE＝ma，解得E＝
由于小球的加速度小于重力加速度，因此小球受静电力方向向上，所以，带电小球带正电。专题提升五　带电粒子在电场中运动的综合问题
学习目标　1.进一步掌握带电粒子在电场中做直线运动和类平抛运动的分析方法。2.会分析带电粒子在电场中的圆周运动，会分析向心力的来源。3.会分析带电粒子在交变电场中的运动。4.能从动力学和功能关系的角度综合分析粒子的运动问题。
提升1　带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中运动时，由于电场发生变化，粒子所受静电力也发生变化，其加速度、速度、位移等都会发生相应的变化，从而出现粒子加速、减速或者往返运动。通常只讨论电压的大小不变、方向发生周期性变化(如方波)且不计粒子重力的情形。
1.常见的类型
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。
(2)粒子做往返运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
2.常用的分析方法
(1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场。此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化。
①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动；
②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
(2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
例1 (多选)如图a所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大。当两板间加上如图b所示的交变电压后，选项中的图像，反映电子速度v、位移s和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是(　　)
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)分段分析：按照时间的先后，分阶段分析粒子在电场中的受力情况和运动情况，然后选择牛顿运动定律、运动学规律或功能关系求解相关问题。
(2)v－t图像辅助：带电粒子在交变电场中的运动情况一般比较复杂，常规的分段分析很麻烦。较好的方法是在分段分析粒子受力的情况下，画出粒子的v－t图像，画图时，注意加速度相同的运动图像是平行的直线，图像与横坐标轴所围图形的面积表示位移，图像与t轴的交点，表示此时速度方向改变等。
(3)运动的对称性和周期性：带电粒子在周期性变化的电场中运动时，粒子的运动一般具有对称性和周期性。
训练1 (多选)如图甲所示，边长为L的正方形abcd在竖直平面内，bc边沿竖直方向，该区域内存在竖直方向匀强电场，取竖直向下为正方向，该电场按图乙所示的规律变化。t＝0时刻，不计重力的带电粒子从ad中点O垂直电场方向以大小为v0的速度射入电场，t＝T时刻从c点射出电场。下列说法正确的是(　　)
A.粒子射出电场时速度大于v0
B.粒子运动过程中的速度最大为v0
C.t＝时刻粒子的速度大小为v0
D.t＝时刻粒子的竖直位移大小为L
提升2　动力学和功能关系分析粒子的运动
1.从动力学角度，先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，是直线运动还是曲线运动)，对匀变速运动问题可用牛顿运动定律和运动学规律处理。
2.从功和能的角度，分析带电粒子运动过程中功和能的转化关系，利用动能定理或能量守恒定律解决这类问题。
例2 水平放置的平行金属板，相距6 cm，两板分别与电池的正负极相连，板间电压为100 V(如图)，原来不带电的小球，质量为2 g，从与下板相距4 cm的地方，由静止自由落下，与下板发生弹性碰撞(碰撞中动能不损失)过程中，小球获得电荷量q＝2.0×10－6C的负电荷(g＝10 m/s2)。求：
(1)小球与下板相碰后能上升到多大的高度？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)小球上升到最高点的过程中，静电力做多少功？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (多选)如图所示，空间存在一匀强电场，其方向与水平方向间的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v0从A点水平向右抛出，经过时间t小球落到C点，速度大小仍是v0，已知AB＝BC，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
A.电场方向沿电场线斜向上
B.电场强度大小为E＝
C.小球下落高度为gt2
D.此过程增加的电势能等于mg2t2
提升3　等效思维法的应用
1.“等效重力”及“等效重力加速度”
在匀强电场中，将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。
2.物理最高点与几何最高点
例3 (2024·安徽马鞍山高二期末)如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.4 kg、电荷量为q＝＋2×10－4C的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°。已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)匀强电场的场强大小；
