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2025届高三数学高考二轮专题复习：数列中档大题专项训练
1．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的取值范围.
3．已知数列的通项公式为
(1)求证：；
(2)令，证明：
4．各项均为正数的等比数列首项，为其前n项和，若，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)，，记数列的前n项和．若，求整数n的最大值.
5．设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
6．已知数列的前项和为，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求．
7．已知数列，满足．
(1)若，且，求；
(2)若数列的前项和为，，且，求证：．
8．已知数列的前n项和满足，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，求使成立的n的最小值．
9．已知函数，点在曲线 上，且 ．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记 ，求 ．
10．设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，．
11．已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列．
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和．
12．设数列的前n项和为，且对任意，都有，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，设，数列的前n项和为，求证：．
13．已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和．
14．已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
15．已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列满足，求的前项和．
16．在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和
17．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
18．在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．
(1)求及；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
19．数列的前项和为，且，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
20．已知中，角的对边分别是，.
(1)证明：成等差数列；
(2)若，内切圆半径为r，求r的最大值.
21．等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
22．已知数列的前项和为，若，
(1)求；
(2)若，为数列的前项和，求.
23．设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求中的最大值和最小值；
(3)求的前项和．
24．记是等差数列的前项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
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《2025届高三数学高考二轮专题复习：数列中档大题专项训练》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式；
（2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，则，
整理得，且，即．
又因为，则，
解得，所以．
（2）由（1）可知：，
则，
．
两式相减得
，
所以．
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；
（2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式；
（3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，
当时，，
即，所以，，
因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.
（2）由（1）可得，则当时，，
也满足，故，.
（3）由可得
，
令，则
则
，即，
所以，数列为单调递增数列，则，
因此，的取值范围是.
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用函数的单调性和放缩法求出结果；
（2）利用对数的运算和相消法的应用求出结果．
【详解】（1）数列的通项公式为，由于函数为单调递增函数，故，
所以
（2）由，
所以，
因为，
当时，，
故当时，
.
综上可知，
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项的定义求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1），，成等差数列，故，
即，
则，解得或者，
因为等比数列各项均为正数，故，且
所以
（2），故，
故，
故即，解得，
故整数n的最大值为.
5．(1)
(2).
【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
，
所以数列的前项和为.
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用数列的通项与前项和之间的关系化简等式，得到之间的关系，从而可证明数列是等比数列；
（2）先利用等比数列的通项公式求解的通项公式，再利用分组求和法求即可得.
【详解】（1）由，得，
又当时，，，所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）得，即，故数列的通项公式为．
所以
．
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用所给等式得到，进而得到，得到数列是等差数列，进而利用等差数列的前项和公式求解即可；
（2）利用关系式，化简得到是等比数列，进而求出，即可求出关于的表达式，再利用放缩法即可证明不等式.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
两边平方得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）因为，
所以，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
两式相减得，
代入，
两边同时平方得，
所以，
所以.
8．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的性质可得，即可利用的关系得，利用等差数列的定义即可求证，
（2）利用裂项相消法求解，即可利用二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）由可得为等差数列，且公差为1，首项为1，
故，即，
当时，，故，
当时，也符合，
故，
因此时，，故为等差数列，且公差为2，
（2），
故，
由可得，
故，
由于为开口向上，且对称轴为的二次函数，
故在单调递增，且，
因此使成立的n的最小值为2.
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将点代入，化简推出，利用等差数列的定义即可证得；
（2）由（1）求出数列的通项公式，继而求得数列的通项公式，推出，通过裂项相消法求出.
【详解】（1）因为点在曲线上，
所以，且 ，
，
故数列是首项为1，公差为4的等差数列．
（2）由（1）知，则．
因为 ，所以，
则，
故．
10．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式得到，再根据得到，接着用“累乘法”可得数列的通项公式.
（2）分为偶数与奇数两种情况，表示出，结合作差法比较与的大小.
【详解】（1）由题意得，
①，
当时， ②
由①②得：，即
．
又时，满足.
（2）由得，.
①当n为偶数时，
此时，，故
②当n为奇数时，
综上，当时，．
11．(1)，．
(2)
【分析】（1）由，可得通项公式；由等比数列概念可得通项公式；
（2）由若k为正奇数，，可得通项公式，即可得答案.
