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安徽省 A10 联盟 2024-2025 学年高二（下）3 月阶段考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
( + ) ( )
1.已知函数 ( )在 = 0 00处可导，且 lim = 3，则 ′( 0) =( )
→0 3
A. 9 B. 9 C. 1 D. 1
2.下列求导运算错误的是( )
A. (2 )′ = 2 ln2 B. (sin2 )′ = 2cos2
1 ln 1+ln
C. (√ )′ = D. ( )′ =
2√ 2

3.设等比数列{ }的前 项和为 ，且 3 + 4恰为 5和 6的等差中项，则
8 =( )
4
A. 4 B. 5 C. 16 D. 17
4.“点 ( , )在圆 : 2 + 2 = 4外”是“直线 + = 1与圆 相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( +1)
5.在数列{ }中， 1 = 1， +1 = cos ，记 为数列{ }的前 项和，则 10 =( ) 2
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
6.已知[ 3,5]上的可导函数 ( )的图象如图所示，则不等式( 2) ′( ) > 0的解集为( )
A. ( 3, 1) ∪ (4,5) B. (1,2) ∪ (4,5) C. (1,2) ∪ (3,5) D. ( 1,1) ∪ (2,3)
7.记等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ，若 3 + 12 > 0， 15 < 0，则下列结论错误的是( )

A. 6 > 0 B. 6 + 10 < 0 C. < 0 D.
1 ∈ ( 8, 7)

8.若函数 ( ) = ln ，且 ( ) ≤ ，则实数 的取值范围是( )
1
A. (1, ) B. (0, ] C. (0, ] D. (0,1]

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ( ) = ( 1)2( + 2)，则( )
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A. ( )有3个零点 B. ( )的极大值为4
C. 当 > 1时， ( ) < ( 2) D. ( )的图象关于点(0,2)中心对称
10.已知数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
A. 若 2 = ，则 ， ， 成等比数列

B. 若{ }为等差数列，则{
}为等差数列

C. 若{ }为等比数列，则{lg }为等差数列
D. 若 1 = 1， 2 = 2，3 +1 = + 2 +2( ∈
)，则{ +1 }为等比数列
11.已知 为坐标原点，抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线 过点
(4,0)且与 交于 ， 两点，则( )
A. 若点 的坐标为(2,2)，则| | + | |的最小值为3
B. 以线段 为直径的圆与直线 相离
C. 点 到直线 + 2 = 0的最小距离为√ 2
D. △ 可能为钝角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知 ( ) = sin + ′(0)cos ，则 ( ) = ．
4
13.已知各项均不为零的数列{ }，其前 项和是 ，且 = +1( = 1,2, ).若{ }为递增数列， 1 = ，
则 的取值范围是 ．
2
14.过点 (1,1)作曲线 : = 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + ln ， ∈
(1)当 = 1时，求 ( )的最小值;
(2)若 > 0，试讨论 ( )的单调性．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = sin (sin + cos )．
(1)求函数 ( )的单调递增区间;
(2)如果函数 ( )的导数为 ′( )，且 ′( )在(0,+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{ }，求{ }的前20项
和．
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17.(本小题12分)
如图，在正四棱锥 中， = √ 2 = 2， 为侧棱 的中点．
(1)求证： ⊥ ;
(2)求点 到平面 的距离;
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
+1
已知函数 ( ) = ．

(1)若方程 ( ) = 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围;
(2)是否存在过原点的曲线 = ( )的切线 若存在，求出切线方程;若不存在，说明理由;
(3)求证：当 ≥ 1时， ( ) ≥ 1 2对 ∈ ( 1,+∞)恒成立．
19.(本小题12分)
已知数列{ }满足 1 = 2， 2 = 4， +2 = 4( +1 ).
(1)求数列{ }的通项公式;
2 1
(2)令 = ，求数列{ }的前 项和 ;
1
(3)令 = ，记数列{ }的前2 项和中所有奇数项的和为 ，求证： < ln2. log2 log2

+1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 2
13.【答案】(0,1)
14.【答案】 + 4 = 0．
1 (2 1)( +1)
15.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 + ln ，则 > 0， ′( ) = 2 + 1 = ，

1 1
令 ′( ) > 0，解得 > ;令 ′( ) < 0，解得0 < < ，
2 2
1 1
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2 2
1 3
所以 ( )min = ( ) = + ln2. 2 4
(2 1)( )
(2)由题意得， > 0， ′( ) = ．

1 1 1
当0 < < 时，令 ′( ) > 0，解得 < 或 > ;令 ′( ) < 0，解得 < < ，
2 2 2
1 1
所以函数 ( )在(0, )和( , +∞)上单调递增，在( , )上单调递减;
2 2
1
当 = 时， ′( ) ≥ 0恒成立，所以函数 ( )在(0,+∞)上单调递增;
2
1 1 1
当 > 时，令 ′( ) > 0，解得 < 或 > ;令 ′( ) < 0，解得 < < ，
2 2 2
1 1
所以函数 ( )在(0, )和( ,+∞)上单调递增，在( , )上单调递减．
2 2
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16.【答案】解：(1) ( ) = sin (sin + cos ) = sin2 + sin cos
1 cos2 1 √ 2 1
= + sin2 = sin(2 ) + ，
2 2 2 4 2
3
令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ( ∈ )，解得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
2 4 2 8 8
3
因此函数 ( )的单调递增区间是[ + , + ]( ∈ )；
8 8