(2)将小球从A点由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力大小；
(3)如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度最少为多少？(结果可用根号表示)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，轨道半径为R。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电小球(可视为质点)在轨道内侧的P点处于静止状态，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v的速度，使小球能沿轨道做完整的圆周运动。
(1)求电场强度的大小；
(2)求小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小；
(3)设P点的电势为零，求小球在运动过程中的最大电势能。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(带电粒子在交变电场中的运动)(2024·安徽合肥高二期末)图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v0沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动描述错误的是(　　)
A.t＝0时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
B.t＝T时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
C.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度方向都水平
D.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度大小都相等
2.(带电粒子在电场中的圆周运动)(多选)如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A.小球可以沿圆环运动到C点
B.匀强电场的电场强度大小为
C.P、B两点间的电势差为
D.小球运动到B点时，向心加速度大小为3g
专题提升五　带电粒子在电场中运动的综合问题
提升1
例1 AD　[在平行金属板之间加上如题图b所示的周期性变化的电压时，电子在平行金属板间所受的静电力F＝，大小不变，而方向随电压呈周期性变化。由牛顿第二定律F＝ma可知，电子在第一个内向B板做匀加速直线运动，在第二个内向B板做匀减速直线运动，在第三个内向A板做匀加速直线运动，在第四个内向A板做匀减速直线运动。所以a－t图像如图甲所示，v－t图像如图乙所示，又因匀变速直线运动的位移s＝v0t＋at2，所以s－t图像应是曲线，故A、D正确，B、C错误。]
训练1 BCD　[根据对称性可知0～内，粒子向下做匀加速直线运动，～T内，粒子向下做匀减速直线运动，且0～T内粒子的加速度大小不变，可知粒子t＝T时刻从c点射出电场时竖直方向的速度为零，粒子射出电场时速度等于v0，故A错误；根据对称性可知t＝时刻粒子的速度最大，水平方向有L＝v0T，竖直方向有＝×，可得vy＝v0，则粒子运动过程中的速度最大为vmax＝＝v0，故B正确；t＝时刻粒子的竖直方向的速度为vy1＝＝，t＝时刻粒子的速度大小为v1＝＝v0，故C正确；0～内，根据运动学公式有v＝2a，～T内，根据运动学公式有v－v＝－2ay1，解得y1＝L，t＝时刻粒子的竖直位移大小为y＝＋y1＝L，故D正确。]
提升2
例2 (1)4.8 cm　(2)1.6×10－4J
解析　(1)小球与下板相碰后，受到的静电力为
F静＝qE＝q
代入数据解得F静＝×10－2N
而重力大小为mg＝2×10－2N
由此可知，重力大于静电力，所以小球反弹后向上做减速运动，小球到达最高点速度为0，设此时高度为H，由牛顿第二定律可得mg－qE＝ma
代入数据，解得a＝ m/s2
方向竖直向下，根据速度—位移公式可得
v2＝2gh，0－v2＝－2aH
解得H＝4.8 cm。
(2)静电力做的功为W静＝F电H
代入数据，解得W静＝1.6×10－4J。
训练2 BC　[由题意可知，小球从A到C的动能改变量为零，而重力做正功，则静电力做负功，而小球带正电，电场线方向应斜向下，故A错误；小球从A到C，由动能定理可得mg·ABsin60°－qE·BCsin60°＝0，解得E＝，故B正确；将静电力分解为沿水平方向和竖直方向，有竖直分量F＝qE′＝mgcos 60°＝mg，物体在竖直方向上的合力Fy＝mg＋mg＝mg，由牛顿第二定律可知，竖直方向上的分加速度ay＝g，则下落高度h＝ayt2＝gt2，故C正确；此过程中静电力做负功，电势能增大，由几何关系可知，小球在沿电场线的方向上的位移s＝gt2，则电势能的增加量E＝qEs＝mg2t2，故D错误。]
提升3
例3 (1)1.5×104N/C　(2)6 N　(3) m/s
解析　(1)带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得
qE＝mgtan θ