【详解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以．
依题意，，，
解得，所以．
（2）设，则，其中
注意到当k为正奇数，
能被3整除，则，，此时不能被3整除.
为正偶数时，不能被3整除，
则，其中t为正奇数，
则数列和的公共项从小到大依次为：，，，，…，
所以，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列，
所以，则
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系变形，再次变形可得，即可求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出并利用基本不等式放缩裂项求和，再利用基本不等式放缩，作差比较得证.
【详解】（1）数列中，，当时，，解得，
，则，
当时，，两式相减得，即，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为.
（2）由（1）知，，，
，当且仅当时取等号，
因此
，设，倒序相加得
，则，
（，，当且仅当时取等号）
于是，而，
所以.
13．(1)
(2)682
【分析】（1）运用等比数列公式性质计算即可；（2）根据通项公式找到公共项，求和即可.
【详解】（1）因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以．
（2）设的第项与的第项相等，
则，即，．
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则．
故．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式；
（2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以，所以，即，
当时，，
当时，也适合上式，所以．
（2）由（1）知，则，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，为偶数，，
所以.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，的关系作差即可判断；
（2）由（1）求得，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解；
【详解】（1）当时，，即，
当时，联立
①－②，可得，
即，
所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，则，，
所以
．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由条件结合等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求，由此可求数列数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）由题意知，，，，
因为，，成等比数列，所以，
即，整理得，解得或，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，，
则①
②
①②得，
，
，
，
所以.
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）对定义域内，都有恒成立，即，令，利用导数求的最大值即可；
（3）利用（2）中结论可得恒成立，将中的替换为，再利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可.
【详解】（1）若，则，，，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）若对定义域内，都有恒成立，
即恒成立，只需即可，
设，，则，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
故的取值范围为.
（3）由（2）得当时，恒成立，即，
将中的替换为，显然，
则，
故，
即.
故.
18．(1)，．
(2)，证明见解析
【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算；
（2）；由数学归纳法求证步骤求证即可；
【详解】（1）由已知条件得，
所以
，，可得：，
，，可得：，
，，可得：；
（2）由（1）的计算可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知可得结论成立；
②假设当且时猜想成立，
即．
则当时，
，
，
因此当时，结论也成立．
由①②知，对一切都有成立．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系退相减，消去得，变形得，然后利用等比数列的定义证明即可.
（2）根据等比数列的通项公式求出，则，然后利用等比数列求和公式得，即可判断.
【详解】（1）由得，故，
当时，，
所以，
从而，故①，
在式①两端加1得：②，
又，结合式②知数列所有项均不为0，所以，
故是首项为9，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，故，
所以.
20．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得，由两角和的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得的范围，利用面积相等可得，变形后再次利用基本不等式即可求解的范围.
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，，即，
，，
，，
成等差数列；
（2）由余弦定理可得，即，
，当且仅当时等号成立，
因为，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
即 ，
的取大值为 ．
21．(1)
(2)
【分析】（1）结合已知，根据等比数列的基本量运算列式求解首项和公比，然后利用等比数列通项公式求解即可.
（2）利用（1）求得，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）等比数列中，，
所以公比，又得，
所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以．
（2），
所以，
故，
所以
，
所以．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可；
（2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
又因为，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
又时也满足上式，所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以
.
23．(1)
(2)最大值为1，最小值为，
(3)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解，
（2）根据单调性即可求解，
（3）根据的正负，即可分类求解.
【详解】（1）由可得，故，设公差为d，，
由可得，，
故，
由于，所以，因此，因此，
故，
（2），
当且时，，且此时单调递减，
故为最大值，为最小值，
当且时，，且此时单调递减，
故为最大值1，此时无最小值，
综上可得的最大值为1，最小值为，
（3）由可得当且时，，
当且时，，
所以当且时，，
当且时，
，
故
24．(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，进而可求解，
（2）根据等差数列求和公式可得，即可列不等式求解，
（3）根据平方差公式，即可结合等差数列求和公式得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意知，，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
由可得，解得或，
因为，故正整数的最小值为.
（3）因为， 所以
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