(2)由题意得， ′( ) = √ 2cos(2 )，
4
3
令2 = + ( ∈ )，解得 = + ( ∈ )，
4 2 8 2
3
所以数列{ }是以 为首项， 为公差的等差数列， 8 2
3 20×19 205
所以 1 + 2 + + 19 + 20 = × 20 + × = ． 8 2 2 2
17.【答案】解：(1)连接 ，交 于点 ，连接 ，
由正四棱锥的性质，得 ⊥ ， ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ .又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)以点 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0, 1,0)， (1,0,0)， (0,1,0)
1 √ 3
， ( 1,0,0)， (0,0,√ 3)， ( , 0, )，
2 2
所以 = (1,1,0)， ，
1 √ 3
= (0,2,0) = ( , 1, ).
2 2
2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，即{ 1 √ 3 ，
= 0 + + = 02 2
令 = √ 3，得平面 的一个法向量为 = (√ 3, 0,1)，
| | √ 3
所以点 到平面 的距离 = = ．
| | 2
(3)由(2)得， = ( 1,1,0)， = ( 1,0,√ 3)，
+ = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0，即{ ，
= 0 + √ 3 = 0
令 = 1，得平面 的一个法向量为 = (√ 3,√ 3, 1)．
4 2√ 7
所以cos < ， >= = = ，
| || | √ 7×2 7
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即平面 与平面 夹角的余弦值为2√ 7．
7

18.【答案】解：(1)由题意得， ′( ) = ，则当 < 0时， ′( ) > 0;当 > 0时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，故 ( )max = (0) = 1．
因为当 < 1时， ( ) < 0;当 > 1时， ( ) > 0，所以当方程 ( ) = 有两个不同的实数根时， 的取
值范围为(0,1)
(2)不存在，
+1
理由：假设曲线 = ( )存在过原点的切线，设切点坐标为( 00, )，则该切线斜率为 ′( ) =
0 ，即
0 0 0
+1
该切线方程为 0 0

= ( 0)， 0 0
0+1 若切线经过原点，则0 =
0 (0 2
0 0 0
)，整理得 0 + 0 + 1 = 0，该方程无解，故过原点不存在曲线
= ( )的切线．
+1 2 1(3)设 ( ) = + 1，则 ′( ) = + 2 = (2 )).令 ′( ) = 0，得 = 0或 = ln(2 )．
若 ≥ 1，则 ln(2 ) < 0，当 < ln(2 )或 > 0时， ′( ) > 0，当 ln(2 ) < < 0时， ′( ) < 0，所以 ( )
在( ∞, ln(2 ))和(0,+∞)上单调递增，在( ln(2 ),0)上单调递减，因为 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0在[0,+∞)
上成立．
若 ≥ 1，则 ( 1) = 1 ≥ 0.

当1 ≤ < ， ln(2 ) > 1，则 ( )在( 1, ln(2 ))上单调递增，在( ln(2 ),0)上单调递减，此时 ( ) > 0
2
在( 1,0)上成立．

当 ≥ ， ln(2 ) ≤ 1，则 ( )在( 1,0)上单调递减，此时 ( ) > 0在( 1,0)上成立．
2
综上，当 ≥ 1时， ( ) ≥ 1 2对 ∈ ( 1,+∞)恒成立．
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19.【答案】解：(1)因为 +2 = 4( +1 )，所以 +2 2 +1 = 2( +1 2 )，
因为 2 2 1 = 0，所以 +2 2 +1 = +1 2 = = 2 2 1 = 0，即 +1 = 2 ．
因为 1 = 2 ≠ 0，所以数列{ }是以2为首项以2为公比的等比数列．
所以 = 2 × 2
1 = 2 ．
2 1 1
(2)由(1)得， = = (2 1) ( )
，
2 2
1 1
则 = 1 × + 3 × ( )2
1 1
+ 5 × ( )
3 + + (2 1) ( ) ，
2 2 2 2
1 1 1 1 1
= 1 × ( )
2 + 3 × ( )3 + 5 × ( )4 + + (2 1) ( ) +1，
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
相减得 = 1 × + 2 × ( )
2 + 2 × ( )3 + 2 ( ) (2 1) ( ) +1
2 2 2 2 2 2
1 1
1 2× ×[ ( ) ]2 2 1= + (2 1) ( ) +1
3 1 1
1 = ( )
1 (2 1)( ) +1，
2 1 2 2 2 2
2
1 1 1
所以 = 3 ( )
2 (2 1) ( ) = 3 (2 + 3) ( ) ．
2 2 2
1 1 1 1
(3)由题意得， = = = ， log2 log2 +1 ( +1) +1
1 1 1 1 1
则 1 = 1 ， 3 = ， ， 2 3 4 2 1 = ， 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 = 1 + + + = 1 + + + + + + 2( + + + + ) = 1 + +2 3 4 2 1 2 2 3 4 2 1 2 2 4 6 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + (1 + + + + ) = + + + + ．
3 4 2 1 2 2 3 +1 +2 2 1 2
1 1
构造函数 ( ) = 1 ln ， > 1，则 ′( ) = 2 < 0，
∴ ( )在(1,+∞)上单调递减，∴ ( ) < (1) = 0，
1 1
∴当 > 1时，1 ln < 0，即1 < ln 恒成立．

+1 +1 1
令 = ( ∈ )，则1 < ln ，即 < ln( + 1) ln ，
+1 +1
1 1 1
∴ < ln( + 1) ln ， < ln( + 2) ln( + 1)， ， < ln(2 ) ln(2 1)．
+1 +2 2
1 1 1 1
以上各式相加得， + + + + < ln( + 1) ln + ln( + 2) ln( + 1) + + ln(2 )
+1 +2 2 1 2
ln(2 1) = ln(2 ) ln = ln2.
综上， < ln2.
第 7 页，共 7 页

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