解得E＝＝1.5×104N/C。
(2)设小球运动至C点时速度为vC，则mgL－qEL＝mv
解得vC＝ m/s
在C点，小球所受重力和细线拉力的合力提供向心力，有T－mg＝m，联立解得T＝6 N。
(3)分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最小速度为v，则
mgcos θ＋qEsin θ＝m
从A到对称点，由动能定理得
－mgLcos θ－qEL＝mv2－mv
联立解得v0＝ m/s，即初速度最小为 m/s。
例4 (1)　(2)＋　(3)mgR
解析　(1)在P点对小球进行受力分析如图所示
则有qE＝mgtan θ
解得E＝。
(2)根据题意可知，在P点有
N－＝m
根据牛顿第三定律有N′＝N
解得小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小N′＝＋。
(3)根据静电力做功与电势能的关系，若电势能最大，则小球克服静电力做功最多，由电场方向水平向右，小球带正电，可知小球在运动过程中的最大电势能位置位于圆周水平直径的左端点，根据功能关系有－qE＝－
解得Epmax＝mgR。
随堂对点自测
1.B　[粒子在水平方向以速度v0做匀速运动，t＝0时刻入射的粒子和t＝T时刻入射的粒子在竖直方向运动的v－t图像如图所示，由v－t图像中“面积”表示位移，可知t＝0时刻入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大，故A正确，B错误；无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时竖直方向的分速度都等于零，因此离开电场时速度大小都为v0，方向都水平，故C、D正确。]
2.CD　[小球运动到P点时的动能最大，即重力和静电力的合力沿着OP方向，对小球受力分析有＝tan 37°，解得E＝，故B错误；假设小球能够沿圆环运动到C点，根据动能定理有qER－mgR＝Ek－0，分析上式可知Ek<0，显然这是不可能的，即假设不合理，故A错误；P、B两点间的电势差UPB＝ER(1－sin 37°)＝，故C正确；小球从A点运动到B点，根据动能定理有qE·2R＝mv，此时小球的向心加速度大小a向＝，联立解得a向＝3g，故D正确。](共50张PPT)
专题提升五　带电粒子在电场中运动的综合问题
第2章　电势能与电势差
1.进一步掌握带电粒子在电场中做直线运动和类平抛运动的分析方法。
2.会分析带电粒子在电场中的圆周运动，会分析向心力的来源。
3.会分析带电粒子在交变电场中的运动。
4.能从动力学和功能关系的角度综合分析粒子的运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　动力学和功能关系分析粒子的运动
提升1　带电粒子在交变电场中的运动
提升3　等效思维法的应用
提升1　带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中运动时，由于电场发生变化，粒子所受静电力也发生变化，其加速度、速度、位移等都会发生相应的变化，从而出现粒子加速、减速或者往返运动。通常只讨论电压的大小不变、方向发生周期性变化(如方波)且不计粒子重力的情形。
1.常见的类型
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。
(2)粒子做往返运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
2.常用的分析方法
(1)在两个相互平行的金属板间加交变电压时，两板中间便可获得交变电场。此类电场从空间看是匀强电场，即同一时刻，电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同；从时间看是变化的，即电场强度的大小、方向都随时间的变化而变化。
①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定粒子的运动情况，粒子做周期性的运动；
②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
(2)研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
例1 (多选)如图a所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大。当两板间加上如图b所示的交变电压后，选项中的图像，反映电子速度v、位移s和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是(　　)
AD
(1)分段分析：按照时间的先后，分阶段分析粒子在电场中的受力情况和运动情况，然后选择牛顿运动定律、运动学规律或功能关系求解相关问题。
(2)v－t图像辅助：带电粒子在交变电场中的运动情况一般比较复杂，常规的分段分析很麻烦。较好的方法是在分段分析粒子受力的情况下，画出粒子的v－t图像，画图时，注意加速度相同的运动图像是平行的直线，图像与横坐标轴所围图形的面积表示位移，图像与t轴的交点，表示此时速度方向改变等。
(3)运动的对称性和周期性：带电粒子在周期性变化的电场中运动时，粒子的运动一般具有对称性和周期性。　　
BCD
训练1 (多选)如图甲所示，边长为L的正方形abcd在竖直平面内，bc边沿竖直方向，该区域内存在竖直方向匀强电场，取竖直向下为正方向，该电场按图乙所示的规律变化。t＝0时刻，不计重力的带电粒子从ad中点O垂直电场方向以大小为v0的速度射入电场，t＝T时刻从c点射出电场。下列说法正确的是(　 　)
