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27.2相似三角形
一、单选题
1．两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（　　）
A．1：3 B．3：1 C． D．
2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（　　）
A． B． C． D．6
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（　　）
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
5．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC＝∠ABC，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，CD＝3，则AC的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是DC的延长线的一个动点，连接OE交BC于点F，当CE＝1时，BF的长是（　　）
A．6 B．6.2 C．6.75 D．7
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD的延长线于点F，连接EF，EF分别交CD、AC于点G、H，M是EF中点，连接DM，则下列结论：①BE＝DF；③FH GE＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，则，正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
9．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和△ADE相似，则AE＝　 　．
10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度为 　 　m．
11．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　 　平方厘米．
12．如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，连接DF，点E是边BC延长线上的一点，且DF⊥DE，连接AC交EF于点Q，若，AF＝1，则EF的长为 　 　．
三、解答题
13.在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：
（1）△BAF∽△BCE；
（2）△BEF∽△BCA．
14.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
15.如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
16．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）
17．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
18.小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．
19．如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．
(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
20．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接BP、CP，设运动时间为t秒．
（1）点D的坐标为 　 　；
（2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；
答案
一、单选题
1．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，
∴两个相似三角形的相似比为1：，
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴它们相应的面积之比是1：3．
故选：A．
2．
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
3．
【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
4．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∴，
∴x＝0.96，
故选：B．
5．
【解答】解：如图，满足条件的点D有9个．
故选：D．
6．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴，
∴∠BDC＝∠CAD，
∵∠ACD＝∠DCE，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：AC＝CE：CD，
∴CD2＝AC CE，
∴32＝2（2+AE），
∴AE＝2.5，
∴AC＝AE+CE＝4.5，
故选：B．
7．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOG和△COF中，
，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴AG＝CF，
∵AD∥BC，
∴△CFE∽△DGE，
∴，
∴，
∵AD＝8，
∴AG＝×8＝1，
∴CF＝AG＝1，
∴BF＝7．
故选：D．
8．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ECD＝90°．
∵CF⊥CE，
∴∠FCD+∠ECD＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF．
∴①的结论正确；
∵△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CFE．
∵∠CHG＝∠FHC，
∴△CHG∽△FHC，
∴∠HGC＝∠HCF．
∵∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴△EGC∽△FCH，
∴，
∴CE CF＝GE FH，
∴CE2＝GE FH，
∴②的结论正确；
连接CM，如图，
∵△CEF为等腰直角三角形，M是EF中点，
∴CM⊥EF，CM＝EM＝FM，
∴∠MCF＝∠MCE＝45°，
∴△CME为等腰直角三角形，
∴CE＝CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝CD，
∴．
∵∠ECH+∠MCH＝45°，∠MCD+∠MCH＝45°，
∴∠ECH＝∠MCD，
∴△ECA∽△MCD，
∴∠CAE＝∠CDM＝45°
∴③的结论正确；
在BC上取一点N，使BE＝BN，连接EN，
∵AE＝AH，∠BAC＝45°，
∴∠AEH＝∠AHE＝67.5°，
∴∠CHF＝∠AHE＝67.5°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠CGH＝180°﹣∠ACD﹣∠CHF＝67.5°，
∵∠CGH＝∠CFE+∠GCF，
∴∠GCF＝22.5°，
∴∠ECB＝∠GCF＝22.5°．
∵BE＝BN，∠B＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，
∵∠BNE＝∠NEC+∠BCE，
∴∠BCE＝∠NEC＝22.5°，
∴NE＝CN．
设BE＝BN＝m，
∴NE＝BE＝m，
∴CN＝NE＝m，
∴BC＝BN+NC＝（+1）m，
∴．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：②②③④．
故选：D．
二、填空题
9．
【解答】解：要使△ABC和△ADE相似，
如图1，∠ADE＝∠B，
∴＝，
∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，
∴＝，
∴AE＝；
如图2，∠ADE＝∠C，
∴＝，
∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，
∴＝，
∴AE＝；
故答案为：或．
10．【解答】解：设CD与EH交于G，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴，
即：，
∴，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
故答案为：13.5．
11．解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），
∵∠C＝∠DAB＝90°，
∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，
∴22+92＝72+AD2，
∴AD＝6（cm），
∴△ADB的面积＝AD AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC BC＝×2×9＝9（cm2），
∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），
∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），
∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，
∴△MDA∽△MBC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S＝54（cm2）．
（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），
由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），
∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，
∴△NCD∽△NAB，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S′＝（cm2），
∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．
故答案为：54或．
12．
【解答】解：过点Q作QH⊥BE于点H，如图：
设AQ＝5x，CQ＝3x，则AC＝8x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝＝4x，∠HCQ＝∠HQC＝45°，
∴CH＝CQ＝＝x，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE＝1，
∴BF＝4x﹣1，HE＝x+1，BE＝4+1，
∵AB∥HQ，
∴△BFE∽△HQE，
∴，
∴，
解得x＝，
∴BF＝4×﹣1＝1，BE＝4×+1＝3，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题
13.证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA．
14.（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，
∴，即．
∵△ADF∽△ECF，
∴，即．
∵CD＝DF+CF，
∴．
15.（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝7cm，BE＝9cm，
∴AB＝7cm，AE＝16cm，
∴DE＝12cm．
16.解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°，
∵∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴，
∵CD＝4，FG＝1.6，EG＝2.4，
∴，
解得：DE＝6，
∵BD＝57，
∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB＝42，
∴凌霄塔的高度AB为42米．
17.（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴＝＝，
∴EC＝2AE＝，
∴＝＝＝．
18.（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，
∴△ACP∽△ABC；
（2）解：∵AC2＝AB AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB＝∠D，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠D，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，
∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝81°，
∴2∠D+∠D+81°＝180°，
∴∠D＝33°，
∴∠BCD＝∠D＝33°，
∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝66°．
19．（1）解：∵四边形是矩形，
∴
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
即，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意知，，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，即t的值为2；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
当点在点左侧，时，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即t的值为2．
当点在点左侧，时，,
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，即,
∴，
∴，
∴，
∴；
当到达点右侧时，时，
，
则,即，
解得：，
当到达点右侧时，时，点到达点，不符合题意；
综上所述：若与相似，t的值为或或．
20.解：（1）∵矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），
∴把y＝3代入，得x＝4，
∴点D的坐标为（4，3）；
（2）连接CP，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OD＝5，
∵CP⊥OD，
∴∠CPO＝∠OAB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO＝∠COD，
∴△AOD∽△PCO，
则，
即，
∴，，
∵直线交AB于点D，
∴设，
则，
∴，
解得，
∴，
设直线CP的表达式y＝kx+b，
∵C坐标为（8，0），
∴，
解得，
∴，
∴直线CP的表达式；

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