提升2　动力学和功能关系分析粒子的运动
1.从动力学角度，先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，是直线运动还是曲线运动)，对匀变速运动问题可用牛顿运动定律和运动学规律处理。
2.从功和能的角度，分析带电粒子运动过程中功和能的转化关系，利用动能定理或能量守恒定律解决这类问题。
例2 水平放置的平行金属板，相距6 cm，两板分别与电池的正负极相连，板间电压为100 V(如图)，原来不带电的小球，质量为2 g，从与下板相距4 cm的地方，由静止自由落下，与下板发生弹性碰撞(碰撞中动能不损失)过程中，小球获得电荷量q＝2.0×10－6C的负电荷(g＝10 m/s2)。求：
(1)小球与下板相碰后能上升到多大的高度？
(2)小球上升到最高点的过程中，静电力做多少功？
解析　(1)小球与下板相碰后，受到的静电力为
方向竖直向下，根据速度—位移公式可得v2＝2gh，0－v2＝－2aH
解得H＝4.8 cm。
(2)静电力做的功为W静＝F电H
代入数据，解得W静＝1.6×10－4J。
答案　(1)4.8 cm　(2)1.6×10－4J
BC
训练2 (多选)如图所示，空间存在一匀强电场，其方向与水平方向间的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v0从A点水平向右抛出，经过时间t小球落到C点，速度大小仍是v0，已知AB＝BC，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
提升3　等效思维法的应用
1.“等效重力”及“等效重力加速度”
2.物理最高点与几何最高点
例3 (2024·安徽马鞍山高二期末)如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.4 kg、电荷量为q＝＋2×10－4C的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°。已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)匀强电场的场强大小；
(2)将小球从A点由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力大小；
(3)如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度最少为多少？(结果可用根号表示)
解析　(1)带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得qE＝mgtan θ
联立解得T＝6 N。
(3)分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最小速度为v，则
从A到对称点，由动能定理得
例4 如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，轨道半径为R。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电小球(可视为质点)在轨道内侧的P点处于静止状态，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v的速度，使小球能沿轨道做完整的圆周运动。
(1)求电场强度的大小；
(2)求小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小；
(3)设P点的电势为零，求小球在运动过程中的最大电势能。
解析　(1)在P点对小球进行受力分析如图所示
则有qE＝mgtan θ
(2)根据题意可知，在P点有
根据牛顿第三定律有N′＝N
随堂对点自测
2
B
1.(带电粒子在交变电场中的运动)(2024·安徽合肥高二期末)图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v0沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动描述错误的是(　　)
CD
2.(带电粒子在电场中的圆周运动)(多选)如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
课后巩固训练
3
B
题组一　带电粒子在交变电场中的运动
基础对点练
1.如图a所示，两个平行金属板P、Q竖直放置，两板间加上如图b所示的电压。t＝0时，Q板比P板电势高5 V，此时在两板的正中央M点放一个电子，速度为零，电子仅在静电力作用下运动，运动过程中始终未与极板相碰，下列时刻中电子速度和加速度的方向相同的是(　　)
A.3×10－10 s B.5×10－10 s
C.6.5×10－10 s D.7×10－10 s
解析　依题意，结合图b可知，在t＝0时，由于Q板比P板电势高5 V，则电子在0～2×10－10 s内，所受静电力向右，电子向右做匀加速直线运动；在2×10－10 s～4×10－10 s内，电子所受静电力向左，电子向右做减速运动，根据对称性可知在t＝4×10－10 s时，电子速度为0；在4×10－10 s～6×10－10 s内，电子所受静电力向左，电子向左做加速运动；6×10－10 s～8×10－10 s内，电子所受静电力向右，电子向左做减速运动，在t＝5×10－10 s时，电子速度和加速度的方向是相同的，故B正确。
AB
2.(多选)(2024·黑龙江大庆高二开学考试)如图甲所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压U，A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间的变化规律如图乙所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则(　　)
C
题组二　动力学和功能关系分析粒子的运动
3.(2024·吉林长春期末)如图所示，空间存在着竖直向下的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以水平方向的初速度v0由O点射入，刚好通过竖直平面内的P点，已知连线OP与初速度方向的夹角为45°，不计粒子的重力，则O、P两点间的电势差UOP为(　　)
B
4.美国物理学家密立根于20世纪初进行了多次实验，比较准确的测定了电子的电荷量，其实验原理可以简化为如下模型：两个相距为d的平行金属板A、B水平放置，两板接有可调电源。从A板上的小孔进入两板间的油滴因摩擦而带有一定的电荷量，将两板间的电势差调节到U时，带电油滴恰好悬浮在两板间，然后撤去电场，油滴开始下落，由于空气阻力，下落的油滴很快达到匀速下落状态，通过显微镜观测这个速度的大小为v，已知空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为k，重力加速度为g。则计算油滴带电荷量的表达式为(　　)
B
5.电子束熔炼是指高真空下，将高速电子束的动能转换为热能作为热源来进行金属熔炼的一种熔炼方法。如图所示，阴极灯丝被加热后产生初速度为0的电子，在3×104 V加速电压的作用下，以极高的速度向阳极运动；穿过阳极后，在金属电极A1、A2间1×103 V电压形成的聚焦电场作用下，轰击到物料上，其动能全部转换为热能，使物料不断熔炼。已知某电子在熔炼炉中的轨迹如图中虚线OPO′所示，P是轨迹上的一点，聚焦电场过P点的一条电场线如图中实线所示，则(　　)
A.电极A1的电势低于电极A2的电势
B.电子在P点时速度方向与聚焦电场强度方向夹角大于90°
C.聚焦电场只改变电子速度的方向，不改变电子速度的大小
D.电子轰击到物料上时的动能等于3×104 eV
解析　电子在P点受静电力指向轨迹弯曲的内侧，又要与电场线相切，可判断电场线的方向是从A1指向A2，所以电极A1的电势高于电极A2的电势，A错误；轨迹的切线方向即电子的运动方向，由图可知运动方向与电场方向夹角大于90°，B正确；聚焦电场一方面使电子向中央靠拢，另一方面使电子加速，所以既改变电子速度的方向，又改变电子速度的大小，C错误；聚焦电场对电子做功，且总功是正功W，所以改变电子速度大小，从O到O′，根据动能定理得qU＋W＝Ek，可知电子轰击到物料上时的动能大于3×104eV，D错误。
AC
题组三　等效思维法的应用
6.(多选)(2024·山东德州高二期末)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
BC
7.(多选)如图甲，在矩形MNQP区域中有平行于PM方向的匀强电场，电场强度为E0，一电荷量为＋q，质量为m的带电粒子以v0的初速度从M点沿MN方向进入匀强电场，刚好从Q点射出。MN＝PQ＝L，MP＝NQ＝d。现保持电场强度不变，使匀强电场的方向做周期性变化(如图乙)。使带电粒子仍以v0的初速度从M点沿MN方向进入，粒子刚好能从Q点沿PQ方向射出。不计粒子重力，取图甲中方向为电场正方向。则(　　)
综合提升练
8.(2024·福建厦门高二期中)如图所示，固定的粗糙绝缘平台与水平地面的高度差h＝1.25 m，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3×103N/C。带正电的小滑块(可视为质点)从距离平台边缘L＝1 m处由静止释放，已知滑块的质量为m＝1 kg、带电荷量为q＝2×10－3C，滑块与平台间的动摩擦因数为μ＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)滑块在平台上运动的加速度大小；
(2)滑块运动到平台右侧边缘时速度的大小；
(3)滑块的落地点与平台右侧边缘的距离。
解析　 (1)由牛顿第二定律得qE－μmg＝ma
解得a＝2 m/s2。
解得v0＝2 m/s。
滑块的落地点与平台右侧边缘的距离为
9.如图所示，长为R的轻质细线一端固定在O1点，细线的
下端系一质量为m，电荷量为q的带电小球。现将小球从
细线处于水平状态由静止释放，小球运动到B点时，绳子
断裂，刚好在B处水平抛出。带电小球抛出后经过一匀强电场区域(只存在于BC之间)，恰好从C点沿切线方向进入固定在水平地面上的半径为r的光滑圆弧形槽，槽的圆心在O2点，D点为最低点，且∠CO2D＝37°。已知B、D两点的高度差为hBD＝r，r＝1.25R，重力加速度为g，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
培优加强练
(1)求小球在B点的速度大小；
(2)若小球最终停在距离D处4R的Q点(小球在DQ间的运动视为滑动)，求水平面与小球间的动摩擦因数μ；
(3)求匀强电场的电场强度E的大小，并判断小球带何种电荷？

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